semi1popr-popr-popr
Transkrypt
semi1popr-popr-popr
POLITECHNIKA ×ÓDZKA Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Kierunek: Specjalność: Matematyka Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Grupa 2: Rafa÷Ko÷ecki i Przemys÷aw Wandachowicz SEMINARIUM cześć ¾ 1 Praca zaliczeniowa napisana w Instytucie Matematyki pod kierunkiem profesora Jana Kubarskiego ×ódź grudzień 2009 1 1 Istnienie produktu tensorowego pisa÷Przemys÷ aw Wandachowicz: Ćwiczenie 1 [W.H.G, Problem 2, str. 4] Mamy dane odwzorowanie dwuliniowe ' : E F ! G. Odwzorowanie : E F ! G jest zde…niowane za pomoca¾ wzoru: (z) = '( 1 z; 2 z), z 2 E F , gdzie 1 : E F ! E, Pokaza´c, ·ze zachodzi zale·zno´s´c: :E 2 2 ( z) = F ! F sa¾ rzutami kanonicznymi. (z) Rozwiazanie: ¾ Weźmy z = (x; y), x 2 E, y 2 F , takie z·e jemy, z·e ( z) = '( 1( z); 2( z)) = '( x; y) = 1 (z) = x, '(x; y) = 2 (z) 2 = y. Wykazu2 '(x; y) = (z). Ćwiczenie 2 [W.H.G, Problem 4, str. 4] Pokaza´c, ·ze zbiór S wszystkich wektorów z G postaci '(x; y) dla danego odwzorowania dwuliniowego ' : E F ! G nie musi by´c podprzestrzenia¾ przestrzeni G. Rozwiazanie: ¾ Niech E = F , G beda¾ 2 i 4 wymiarowymi przestrzeniami, w których baza¾ przestrzeni E jest uk÷ ad a1, a2 oraz baza¾ przestrzeni G jest e1, e2, e3, e4. De…niujemy odwzorowanie dwuliniowe ' wzorem: '(x; y) = gdzie x = 1 a1 + 2 1 1 1 e1 + a2 , y = a1 + 2 e2 + 2 1 e3 + 2 2 e4, 2 a2 . Pokaz·emy, z·e wektor X v r z= e . (1) v nalez·y do S wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi relacja '1 ' 4 '2 '3 = 0. (2) Za÷ óz·my, z·e wektor z 2 G postaci (1) nalez·y do S. Pokaz·emy, z·e zachodzi relacja (2). Wez·my z = '(x; y). Mamy 1 1 , '2 (x; y) = 1 2 ' 1 '4 ' 2 '3 = 1 1 '1 (x; y) = , '3 (x; y) = 2 1 , '4 (x; y) = Sprawdzamy: 2 pisa÷Rafa÷Ko÷ ecki: 2 2 1 2 2 1 = 0: 2 2 : Za÷ óz·my teraz, z·e wektor z postaci (1) spe÷nia relacje¾ (2). Nalez·y stwierdzić, czy istnieja¾ liczby 1 , 2 , 1 ; 2 takie, z·e 8 1 1 ' = > > < 1 1 2 '2 = 2 1 . ' = > > : 3 2 2 '4 = Przyjmijmy, z·e 1 = 1, stad ¾ ostatnich równań otrzymujemy 1 = '1 , 2 '3 = '4 = 2 2 = '2 . Wstawiajac ¾ do dwóch '1 . '2 3 nia równanie '4 = Za÷ óz·my, z·e '1 6= 0. Wówczas 2 = ' '1 . Liczba ta spe÷ '3 2 '2 , poniewaz· wstawiajac ¾ otrzymujemy '4 = ' '2 , co jest równowaz·ne z 1 '1 '4 = '2 '3 . Za÷ óz·my teraz, z·e '1 = 0. Wówczas 1 = 0 oraz '3 = 0, 2 4 = '2 , '4 = 2 '2 . Jez·eli '2 6= 0, to 2 = ' ' . Pozostaje przypadek '1 = 0, 2 '2 = 0. Weźmy 1 = 0, 2 = 1. Wówczas z dwóch ostatnich równań dostajemy 1 = ' 3 , 2 = '4 . Pokaz·emy teraz, z·e istnieja¾ takie wektory z1 , z2 2 S, których róz·nica nie nalez·y do S, z1 z2 2 = S. Po÷óz·my z1 = 2e1 + 2e2 + e3 + e4 , z2 = e1 + e2 . Wektory te nalez·a¾ do S, poniewaz· spe÷niaja¾ relacje¾ (2). Natomiast ich róz·nica z = z1 z2 = e1 + 2e2 + e4 2 = S, poniewaz· wspó÷czynniki nie spe÷niaja¾ równania (2). Zatem istotnie zbiór S wszystkich wektorów z G postaci '(x; y) dla danego odwzorowania dwuliniowego ' : E F ! G nie musi być podprzestrzenia¾ przestrzeni G. Literatura [W.H.G] W.H.Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag New York Inc. Nowy Jork 1967. 3