Przykłady kontroli poprawnosci wnioskowania skrócon ˛a metod ˛a

c Witold Marciszewski • LOGIKA 2004/05 • Aneks 1 do Rozdziału o Rachunku Zdań
Przykłady kontroli poprawności wnioskowania
skrócona˛ metoda˛ zerojedynkowa˛
1. Rozważymy dwa przykłady poprawnych schematów wnioskowania oraz dwa przykłady typowych
bł˛edów. Ucza˛ one, jak rozpoznawać, czy dane wnioskowanie jest poprawne, stosujac
˛ najpierw:
• algorytm znajdowania formuły odpowiadajacej
˛ danemu schematowi wnioskowania,
a nast˛epnie
• algorytm zwany skrócona˛ metoda˛ zerojedynkowa.˛
Zagadnienie to omówione jest zwi˛eźle w rozdziale o rachunku zdań (fragmenty 4.1 i 4.2), tu zaś
jest uzupełnione o nowe praktyczne przykłady. Oto algorytm prowadzacy
˛ do znalezienia formuły
przyporzadkowanej
˛
schematowi wnioskowania.
— (1) Rozpoznajemy schemat S tego wnioskowania, którego poprawność ma si˛e zbadać. Czynimy
to przez odróżnienie przesłanki (lub wi˛ecej przesłanek) i wniosku oraz zastapienie
˛
ich najprostszych
składników zdaniowych przez symbole literowe (np. A, B, C itd.), a terminów logicznych j˛ezyka
polskiego („i”, „jeśli”, „nie” itd.) – przez odpowiadajace
˛ im symbole logiczne. Słówko oddzielajace
˛
wniosek od przesłanek („wi˛ec” itp.) zamieniamy na pozioma˛ kresk˛e.
— (2) Przyporzadkowan
˛
a˛ danemu schematowi formuł˛e logiczna˛ tworzymy, jak nast˛epuje:
a) łaczymy
˛
przesłanki symbolem koniunkcji;
b) pozioma˛ kresk˛e zast˛epujemy symbolem implikacji.
Krok b ma analogi˛e z zachodzac
˛ a˛ w j˛ezyku polskim wymiennościa˛ „wi˛ec” i „jeśli”. Na przykład,
wnioskowanie „świta, wi˛ec zaczyna si˛e dzień” jest poprawne wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie warunkowe „jeśli świta, to zaczyna si˛e dzień” jest prawdziwe. Po zamianie kreski na strzałk˛e powstaje
formuła logiczna w postaci implikacji; nazwijmy ja˛ F.
Jeśli F jest tautologia,˛ czyli jej nast˛epnik wynika logicznie z poprzednika, to: ponieważ nast˛epnik
pokrywa si˛e z wnioskiem, a poprzednik z przesłankami, wniosek wynika logicznie z przesłanek. A
gdy zachodzi wynikanie logiczne i przy tym mamy pewność, że przesłanki sa˛ prawdziwe, to pewne
jest, że prawdziwy jest wniosek; wszak z prawdy nigdy nie wynika fałsz.
2. Rozważona niżej para przykładów dotyczy (α) akceptowania implikacji wraz z jej poprzednikiem
i (β) akceptowania implikacji wraz z nast˛epnikiem. Problemem jest to, czy z takiej pary przesłanek
wynika logicznie pozostały człon implikacji.
Przykład α.
Jeśli jest tam dym, to jest tam ogień.
Jest tam dym.
A wi˛ec: jest tam ogień.
Krok (1) – tworzymy schemat Sα :
A⇒B
A
———–
B.
Krok (2) – tworzymy formuł˛e Fα : ((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q; z pewnych wzgl˛edów syntaktycznych
w schematach wnioskowania używamy do reprezentowania zdań innych symboli (np. A, B) niż w
formułach rachunku zdań.
1
2
Aneks 1: Kontrola poprawności wnioskowania skrócona˛ metoda˛ zerojedynkowa˛
Krok (3). W badaniu tautologiczności posłużymy si˛e algorytmem zerojedynkowym w formie
skrótowej. Post˛epowanie to zaczyna si˛e od nast˛epujacego
˛
założenia o rozważanej formule.
Z(Fα ): Przyjmijmy, że Fα nie jest tautologia,˛ czyli że istnieja˛ takie wartościowania (podstawienia
wartości zero i jeden za zmienne zdaniowe), przy których formuła ta staje si˛e fałszywa. Wynikaja˛
stad
˛ nast˛epujace
˛ wnioski.
1: Poprzednik ”(p ⇒ q) ∧ p” = 1.
2: Nast˛epnik ”q” = 0.
Z wiersza 1 jako z koniunkcji wynika prawdziwość obu jej składników:
3: ”p ⇒ q” = 1,
4: ”p” = 1.
Z wierszy 2 i 4 wynika:
5: ”p ⇒ q” = 0.
Tak wi˛ec z założenia Z(Fα ) wynikaja˛ dwa sprzeczne wnioski 3 i 5. Gdy z jakiegoś zdania wynika
sprzeczność, zdanie to jest fałszywe. A skoro FAŁSZYWE jest przyj˛ete (na prób˛e) założenie Z(Fα ),
to PRAWDA˛ jest jego zaprzeczenie, czyli zdanie:
NIE istnieja˛ takie podstawienia, przy których formuła Fα staje si˛e fałszywa.
Jest wi˛ec Fα jest tautologia˛ czyli prawem logiki. Upoważnia to do przyj˛ecia reguły zezwalajacej
˛ na
wnioskowanie wedle schematu Sα . Reguła akceptujaca
˛ schemat Sα jest na tyle doniosła, że została
wyróżniona osobnym imieniem własnym. Nazywa si˛e ona reguła˛ odrywania lub, z łaciny, modus
ponendo ponens.
*
Przykład β. Rozważmy nast˛epujace
˛ wnioskowanie.
Jeśli jest tam dym, to jest tam ogień.
Jest tam ogień.
A wi˛ec: jest tam dym.
Krok (1) – tworzymy schemat Sβ :
A⇒B
B
———–
A.
Krok (2) – tworzymy formuł˛e Fβ : ((p ⇒ q) ∧ q) ⇒ p.
Krok (3). Założenie.
Z(Fβ ): Przyjmijmy, że Fβ nie jest tautologia,˛ czyli że istnieja˛ takie wartościowania (podstawienia
wartości zero i jeden za zmienne zdaniowe), przy których formuła ta staje si˛e fałszywa. Wynikaja˛
stad
˛ nast˛epujace
˛ wnioski.
1: Poprzednik ”(p ⇒ q) ∧ q” = 1,
2: nast˛epnik ”p” = 0.
Z wiersza 1 wynika:
2
Aneks 1: Kontrola poprawności wnioskowania skrócona˛ metoda˛ zerojedynkowa˛
3
3: ”q” = 1.
Skoro ”p” = 0 i ”q” = 1, to ”(p ⇒ q)” = 1. To zaś, wespół z ”q” = 1" czyni prawdziwym poprzednik,
co przy fałszywości nast˛epnika falsyfikuje rozważana˛ formuł˛e.
3. Przykłady: negacja poprzednika, negacja nast˛epnika
Przykład γ. Rozważmy nast˛epujace
˛ wnioskowanie.
Jeśli jesteś uczciwy, to jesteś religijny.
Nie jesteś religijny.
A wi˛ec nie jesteś uczciwy.
Krok (1) – tworzymy schemat Sγ :
A⇒B
¬B
———–
¬A.
Krok (2) – tworzymy formuł˛e Fγ : ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p.
Krok (3). Czynimy nast˛epujace
˛ założenie.
Z(Fγ ): Przyjmijmy, że Fγ nie jest tautologia,˛ czyli że istnieja˛ takie wartościowania (podstawienia
wartości zero i jeden za zmienne zdaniowe), przy których formuła ta staje si˛e fałszywa. Wynikaja˛
stad
˛ nast˛epujace
˛ wnioski.
1: Poprzednik ”(p ⇒ q) ∧ ¬q” = 1.
2: Nast˛epnik ”¬p” = 0.
3. ”p”=1 .... z wiersza 2.
4. ”¬q” = 1 .... z wiersza 1.
5. ”q” = 0 .... z wiersza 4.
6. ”p ⇒ q” = 1 .... z wiersza 1.
7. ”p ⇒ q” = 0 .... z wierszy 3 i 5.
Tak wi˛ec z założenia Z(Fγ ) wynikaja˛ dwa sprzeczne wnioski 6 i 7, co świadczy o jego fałszywości.
W takim razie prawdziwe jest jego zaprzeczenie czyli zdanie:
NIE istnieja˛ takie podstawienia, przy których formuła Fγ staje si˛e fałszywa.
To zaś znaczy tyle, że Fγ jest tautologia˛ czyli prawem logiki, a wi˛ec reguła akceptujaca
˛ przyporzadkowany
˛
tej formule schemat jest niezawodna˛ reguła˛ wnioskowania. Nosi ona łacińska˛ nazw˛e
modus tollendo tonens. Podczas gdy nazwa poprzedniej modus ponendo ponens mówi, że uzyskujemy wynik akceptujacy
˛ (ponens) nast˛epnik dzi˛eki akceptacji (ponendo) poprzednika, nazwa obecnej powiada, że uzyskujemy wynik negujacy
˛ (tollens) poprzednik dzi˛eki zanegowaniu (tollendo)
nast˛epnika.
*
3
4
Aneks 1: Kontrola poprawności wnioskowania skrócona˛ metoda˛ zerojedynkowa˛
Przykład δ. Rozważmy nast˛epujace
˛ wnioskowanie.
Jeśli jesteś uczciwy, to jesteś religijny.
Nie jesteś uczciwy.
A wi˛ec nie jesteś religijny.
Krok (1) – tworzymy schemat Sδ :
A⇒B
¬A
———–
¬B.
Krok (2) – tworzymy formuł˛e Fδ : ((p ⇒ q) ∧ ¬p) ⇒ ¬q.
Krok (3) – czynimy nast˛epujace
˛ założenie.
Z(Fδ ): Przyjmijmy, że Fδ nie jest tautologia,˛ czyli że istnieja˛ takie wartościowania (tj. podstawienia
wartości zero i jeden za zmienne zdaniowe), przy których formuła ta staje si˛e fałszywa. Wynikaja˛
stad
˛ nast˛epujace
˛ wnioski.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Poprzednik ”(p ⇒ q) ∧ ¬p” = 1.
Nast˛epnik ”¬q” = 0.
”p ⇒ q” = 1 .... z wiersza 1.
”¬p” = 1 .... z wiersza 1.
”p” = 0 .... z wiersza 4.
”q” = 1 .... z wiersza 2.
Przy znalezionych w ten sposób wartościach ”p” = 0 i ”q” = 1, formuła Fδ przyjmuje wartość 0.
Skoro istnieje dla niej dla wartościowanie falsyfikujace,
˛ nie jest ona tautologia.˛
4