03 Drgania układu o jednym stopniu swobody

Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Diagnostyki systemów mechatronicznych
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody
Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym,
składający się ze sprężyny o końcach A, B mającej sztywność K i pomijalną masę w stosunku
do masy M umocowanej w jej końcu A, na który działa zmienna w czasie siła F(t). Zarówno
przemieszczenia końców sprężyny uA, uB jak i siła F mają składowe wyłącznie w kierunku 0x
pokazanym na rys.3.1.
A
B
F
M
x
Rys.3.1. Oscylator harmoniczny
Równanie ruchu punktu A oscylatora, wynikające z drugiej zasady dynamiki, jest w
postaci
(
)
( )
(3.1)
Widzimy, że jego rozwiązanie wymaga znajomości przemieszczenia końca uB, którego
określenie jest zwyczajowo nazywane warunkiem brzegowym i pełni formalnie rolę
wymuszenia podobnie jak siła F. Rozróżniamy więc dwa typy wymuszeń - siłowe lub
kinematyczne.
( )
(3.2)
Przyjmijmy, że uB=0, a siła ma postać funkcji harmonicznej F(t)=Fexp(jt). Jeżeli
przedmiotem poszukiwań jest rozwiązanie stanu ustalonego, to jest takiego kiedy
przemieszczenie jest również funkcją harmoniczną uA(t)=uAexp(jt), to równanie (3.2)
przyjmuje szczególnie prosta postać
( 
)
(3.3)
Jego rozwiązanie zapisuje się zwykle jako

(
)
(3.4)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Diagnostyki systemów mechatronicznych
Iloraz F/K nosi nazwę statycznego przemieszczenia u0=uA(Zauważamy, że
w przypadku, kiedy ≌ K/M to amplituda uA dąży do nieskończoności. Efekt ten nazywamy
rezonansem mechanicznym a częstość =√(K/M) częstością rezonansową lub częstością
drgań swobodnych (bez wymuszeń). To ostatnie określenie wynika z tego, że
przemieszczenie uA1=u1exp(j1t) jest rozwiązaniem równania (3.2), w którym prawa strona
jest definicyjnie równa zeru. Amplituda u1 może być wówczas dowolną liczbą rzeczywistą, co
łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Mówimy, że postać drgań swobodnych jest
określona z dokładnością do stałego mnożnika. Rozwiązanie równania ruchu oscylatora
w przypadku czystego wymuszenia kinematycznego (F=0, uB≠0) ma identyczną postać jak
(1.78), należy jedynie zastąpić u0 przez uB.
Rozwiązywane równanie (3.1) dotyczy układu bezstratnego, w którym możliwe są
nieskończenie wielkie drgania w warunkach rezonansu, kiedy siła bezwładności jest równa
i przeciwnie skierowana do siły sprężystej. W rzeczywistych układach drgających zawsze
występuje dodatkowa siła tarcia, która odpowiada rozpraszaniu energii na ciepło.
Najprostszym modelem takiego rozpraszania jest tzw. tarcie wiskotyczne, w którym siła tarcia
jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia a jej wartość jest proporcjonalna do
prędkości. Równanie ruchu przyjmuje wtedy postać
( )
( )
(3.5)
Zakładając jak poprzednio ustalone drgania harmoniczne uA(t)=uAexp(jt) i wprowadzając
amplitudę przemieszczenia statycznego u0 otrzymuje się równanie ruchu, tym razem w postaci
zespolonej
(

)
(
)
(3.6)
Dla uproszczenia zapisu wprowadza się pojęcie tłumienia krytycznego Ck, powyżej którego w
układzie nie są możliwe swobodne oscylacje
(3.7)
Rozwiązując (3.6) otrzymuje się następującą zależność dla wymuszonych siłowo przy uB=0
drgań z tłumieniem
√[
(
) ]
(
)
(3.8)
Kąt fazowy przemieszczenia wynika ze wzoru
(
)
(3.9)
Przebiegi charakterystyk amplitudowej (3.8) i fazowej (3.9) w funkcji normalizowanej
częstości analizowanego układu pokazano na rys.3.2 i rys.3.3.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Diagnostyki systemów mechatronicznych
uA/u0
ζ=0.05
ζ=0.2
ζ=0.5
ω/ω1
ζ=1.0
Rys.3.2. Charakterystyka wzmocnienia amplitudowego układu o jednym stopniu swobody
φA
[deg]
ζ=0.05
ζ=0.2
ζ=0.5
ζ=1.0
ω/ω1
Rys.3.3. Charakterystyka fazowa kąta opóźnienia przemieszczenia względem siły wymuszającej dla
układu o jednym stopniu swobody
Przesunięcie maksimum charakterystyki amplitudowej wynikające z tłumienia w stosunku do
wartości w modelu bezstratnym wynosi
( )
√(
)
(3.10)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Diagnostyki systemów mechatronicznych
Dla większości materiałów konstrukcyjnych względny współczynnik tłumienia ζ jest
mniejszy od 0.1 i dlatego też w obliczeniach częstości rezonansowych stosuje się model
bezstratny (3.1). Tłumienie dodaje się zwykle na etapie obliczeń drgań wymuszonych.
Szczegółowa analiza charakterystyki wzmocnienia amplitudowego w otoczeniu
częstości rezonansowej pozwala znalezienie jej własności mających istotne znaczenie przy
wyznaczaniu współczynnika tłumienia na drodze eksperymentalnej. Składowe rzeczywista
HRe() i urojona HIm() wzmocnienia drgań o amplitudzie uA() wyrażają się wzorami
(
( )
)
(3.11)
[
(
) ]
(
)
[
(
) ]
(
)
( )
(3.12)
Dla współczynnika tłumienia ζ<0.1 częstość ζ, przy której HRe() jest równy HIm()
wynosi
(3.13)
a przy tym zachodzi
(
)
(
)
(3.14)
Stąd wynika, że dla tej częstości amplituda wzmocnienia H() jest równa
(
)
√(
(
))
(
(
(3.15)
( )
√
W praktyce charakterystyka wzmocnienia jest najczęściej podawana w decybelowej skali
mocy sygnału LH(), co przy dotychczasowych oznaczeniach daje
( )
(
))
( )
)
( )
(3.16)
Poziom mocy sygnału, przy którym odczytujemy wartość współczynnika tłumienia jest więc
równy (w stosunku do maksimum przebiegu)
(
)
(
(
(
)
)
)
(3.17)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Diagnostyki systemów mechatronicznych
H(
√
HRe(
0
HIm(

Rys.3.4. Charakterystyki wzmocnienia amplitudowego w otoczeniu częstości rezonansowej (=0.01)
3.2 Drgania własne układu o dwóch stopniach swobody
Rozpatrzmy obecnie właściwości układu posiadającego dwa stopnie swobody
reprezentowane przez przemieszczenia dwóch mas zawieszonych sprężyście względem
otoczenia – rys.3.5. Przyjmuje się, że przemieszczenia u1, u2 mają tylko jedną składową w
kierunku 0x. Warunki brzegowe dla końców sprężyn K1, K3 ustala się na uA=uB=0. Jak
poprzednio rozpatrujemy wyłącznie stan ustalony przy wymuszeniu harmonicznym.
K1
K2
A
M1
K3
B
M2
u1
u2
x
Rys.3.5. Układ o dwóch stopniach swobody
Równania harmonicznego ruchu układu (bez tłumienia) są w postaci
[
]{
}
[
]{
}
{ }
(3.18)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Diagnostyki systemów mechatronicznych
które zapisuje się w zwartej postaci jako
(
[ ]
[ ]){ }
{ }
(3.19)
Analizę drgań swobodnych prowadzi się przekształcając (3.19) poprzez lewostronne
wymnożenie przez macierz odwrotną M-1 i podstawienie {F}=0
([ ] [ ]
[ ]){ }
(3.20)
gdzie I jest macierzą identycznościową, a elementy diagonalnej macierzy [M]-1 są równe
odwrotnościom odpowiadających im elementów macierzy mas [M]. Nietrywialne ({u}≠0)
rozwiązanie (1.95) występuje, kiedy wyznacznik macierzy tego równania jest równy zeru
([ ] [ ]
[ ])
(3.21)
Dla rozpatrywanego elementarnego przypadku o dwu stopniach swobody prowadzi to do
równania kwadratowego
[
(
)]
(3.22)
w którym przez =k2 oznaczono poszukiwaną k-tą wartość własną. Podstawiając otrzymane
wartości k2 wstecz do równania (3.20) otrzymujemy związki pozwalające na wyznaczenie ktej postaci drgań własnych (k-tego wektora własnego macierzy).
PRZYKŁAD. Wyznaczyć częstości i postacie drgań własnych układu pokazanego na rys.3.5,
gdzie K1=K2=K3=K i M1=M2=M. Oznaczmy iloraz K/M przez  Równanie
charakterystyczne (3.22) uprości się do postaci
którego pierwiastki wynoszą
Równanie (3.19) zapisuje dla k-tej postaci drgań ψk się jako
([
]
[
]) {
}
Podstawiając kolejno 1 i 2 uzyskuje się zależność wiążącą wartości składowych postaci
własnych
Brakujące równanie do określenia wartości poszczególnych składowych przyjmuje się zwykle
podając wymaganie normalizacyjne ‖ψk‖ , któr w n rmi n r tyczn j znacza
∑(
)
Ostatecznie poszukiwane postacie drgań własnych wynoszą
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Diagnostyki systemów mechatronicznych
√
{
}
{ }
√
Pierwsza postać drgań własnych jest jednoczesnym przemieszczaniem się mas M1 i M2
wzdłuż osi osi 0x – sprężyna K2 jest cały czas nienapięta. Mamy tu więc do czynienia
z wzajemnie odseparowanymi drganiami dwóch identycznych oscylatorów drgających w
przeciw-fazie o częstości własnej √Druga postać drgań polega jednoczesnym ściskaniu
(rozciąganiu) sprężyny K2 i rozciąganiu (ściskaniu) sprężyn K1 i K3. Środek ciężkości całego
układu jest w tym przypadku nieruchomy. Schematycznie pokazano to na rys.3.6.
K2
K1
A
K3
M1
u1
A
u2
K2
K1
B
M2
K3
M1
M2
u1
u2
B
x
Rys.3.6. Postacie drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody