– 4 – Wykaz oznaczeń stosowanych w pracy a – długość elementu

P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
Wykaz oznaczeń stosowanych w pracy
a – długość elementu łukowego,
c – kosinus kąta rozwarcia elementu,
c0 – kosinus połowy kąta rozwarcia elementu,
d – współczynnik ścinania,
e – współczynnik membranowy,
gij , g~ij – element konsystentnej macierzy geometrycznej,
h – wysokość przekroju pręta,
i – promień bezwładności przekroju pręta,
~
kij , k ij – element macierzy sztywności,
l – naturalna współrzędna wzdłuż osi łuku,
n – obciążenie równomiernie rozłożone w kierunku obwodowym,
m – moment zginający przypadający na długość elementu,
~ – element konsystentnej macierzy mas,
mij , m
ij
p kr – krytyczny mnożnik obciążenia,
q – uogólnione obciążenie równomiernie rozłożone,
g ij – globalny wektor przemieszczeń węzłowych,
r – współrzędna dyskretna,
s – sinus kąta rozwarcia elementu,
s0 – sinus połowy kąta rozwarcia elementu,
t – obciążenie równomiernie rozłożone w kierunku promieniowym
u – przemieszczenie w kierunku obwodowym,
v – przemieszczenie w kierunku promieniowym,
x – współrzędna kątowa,
A – pole powierzchni przekroju pręta,
 – wektor amplitud drgań węzłów,
Ci – współczynniki w dokładnych funkcjach kształtu,
~
C i – współczynniki w wielomianowych funkcjach kształtu,
D – macierz podatności,
E – moduł Younga,
~
E n – operator przesunięcia Boole'a,
F̂0 – globalny wektor sił węzłowych wywołanych obciążeniem przęsłowym dla układu,
F̂ – globalny wektor sił węzłowych układu,
G – moduł Kirchhoffa,
~
G, G – konsystentna macierz geometryczna elementu,
Ĝ – globalna macierz geometryczna układu,
I – moment bezwładności przekroju,
I ∗ – zmodyfikowany moment bezwładności przekroju,
–4–
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
J – zastępczy moment bezwładności przekroju,
~
K, K – macierz sztywności elementu,
K̂ – globalna macierz sztywności układu,
M – moment zginający,
~
M, M – konsystentna macierz mas elementu,
M̂ – globalna macierz mas układu,
N – siła normalna,
N δi – funkcja kształtu opisująca przemieszczenie δ wywołane i-tym jednostkowym przemieszczeniem węzłowym,
P – uogólniona siła,
R – promień krzywizny łuku,
T – macierz transformacji,
U – energia sprężysta,
V – objętość,
α – kąt rozwarcia elementu,
α 0 – połowa kąta rozwarcia elementu,
δ – uogólnione przemieszczenie,
ε – uogólnione odkształcenie liniowe,
ϕ – całkowity kąt obrotu przekroju,
φ – zmodyfikowany całkowity kąt obrotu przekroju,
γ – kąt odkształcenia postaciowego,
η – względny przyrost kąta obrotu przekroju,
ι – bezwładność obrotowa pręta przypadająca na jednostkę długości,
κ – zmiana krzywizny,
κ – współczynnik korekcyjny ścinania
λ – względne wydłużenie osi środkowej pręta,
µ – masa pręta przypadająca na jednostkę długości,
ν – współczynnik Poissona,
ρ – gęstość materiału,
σ – uogólnione naprężenie normalne,
τ – czas,
ω – częstość kołowa drgań własnych,
ξ – współrzędna bezwymiarowa,
∆n – operator różnicowy n-tego rzędu.
–5–
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
1. WSTĘP
1.1 Temat pracy
Praca dotyczy podstawowych problemów metody elementów skończonych. Związana jest
z bardzo istotnym zagadnieniem, jakim jest właściwe modelowanie matematyczne elementów
skończonych stosowanych w obliczeniach inżynierskich. Metoda elementów skończonych (MES)
jest z pewnością jedną z najczęściej stosowanych metod analizy komputerowej konstrukcji.
Bibliografia jest olbrzymia i nie sposób jej w całości wymienić. Z prac monograficznych za ważną
uznaje się [58]. Ponadto można wymienić dostępne w języku polskim [16, 25, 32, 33, 48, 52, 53].
Jedną z najnowszych jest natomiast [4].
Zastosowanie MES w istotny sposób wpłynęło na rozwój wielu dziedzin nauki, nie tylko
mechaniki konstrukcji. W miarę żywiołowego rozwoju i aplikacji tej metody obliczeń pojawiły się
nowe problemy, często nieoczekiwane, których aktualność rozciąga się po dzień dzisiejszy.
Do najistotniejszych z całą pewnością należy otwarte pytanie dotyczące optymalnego, ze względu
na czas i dokładność obliczeń, modelowania fizycznego konstrukcji oraz modelowania
matematycznego na poziomie elementu.
W końcu lat sześćdziesiątych rozpoznane zostało zjawisko występowania znacznych błędów
w obliczeniach numerycznych. Pojawiły się one nieoczekiwanie w fizycznie poprawnie
sformułowanych dyskretyzacjach układów ciągłych i dla określonych aproksymacji funkcji kształtu
stosowanych elementów skończonych.
Stwierdzono, że pewne aproksymacje wielomianowe, wielokrotnie sprawdzone
w zaawansowanych obliczeniach inżynierskich, prowadzą do występowania zjawisk blokady
ścinania (shear locking) w układach zginanych oraz dodatkowo – blokady membranowej
(membrane locking) w układach uwzględniających efekty tarczowe. Zjawiska te polegają na tym,
że uwzględnienie wpływu sił poprzecznych i normalnych w funkcjonale wyrażającym energię
sprężystą prowadzi do ogromnych błędów w przypadku, gdy wymiar grubości elementu jest mały
(obliczeniowe przemieszczenie maleje w stosunku do poprawnego).
Efekty te są już dobrze znane, ich analizie poświęcono wiele prac (Rozdział 1.2).
Zaproponowano wiele sposobów przeciwdziałania tym zjawiskom. Ponieważ większość
opracowanych metod bazuje na sztucznych, nie uzasadnionych fizycznie zabiegach, w pracy
niniejszej proponuje się inną koncepcję elementu skończonego, który nie będzie wykazywał
zjawisk blokady.
1.2 Przegląd literatury
Zagadnieniom dotyczącym opracowania efektywnych elementów skończonych bazujących
na wielomianowych funkcjach kształtu niskiego stopnia poświęcono bardzo dużo prac. Na problem
związany z występowaniem zjawiska numerycznego blokady natknięto się już pod koniec lat
sześćdziesiątych. Stwierdzono wtedy, że aproksymacje wykorzystujące liniowe funkcje kształtu
stosowane do analizy układów zakrzywionych (łuki, powłoki) dają wyniki obarczone poważnymi
błędami [1]. Paradoksalne było późniejsze odkrycie, że zastosowanie elementów belkowych tego
–6–
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
samego rzędu prowadzi do rezultatów znacznie lepszych [14, 15]. Z dzisiejszego poziomu wiedzy
można odpowiedzieć, że przyczyną takiego zachowania się tych modeli obliczeniowych było
zjawisko blokady membranowej.
Praca [57] jest jedną z pionierskich, w których zaproponowano i skutecznie zastosowano pewne
techniki usunięcia skutków zjawisk blokady. Autorzy stwierdzili, że zredukowanie liczby punktów
Gaussa przy całkowaniu niektórych składników energii sprężystej daje pożądany efekt. Technikę tę
zastosowano do modyfikacji opracowanych wcześniej [2] elementów płytowych, gdzie udało się
wyeliminować skutki blokady ścinania, oraz powłokowych, w których występowała blokada
membranowa. Technika zaproponowana przez autorów jest właściwie stosowana do dziś, jest
najpopularniejsza i powszechnie wiadomo, że jest skuteczna. Natomiast do dziś nie ma jej
racjonalnego uzasadnienia.
W pracy [54] wyprowadzono dokładną macierz sztywności elementu łukowego o małej
krzywiźnie. Wykazano jej identyczność z odwrotnością dokładnej macierzy podatności. Następnie
przeprowadzono porównania odwrotności macierzy sztywności dla różnych elementów
krzywoliniowych
wskazując na możliwość pojawienia się błędów spowodowanych
występowaniem zjawisk blokady w tych aproksymacjach.
Praca [39] przedstawia porównanie efektywności różnych elementów zakrzywionych
w obliczeniach drgań własnych łuków kołowych. Wzięto pod uwagę dwa elementy wykorzystujące
trygonometryczne funkcje kształtu – zaproponowany przez Cantina i Clougha oraz jego
modyfikację, a także elementy z funkcjami trzeciego stopnia – typowy i zredukowany. Najlepszym
w badanych zagadnieniach okazał się zmodyfikowany element trygonometryczny. Już te pierwsze
porównanie wskazuje, że do poprawnego opisu zachowania się konstrukcji łukowej niezbędne jest
użycie funkcji trygonometrycznych. Autorzy w swej pracy wskazali również uwagę na to, że
do sformułowania efektywnego elementu nie wystarczy zapewnienie poprawnego modelowania
przemieszczeń bezodkształceniowych. Konieczne jest przede wszystkim wprowadzenie zgodnych
pól odkształceń do modelu. Podobny wniosek został sformułowany w pracy [7].
W pracy [44] autorzy analizowali zjawisko blokady membranowej w łukach. Wykazali, że w
łuku płaskim, w którym pola przemieszczeń są aproksymowane wielomianami niskiego stopnia
sztywność elementu jest nadmiernie powiększona przez wpływ jego sztywności osiowej. Zjawisko
to nasila się dla łuków mało wyniosłych. Autorzy wskazali, że właśnie to jest istotą blokady
membranowej. W celu wyeliminowania tego efektu zastosowano całkowanie zredukowane dla tej
części energii sprężystej, która dotyczy ściśliwości elementu. W wyniku tego zabiegu otrzymano
element zakrzywiony, w którym nie ma już tego nie pożądanego zjawiska, zachowane natomiast
zostało sprzężenie pomiędzy zginaniem a ściśliwością. Autorzy stwierdzili także, że technikę
całkowania zredukowanego można zastąpić stosując sformułowanie mieszane. Zauważyli jednak,
że w pracy poświęconej takiemu podejściu [27] wiele wyników liczbowych odbiega od rozwiązań
dokładnych z powodu zastosowania dokładnego całkowania. Zasugerowali więc, że w niektórych
przypadkach konieczne jest połączenie obu metod.
W kolejnej pracy [45] ci sami autorzy kontynuowali podjęte wcześniej rozważania. Badali
sformułowania przemieszczeniowe, naprężeniowe oraz mieszane z elementami klasy C 0 pod kątem
–7–
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
występowania i eliminowania zjawisk blokady ścinania i membranowej. Stwierdzili, że oba te
zjawiska są ze sobą powiązane. W elementach klasy C 0 całkowanie zredukowane zastosowane
do wyrażeń związanych ze ściśliwością i ścinaniem usuwa problem. Jednak według autorów
zredukowanie całkowania przy energii ścinania prowadzi do eliminacji sprzężenia zginanieściśliwość, co powinno być cechą charakterystyczną poprawnej aproksymacji krzywoliniowej.
W efekcie otrzymuje się element zachowujący się niemal jak element belkowy. Dalej wykazano,
potwierdzając wstępne wnioski z pracy poprzedniej, że sformułowanie mieszane wykorzystujące
wielomianowe pola uogólnionych naprężeń w elemencie jest narażone na blokadę. Stwierdzono
także, że izoparametryczny element sześcienny nie wykazuje tego nie pożądanego efektu. Efekt ten
natomiast pojawia się w sformułowaniu elementu kwadratowego. Autorzy zwrócili uwagę
na paradoks, że często zalecane w problemach plastyczności zwiększenie liczby punktów
całkowania dla uzyskania większej dokładności w badanym zagadnieniu daje rezultat przeciwny
do zamierzonego.
Ciekawą koncepcję wyjaśniającą przyczynę występowania zjawiska blokady ścinania
w elementach belkowych podano w [31]. Autorzy wprowadzili pojęcie zbędnych więzów
wewnętrznych. Po wstawieniu do formuły wyrażającej energię sprężystą przyjętej postaci
aproksymacji pól przemieszczeń i wykonaniu całkowania wzdłuż elementu oraz obliczeniu granicy
przy wysokości przekroju dążącej do zera otrzymuje się zależności pomiędzy przemieszczeniami
węzłowymi. Jeśli tak wyznaczone więzy nie mają uzasadnienia fizycznego to badana aproksymacja
musi wykazywać blokadę. Usunięcie zbędnych więzów prowadzi do modyfikacji aproksymacji,
która jest już pozbawiona wad. Autorzy wyjaśnili również problemy występujące przy
zastosowaniu parametru kary. Koncepcja ta polega na wprowadzeniu do aproksymacji z
niezależnymi interpolacjami kąta odkształcenia postaciowego oraz przemieszczenia poprzecznego
pewnego parametru, dzięki któremu można sztucznie sterować wielkością odkształcenia
postaciowego [49]. Parametr ten jest tak zdefiniowany, by jego wartość zmniejszała sztucznie
rosnącą sztywność na ścinanie w przyjętej aproksymacji, gdy wysokość przekroju maleje. Według
autorów taka koncepcja jest nieskuteczna bez usunięcia zbędnych więzów. Ponadto ograniczeniem
stosowalności tej metody jest dokładność obliczeniowa komputera, może tu dojść do zjawiska
blokady wywołanego przez komputer (machine induced locking).
W pracy [3] zaproponowano ideę zgodności pól aproksymujących odkształcenia wywołane
zginaniem, ścinaniem oraz ściskaniem. Opracowano element klasy C 0 eliminując z aproksymacji te
wyrażenia, które powodowały niezgodności. W efekcie otrzymano element identyczny z tym, który
jest wynikiem zastosowania całkowania zredukowanego.
W pracy [42] przedstawiono sformułowanie hybrydowe wykorzystujące zakrzywiony element
klasy C 0 . Na poziomie elementu pola odkształceń i naprężeń były aproksymowane niezależnie.
Następnie parametry naprężeniowe wyeliminowano przy użyciu warunku stacjonarności
Hellingera-Reissnera otrzymując standardowe równania równowagi. Takie podejście zapewniło
poprawność otrzymanego elementu skończonego. W pracy zwrócono dużą uwagę na właściwy
dobór funkcji naprężeń. Zaproponowano dwa kryteria, których spełnienie powoduje, że
otrzymywany element nie wykazuje zjawisk blokady. Są to: kryterium unikania kinematycznych
–8–
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
postaci deformacji oraz kryterium wskaźnika więzów. Na ich podstawie autorzy zbudowali dwa
elementy zakrzywione bazujące na funkcjach liniowych i kwadratowych.
W pracy [38] wykazano, że selektywne całkowanie zredukowane zastosowane do
standardowego problemu dyskretnego prowadzi do powstania elementu skończonego
równoważnego temu, który otrzymuje się ze sformułowania hybrydowego. Tą samą prawidłowość
udowodniono w [56].
W [28] zastosowano dwie metody usuwania zjawiska blokady membranowej w elemencie
skończonym z funkcjami kształtu trzeciego stopnia. Przyjęto całkowanie zredukowane
oraz koncepcję zgodności pól dla odkształceń membranowych z wykorzystaniem metody
najmniejszych kwadratów. Wykazano, że wprowadzenie całkowania zredukowanego o jeden punkt
Gaussa prowadzi do wyników identycznych z otrzymywanymi po wprowadzeniu zgodności pól
dla odkształceń membranowych. Jednak zastosowanie redukcji o dwa punkty daje lepsze efekty.
W pracy [25] podjęto badania podobne do przedstawionych w niniejszej rozprawie.
Wyprowadzono dokładną macierz sztywności dla elementu parabolicznego. Tak opracowany
element do analizy statyki jest oczywiście wolny od zjawisk blokady, które są charakterystyczne
tylko dla aproksymacji z funkcjami kształtu nie spełniającymi podstawowych zależności pomiędzy
przybliżanymi polami przemieszczeń.
Kolejnym sposobem zapobiegania zjawiskom blokady jest koncepcja rozkładu modalnego
zaproponowana w [45]. W rozważanym elemencie izoparametrycznym klasy C 0 zapewniona
została możliwość powstania odkształceń zgięciowych, którym nie towarzyszy wydłużenie.
Przedstawiana koncepcja polega na rozdzieleniu całkowitych deformacji na dwie postacie: czysto
zgięciową i pozostałą. Następnie z wyrażenia na energię części zgięciowej usuwa się wszystkie
elementy związane ze ściśliwością i ścinaniem. Efektem takiego podejścia jest poprawiony element
zachowujący wszystkie pozytywne cechy sformułowania izoparametrycznego.
Bardzo ciekawą metodę określania przyczyn i wielkości błędów wywołanych przez zjawiska
blokady ścinania w elementach belkowych Timoshenki przedstawiono w [35]. Warunki równowagi
belki złożonej z identycznych elementów przedstawiono w postaci równań różnicowych.
Porównując takie sformułowania różnicowe dla elementu ścisłego oraz dla badanych aproksymacji
liniowych można wyraźnie zaobserwować źródła i wartości błędów. Możliwe jest także
wprowadzenie współczynników korekcyjnych, poprawiających wadliwe aproksymacje. Jednak
podejście takie jest mało efektywne dla elementów łukowych z uwagi na znacznie bardziej złożone
postacie odpowiednich równań różnicowych dla elementu dokładnego. Niemożliwym wydaje się
wprowadzenie podobnie prostych współczynników korekcyjnych jak dla belki. Kontynuacją tej
pracy były podobne rozważania dla elementów kwadratowych przedstawione w [36].
Testowaniu trójwymiarowych elementów zakrzywionych z funkcjami kształtu trzeciego stopnia,
w których zastosowano selektywne całkowanie zredukowane, poświęcono pracę [29]. Zastosowano
także metodę hybrydową z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej. Warunki nieliniowości
wprowadzono stosując metodę kolokacji. Wykazano, że takie podejście eliminuje zjawiska
blokady. Stosowano funkcje interpolujące, które uwzględniały dla łuków zakrzywionych w planie
sprzężenie zginania w płaszczyźnie łuku z wydłużeniem oraz zginania z płaszczyzny ze
–9–
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
skręcaniem. W rozważaniach uwzględniano belki zakrzywione o małej grubości (bez wpływu
ścinania).
W pracy [10] badano różne typy elementów zakrzywionych bazujących na trygonometrycznych
funkcjach kształtu. Jednak żadna z kilku przyjętych aproksymacji nie zawierała wszystkich
składników charakterystycznych dla funkcji dokładnych. Ponadto były to funkcje o stałych
współczynnikach, nie zależących od geometrii elementu.
Nowy zakrzywiony element skończony określony przez krzywiznę wyprowadzono w pracy [19].
Wszystkie pola odkształceń wyrażono poprzez zmianę krzywizny. Takie podejście zapewniło
zgodność pól odkształceń, gdyż interpolowana była tylko jedna zmienna. Autorzy wskazali,
że najmniejszym możliwym do przyjęcia stopniem wielomianu jest 2, gdyż odkształcenie osiowe
pręta zakrzywionego zależy od drugiej pochodnej krzywizny. Przyjęcie niższego stopnia
aproksymacji prowadziłoby do blokady membranowej. Otrzymany element został przetestowany
i wykazano, że jest wolny od zjawisk blokady ścinania i membranowej.
Podobne podejście zaproponowano dla łuków, w których uwzględniono duże przemieszczenia
[40] oraz plastyczność [41]. W obu przypadkach jedyną aproksymowaną wielkością był kąt obrotu
przekroju, co automatycznie zapewniło zgodność pól przemieszczeń.
W pracy [5] zaproponowano dwa trójwymiarowe elementy krzywoliniowe wykorzystujące
niezależne pola odkształceń: dwuwęzłowy i trzywęzłowy wykorzystujące odpowiednio
aproksymację stałą oraz liniową. Takie podejście eliminuje zjawiska blokady. Ponadto wykazano,
przeprowadzając liczne testy numeryczne, że tak opracowane elementy dają lepsze wyniki,
niż zmodyfikowany kwadratowy element izoparametryczny wyprowadzony w [30].
Dwuwęzłowy element zakrzywiony, w którym zastosowano rozdział postaci odkształcenia
dla przemieszczeń radialnych oraz koncepcję zgodności pól w odkształceniach obwodowych
przedstawiono w [18]. Wprowadzono macierz transformacji pomiędzy odkształceniami związanymi
ze ścinaniem a odkształceniami wywołanymi zginaniem. Wykazano, że takie, jednak dość
rozbudowane, sformułowanie jest skuteczne i usuwa problemy związane z występowaniem zjawisk
blokady. Do aproksymacji krzywizny przyjęto liniowe funkcje kształtu. Wykonując obliczenia
numeryczne autorzy wykazali wyższość swojego elementu nad elementami zaproponowanymi w
[3].
Wiele innych prac poświęcono także opracowaniu elementów krzywoliniowych do analizy
problemów nieliniowych geometrycznie. Poza kilkoma wspomnianymi wcześniej można wymienić
ponadto [8, 12, 17, 43, 47].
1.3. Cel pracy
Niniejsza rozprawa stanowi rozszerzenie wcześniejszych badań dotyczących statyki [20, 23, 24,
37], dynamiki i stateczności łuków [21, 22] na przypadki prętów silnie zakrzywionych.
Podstawowym celem rozprawy jest opracowanie wielomianowego elementu skończonego, który
byłby efektywnym narzędziem analizy łuków o dużej krzywiźnie. Chodzi o zbudowanie takiego
elementu, który będzie nie tylko skutecznym narzędziem analizy, ale którego sformułowanie będzie
miało uzasadnienie fizyczne. Ogromna większość wysiłków naukowych w tej dziedzinie bazuje
– 10 –
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
bowiem na technikach nie znajdujących takiego uzasadnienia. Całkowanie zredukowane, rozdział
postaciowy pól odkształceń, parametry kary, macierze stabilizacyjne, czy idea poprawiania modelu
przez wtórne wprowadzanie zgodności pól to wszystko są zabiegi polegające na sztucznej
modyfikacji prostego, ale błędnego w samym założeniu, modelu opartego o wymyślone,
niepoprawne funkcje kształtu.
Podejmowano już próby opracowania elementów bazujących na funkcjach trygonometrycznych.
Jednak podstawową zaletą aproksymacji będącej przedmiotem tej rozprawy jest przyjęcie
wielomianowych funkcji kształtu, które są przybliżeniem ścisłych funkcji trygonometrycznych.
Przy takim podejściu otrzymuje się bardziej rozbudowany element, gdyż proponowane funkcje
mają charakter fizyczny. Współczynniki występujące w nich zależą od fizycznych i
geometrycznych charakterystyk elementu. Osiąga się jednak ogromny zysk w dokładności obliczeń,
a co ważniejsze pewność, że element jest efektywny we wszystkich możliwych przypadkach w
ramach przyjętych założeń. Nie można mieć natomiast takiej pewności dla aproksymacji opartych
na sztucznych zabiegach. Ich skuteczność potwierdzono jedynie przeprowadzając liczne obliczenia
numeryczne, ale to nie stanowi dowodu poprawności.
Celem dodatkowym rozprawy jest, po opracowaniu wiarygodnego narzędzia do analizy łuków,
określenie wpływu efektów dużej krzywizny na wyniki obliczeń oraz próba zdefiniowania granicy
rozdzielającej łuki o małej krzywiźnie od silnie zakrzywionych. Dotyczy to statyki
(przemieszczenia), dynamiki (częstości kołowe drgań własnych) oraz stateczności (wartości
jednoparametrowych obciążeń krytycznych).
Jako oryginalny element pracy można wymienić również wyprowadzenie równań
różniczkowych osi odkształconej łuku silnie zakrzywionego z uwzględnieniem sił poprzecznych
oraz sił normalnych.
Rozważania dotyczące elementów prętowych silnie zakrzywionych ograniczono do materiałów
charakteryzujących się liniową sprężystością oraz układów konstrukcyjnych o liniowej geometrii
w ramach teorii małych przemieszczeń i małych odkształceń. Jedynie w zagadnieniach stateczności
odstąpiono od zasady zesztywnienia.
1.4. Omówienie treści rozprawy
Zasadnicza część pracy rozpoczyna się od przedstawienia w Rozdziale 2 elementów teorii
płaskich prętów o dużej krzywiźnie. Skupiono się przede wszystkim na podaniu formuł, które były
wykorzystane w dalszych obliczeniach – równania pracy wirtualnej do obliczania przemieszczeń
oraz wzoru na energię sprężystą wyrażoną przez uogólnione przemieszczenia.
Rozdział 3 poświęcono opracowaniu konsystentnego elementu łukowego. Bazuje on
na dokładnych (dla statyki) funkcjach kształtu, które mają postać trygonometryczną. Zbudowano
macierze elementowe: sztywności, mas i geometryczną. Korzystając z macierzy sztywności
przedstawiono warunki równowagi łuku podzielonego na identyczne elementy w postaci równań
różnicowych. Następnie poprzez przejście graniczne (długość elementu dąży do zera) otrzymano
równania różniczkowe osi odkształconej łuku. Wykazano także identyczność macierzy sztywności
– 11 –
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
wyznaczonej z warunku minimalizacji energii sprężystej z otrzymaną jako komplet reakcji
węzłowych spowodowanych jednostkowymi przemieszczeniami węzłów elementu łukowego.
Następnie przytoczono liczne przykłady numeryczne, których celem była weryfikacja
opracowanego elementu, określenie wpływów dużej krzywizny na wyniki obliczeń, wykazanie,
że opracowany element o stałej krzywiźnie może być również wykorzystany do rozwiązywania
łuków o zmiennym promieniu krzywizny, a także porównanie wyników z teorii prętowej z
wynikami teorii sprężystości w odniesieniu do łuków traktowanych jako tarcze.
Rozdział 4 poświęcono zasadniczemu celowi pracy – wyprowadzeniu wielomianowego
elementu skończonego. Stosując rozwinięcia funkcji trygonometrycznych w szeregi potęgowe
znaleziono przybliżone wielomianowe funkcje kształtu. Ich charakterystyczną cechą, odróżniającą
je od funkcji powszechnie stosowanych, jest zależność występujących w nich współczynników
od geometrycznych i fizycznych parametrów elementu. Dokonano porównania funkcji dokładnych
i przybliżonych. Wyprowadzono macierze elementowe: sztywności – stosując rozwinięcia funkcji
trygonometrycznych do dokładnej macierzy sztywności oraz mas i geometryczną – korzystając
z wielomianowych funkcji kształtu.
Ponadto przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych, w których zastosowano element
wielomianowy. Celem tych obliczeń było przede wszystkim wykazanie bardzo dużej dokładności
opracowanego elementu, a także faktu, że nie wykazuje on pasożytniczych zjawisk blokady
ścinania ani blokady membranowej oraz jego wyższości nad innymi elementami wielomianowymi,
np. elementami wykorzystującymi koncepcję całkowania zredukowanego i selektywnego.
W Rozdziale 5 zawarto podsumowanie pracy i wnioski końcowe.
Na końcu pracy przedstawiono zestawienie literatury oraz trzy załączniki. W Załączniku 1
podano postać wielomianowej macierzy mas elementu zakrzywionego Eulera-Bernoulliego,
w Załączniku 2 – wielomianowej macierzy geometrycznej elementu zakrzywionego EuleraBernoulliego, a w Załączniku 3 – macierzy sztywności elementów wykorzystujących liniowe
funkcje kształtu , w których zastosowano całkowanie analityczne oraz selektywne zredukowane.
– 12 –