Zagadnienia brzegowe w elektrostatyce na przykładzie linii

Zagadnienia brzegowe w elektrostatyce na przykładzie linii
dwuprzewodowej
Krzysztof Stawicki
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
I. POLE ELEKTROSTATYCZNE NAŁADOWANEJ LINII
Do wyznaczenia pola elektrostatycznego linii dwuprzewodowej wykorzystamy prawo Gaussa. Na
początku znajdziemy z niego wyrażenie na indukcję elektryczną D pochodzącą od pojedynczej,
nieskończenie cienkiej linii obdarzonej ładunkiem q:
(1)
⃗
∮ D⃗ ⋅dS=q
,
S
gdzie dS jest wektorem normalnym do elementarnej powierzchni S, wewnątrz której zamknięty jest
ładunek q. Gęstość liniowa ładunku τ na linii określona jest zależnością:
(2)
τ=
q ,
l
gdzie l jest długością odcinka linii.
Rys. 1. Odcinek linii wewnątrz powierzchni w formie współosiowego walca
Aby wyznaczyć wartość indukcji elektrycznej wygodnie jest przyjąć powierzchnię otaczającą linię
w formie walca współosiowego z linią (Rys. 1). Otrzymujemy wtedy rozwiązanie uzależnione od
odległości r od linii:
(3)
⃗ = τ 1⃗r .
D
2πr
Z równania (3) możemy wyznaczyć wartość natężenia pola elektrycznego oraz skalarny potencjał
elektryczny V, w odległości r od linii:
(4)
1
V = τ ln
.
2 πε r
II. POLE ELEKTROSTATYCZNE LINII DWUPRZEWODOWEJ
Rys. 2. Odcinek linii dwuprzewodowej
Korzystając z równania (4) możemy wyznaczyć skalarny potencjał elektryczny dla linii
dwuprzewodowej, tzn. dla linii złożonej z dwóch przewodów ułożonych równolegle względem
siebie (Rys. 2), obdarzonych ładunkami o takiej samej wartości bezwzględnej, ale o przeciwnych
znakach. Stosując metodę superpozycji znajdziemy rozwiązanie w dowolnym punkcie jako sumę
potencjałów pochodzących od obu linii:
(5)
r2
V = τ ln
,
2 πε r 1
gdzie r1 i r2 są odległościami od poszczególnych linii.
Rozwiązanie to możemy wykorzystać do określenia wartości potencjału elektrycznego na
powierzchniach przewodów o skończonych polach przekroju, tworzących linię dwuprzewodową.
Wiadomo, że powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną. Dla układu złożonego
z dwóch przewodów o przekroju kołowym potencjał na powierzchni każdego przewodu również
jest stały i można go opisać równaniem (5), czyli takim samym jak dla linii z nieskończenie
cienkich przewodów. Linie ekwipotencjalne tworzą punkty, w których V = const. Z równania (5)
możemy wyznaczyć zależność, jaką linie te są opisywane:
(6)
V =const.⇒
r2
=const.=a ,
r1
gdzie a jest liczbą stałą, nieujemną.
Rys. 3. Odcinek linii dwuprzewodowej w kartezjańskim układzie współrzędnych
Z równania (6) można wyprowadzić równanie dla linii ekwipotencjalnych, które po przyjęciu
kartezjańskiego układu współrzędnych (jak na Rys. 3) ma postać:
(7)
2
y 2+( x−h ) =R2 ,
gdzie h i R są środkiem na osi x i promieniem okręgu tworzącego linię ekwipotencjalną. Dla danej
wartości stałej a oraz położenia osi elektrycznej przewodu b wartości h oraz R wyznacza się z
wzorów:
(8)
h=b
(9)
R=
a 2+1
a 2−1
2ab
∣a 2−1∣
III. ROZWIĄZANIE NUMERYCZNE
Określenie wartości skalarnego potencjału elektrycznego jest możliwe również numerycznie, np. za
pomocą metody elementów skończonych. Rozważamy wtedy dwuwymiarowy obszar Ω
ograniczony brzegiem Γ. W obszarze Ω określamy równanie, które ma być w nim spełnione i
poszukujemy wartości liczbowych rozwiązania, natomiast na brzegu obszaru musimy określić tzw.
warunki brzegowe.
IV. ZAGADNIENIA BRZEGOWE W RÓWNANIACH RÓŻNICZKOWYCH
Ze względu na warunki brzegowe stawiane na brzegu Γ wyróżniamy następujące zagadnienia
brzegowe:
1. Zagadnienie Dirichleta (zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju)
Znaleźć funkcję V spełniającą łącznie następujące warunki:
(10)
∇ 2 V =0 – równanie Laplace'a wewnątrz obszaru Ω,
(11)
V∣Γ = f ( x , y) – wartość funkcji na brzegu Γ,
gdzie f(x, y) jest znaną funkcją.
2. Zagadnienie Neumanna (zagadnienie brzegowe drugiego rodzaju)
Znaleźć funkcję V spełniającą łącznie następujące warunki:
(12)
∇ 2 V =0 – równanie Laplace'a wewnątrz obszaru Ω,
(13)
∂V
∣ = f (x , y ) – wartość pochodnej funkcji na brzegu Γ,
∂n Γ
gdzie n jest wektorem normalnym na brzegu Γ, skierowanym na zewnątrz obszaru Ω.
2. Zagadnienie Robina (zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju)
Znaleźć funkcję V spełniającą łącznie następujące warunki:
(14)
∇ 2 V =0 – równanie Laplace'a wewnątrz obszaru Ω,
(15)
(
a
)
∂V
+b V ∣Γ = f (x , y ) – kombinacja funkcji i jej pochodnej na
∂n
brzegu Γ, gdzie a i b są stałymi
V. WYNIKI OBLICZEŃ
Poniżej zostały przedstawione przykładowe wyniki obliczania skalarnego potencjału elektrycznego
analitycznie oraz metodą elementów skończonych. Wykorzystano równanie (5) do obliczenia
potencjału metodą analityczną oraz równania (7) – (9) do wykreślenia linii ekwipotencjalnych.
Rys. 4. Skalarny potencjał elektryczny [V] – rozwiązanie analityczne
Rys. 5. Skalarny potencjał elektryczny [V] – rozwiązanie MES z zerowym warunkiem Dirichleta
Rys. 6. Skalarny potencjał elektryczny [V] – rozwiązanie MES z zerowym warunkiem Neumanna
Rys. 7. Skalarny potencjał elektryczny [V] – rozwiązanie MES z zerowym warunkiem Robina