Matematyka dyskretna Oznaczenia

Matematyka dyskretna
Oznaczenia
Andrzej Szepietowski
W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia.
∀ oznacza kwantyfikator ogólny ”dla każdego”. ∃ oznacza kwantyfikator szczególowy
”istnieje”.
1
Sumy i iloczyny
Maja̧c dany skończony cia̧g a1 , a2 ,... ak , sumȩ jego elementów zapisujemy jako
k
X
ai
i=1
Niezbyt formalnie możemy zapisać
k
X
ai = a 1 + a 2 + · · · + a k .
i=1
Na przyklad
k
X
i = 1+2+···+k =
i=1
(k + 1)k
2
(suma cia̧gu arytmetycznego). Podobnie dla każdego x 6= 1 mamy
k
X
xk+1 − 1
x = 1+x+x +···+x =
x−1
i=0
i
k
2
(suma cia̧gu geometrycznego). Bȩdziemy też używać zapisu typu
X
ai = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 .
1≤i≤6
W tym przypadku zbiór indeksów określony jest za pomoca̧ warunku pod znakiem sumy.
Warunek określaja̧cy indeksy, po których należy sumować może być bardziej skomplikowany,
na przyklad
X
ai = a 2 + a 4 + a 6 .
1≤i≤6
i parzyste
1
Stosować bȩdziemy także zapis
X
ai
i∈I
oznaczaja̧cy sumȩ tych elementów ai , których indeksy należa̧ do skończonego zbioru indeksów
I. Na przyklad, jeżeli I = {1, 3, 5, 7}, to
X
ai = a 1 + a 3 + a 5 + a 7 .
i∈I
Aby zapisać iloczyn elementów cia̧gu a1 , a2 ,... ak , stosujemy zapis
k
Y
ai .
i=1
Znów niezbyt formalnie możemy to zapisać jako
k
Y
ai = a 1 · a2 · · · · · ak .
i=1
2
Zbiory
∅ oznacza zbiór pusty, który nie zawiera żadnych elementów. IN oznacza zbiór liczb naturalnych IN = {0, 1, 2, 3, . . .}
a ∈ A oznacza, że elment a należy do zbioru A, a ∈
/ A, że elment a nie należy do zbioru A.
Najprostszy sposób zdefiniowania zbioru polega na wypisaniu jego elementów w nawiasach
klamrowych. Na przyklad zbiór {1, 2, 3} zawiera elementy 1,2,3. Inny sposób definiowania
zbioru polega na podaniu wlasności, która̧ spelniaja̧ elementy zbioru. Na przyklad {x | x ∈
IN, 3 < x < 7} oznacza zbiór liczb naturalnych wiȩkszych od 3 i mniejszych od 7.
|A| oznacza moc zbioru lub inaczej liczbȩ elementów tego zbioru.
|{3, 6, 9}| = 3,
|∅| = 0.
A ∪ B oznacza sumȩ zbiorów, czyli zbiór, który zawiera wszystkie elementy zbioru A i
wszystkie elementy zbioru B.
{1, 2, 4} ∪ {1, 4, 6} = {1, 2, 4, 6}.
A ∩ B oznacza iloczyn lub przekrój zbiorów, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które
należa̧ do obu zbiorów naraz.
{1, 2, 4} ∩ {1, 4, 6} = {1, 4}.
A − B oznacza różnicȩ, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które należa̧ do A i nie należa̧
do B.
{1, 2, 4} − {1, 4, 6} = {2}.
2
A ⊕ B oznacza różnicȩ symetryczna̧, która zawiera elementy należa̧ce tylko do jednego z
dwóch zbiorów. A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A).
{1, 2, 4} ⊕ {1, 4, 6} = {2, 6}.
A ⊆ B oznacza, że zbior A zawiera siȩ w zbiorze B, to znaczy wszystkie elementy zbioru A
należa̧ do zbioru B.
{2, 1} ⊆ {1, 2, 3}
Dwa zbiory sa̧ równe jeżeli zawieraja̧ te same elementy, lub inaczej A = B wtedy i tylko
wtedy gdy A ⊆ B i B ⊆ A.
{1, 4, 2, 3} = {4, 1, 3, 2}.
Jak widać kolejność elementów w zapisie zbioru nie ma znaczenia. I tak na przyklad {1, 2} =
{2, 1}. Taki zbior dwuelementowy nazywamy czasami para̧ nieuporza̧dkowana̧.
Kolejność elemnetów jest istotna w parze uporza̧dkowanej, która̧ oznaczamy przez (x, y).
Mamy (x, y) = (u, v) wtedy i tylko wtedy gdy x = u oraz y = v. Dopuszczalne jest także
x = y. Para uporza̧dkowana jest cia̧giem dwuelementowym.
A×B oznacza iloczyn kartezjański zbiorów A i B. Jest to zbiór wszystkich uporza̧dkowanych
par (a, b), w których a ∈ A i b ∈ B. Inaczej
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Dla A = {1, 3, 5} i B = {3, 4} mamy
A × B = {(1, 3), (1, 4), (3, 3), (3, 4), (5, 3), (5, 4)}.
Powinno być oczywiste, że
|A × B| = |A| · |B|.
3
Rodzina zbiorów
Zbiór zbiorów nazywamy czasami rodzina̧ zbiorów. Na przyklad A = {A 1 , A2 , A3 , A4 } jest
rodzina̧ zawieraja̧ca̧ cztery zbiory A1 , A2 , A3 i A4 , sa̧ to elementy zbioru A. Możemy też
zapisać A = {Ai | 1 ≤ i ≤ 4}.
Możemy sumować zbiory z rodziny. Suma
k
[
Ai
i=1
zawiera te elementy, które należa̧ do któregoś ze zbiorów A1 , A2 , ... ,Ak , czyli
k
[
Ai = {x | ∃i 1 ≤ i ≤ k; x ∈ Ai }.
i=1
3
Inaczej możemy to zapisać:
k
[
Ai = A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A k
i=1
Bȩdziemy też używać zapisu
[
Ai
i∈I
na oznaczenie sumy wszystkich zbiorów Ai , których indeksy należa̧ do zbioru I. Zachodzi
wtedy
[
Ai = {x | ∃i∈I x ∈ Ai }.
i∈I
Zbiór indeksów sumowania może być określony za pomoca̧ warunku.
[
Ai = A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 ∪ A 5 .
1<i<6
Możemy też brać przekroje zbiorów z rodziny. Przekrój
k
\
Ai
i=1
zawiera te elementy, które należa̧ do wszystkich zbiorów A1 , A2 , ... ,Ak , czyli
k
\
Ai = {x | ∀i 1 ≤ i ≤ k; x ∈ Ai }.
i=1
Inaczej możemy to zapisać:
k
\
Ai = A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A k
i=1
Bȩdziemy też używać zapisu
\
Ai
i∈I
na oznaczenie przekroju wszystich zbiorów Ai , których indeksy należa̧ do zbioru I. Zachodzi
wtedy
\
Ai = {x | ∀i∈I x ∈ Ai }.
i∈I
Zbiór indeksów przekroju może być określony za pomoca̧ warunku.
\
Ai = A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 .
1<i<6
Przyklad 1. Weźmy rodzinȩ zlożona̧ z trzech zbiorów A1 = {4, 6, 8}, A2 = {4, 5, 6},
A3 = {4, 5, 8, 9},
3
[
3
\
Ai = {4, 5, 6, 8, 9}
i=1
i=1
4
Ai = {4}
Przyklad 2. Niech I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} bȩdzie zbiorem indeksów. Dla każdego
i ∈ I określamy zbór Ai = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ i}. Mamy
[
\
Ai = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
[
\
Ai = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ai = {1, 2}
1<i<7
1<i<7
4
Ai = {1}
i∈I
i∈I
Zaokra̧glenia
Wprowadźmy dwa oznaczenia na zaokra̧glenie liczby rzeczywistej.
rzeczywistej x
dxe
Dla dowolnej liczby
oznacza zaokra̧glenie x w górȩ do najbliższej liczby calkowitej. Na przyklad:
d4e = 4,
d4.3e = 5,
d−4e = −4,
d−4.3e = −4.
Przez
bxc
bȩdziemy oznaczać zaokra̧glenie x w dól do najbliższej liczby calkowitej. Na przyklad:
b4c = 4,
b4.3c = 4,
b−4c = −4,
5
b−4.3c = −5.