zdkb_przykład obliczeniowy

ZAGROŻENIA DYNAMICZNE KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
Przykłady obliczeniowe:
Zadanie 1. Dla układu przedstawionego na rysunku nr 1:
1. Określ przemieszczenie punktu C
2. Określ częstość kołową drgań własnych dla masy m przyłożonej w punkcie C
Rysunek 1. Belka statycznie wyznaczalna z obciążeniem punktowym.
AD. 1.1 Określenie przemieszczenia
W celu określenia przemieszczenia w pkt. C należy skorzystać z zależności znanej z wykładu i opisanej
wzorem [1]:
̅
∫
̅
[1]
gdzie:
̅ – siła wirtualna (tzw. jedynka wirtualna)[-]
– przemieszczenie [m]
̅ – wartość momentu od siły wirtualnej [Nm]
M – wartość momentu od sił rzeczywistych [Nm]
E – moduł Younga [Pa]
J – moment bezwładności przekroju belki [m4]
Obliczenia przemieszczeń wykonujemy metodą całkowania graficznego, tzw. mnożenia wykresów.
W celu umożliwienia wykonania obliczeń należy narysować wykres momentów od sił rzeczywistych –
w tym przypadku jest to siła P, oraz wykres od siły wirtualnej o wartości ̅ przyłożonej w miejscu
szukanego przemieszczenia – w tym przypadku w punkcie C. Wykresy momentów dla analizowanego
przypadku przedstawia rysunek nr 2.
Rysunek 2. Wykresy momentów rzeczywistych oraz wirtualnych
Uwaga:
1. Przy wykonywaniu wykresów należy pamiętać, że wykresy rysujemy po stronie włókien
rozciąganych.
2. Siłę wirtualną przykładamy w miejscu poszukiwanego przemieszczenia, zgodnie z jego
oczekiwanym kierunkiem. Dodatni wynik obliczeń potwierdza iż kierunek przemieszczenia
został obrany prawidłowo.
3. Teoria dotycząca zasad mnożenia wykresów została przedstawiona na wykładach oraz
ćwiczeniach projektowych. Niezbędne szczegóły znajdują się w przekazanych materiałach w
ramach zajęć projektowych.
Mnożenie wykresów w uproszczeniu polega na określeniu iloczynu pola powierzchni wykresu funkcji
krzywoliniowej przez rzędną wykresu funkcji liniowej odpowiadającej środkowi ciężkości wykresu
krzywoliniowego.
W tym konkretnym przypadku z uwagi na fakt, iż mamy do czynienie z dwoma wykresami
prostoliniowymi obowiązuje zasada wymienności mnożenia.
W celu określenia szukanego wielkości przemieszczenia pomnożymy pole powierzchni 1 figury nr I
przez rzędna wysokości figury nr III pod środkiem ciężkości2 figury nr I, a następnie pomnożymy pole
1
wzory dotyczące pól powierzchni figur znajda Państwo w podręczniku do szkoły podstawowej lub w
materiałach z wykładów i prezentacji z ćwiczeń projektowych
powierzchni figury nr II przez rzędna wysokości figury nr IV pod środkiem ciężkości figury nr II. Obie
wartości należy zsumować.
Obliczenia:
Uwaga: W przypadku mnożenia wykresów momentów znajdujących się po tej samej stronie osi
otrzymujemy wynik „dodatni”, w przeciwnym przypadku otrzymujemy wynik „ujemny”
Dla ułatwienia w obliczeniach zastosowano kolory zgodnie z rysunkiem nr 2.
̅
∫
̅
(
̅
̅ )
̅
Po skróceniu jedynki wirtualnej otrzymujemy wartość końcową przemieszczenia
2
informacje na ten temat znajda Państw w prezentacji z ćwiczeń projektowych oraz w notatkach z wykładów
AD. 1.2 Określenie częstości kołowej drgań własnych.
Częstość kołową drgań własnych obliczamy ze wzoru [2]
√
[2]
gdzie:
ω – częstość kołowa drgań własnych [Hz]
k – sztywność [N], czyli siła powodująca przemieszczenie δ=1
m – masa [kg]
Obliczenia:
W celu określenia częstości drgań własnych należy określić wartość siły P powodującej w naszym
przypadku przemieszczenie równe 1 (w tym celu do zależności określającej przemieszczeni
podstawiamy δ=1 i określamy wartość siły P równej co do wartości sztywności k.
Otrzymaną wartość podstawiamy do wzoru [2]
analizowanego układu:
√
√
i określamy częstość kołową drgań własnych
√
[Hz]