powolny przepływ cieczy lepkiej w płaskim kanale o nagłym

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 1, 14 (1976) POWOLNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ W PŁASKIM KANALE O NAGŁYM LOKALNYM ROZSZERZENIU EDWARD W A L I C K I , ANDRZEJ T O P O L I Ń S KI (BYDGOSZCZ) Przepływy cieczy lepkich w kanałach płaskich i okrą głych o lokalnych zmianach prze­
kroju wystę pują w róż nych zagadnieniach technicznych i od dawna budziły zaintereso­
wanie wielu autorów. W pracy [2] dokonano przeglą du technicznych zagadnień przepły­
wowych, które moż na sprowadzić do modelu przepływu w kanale o lokalnej zmianie przekroju. W pracach [13, 14] podano przykłady zastosowań biologicznych takiego mo­
delu przepływu. Badaniami płaskich przepływów w kanałach o nagłych rozszerzeniach — lub przepły­
wów, które do takiego modelu dały się sprowadzić — zajmowano się w pracach [3, 7­11, 17, 19, 21]. Natomiast prace [3, 13, 20] podają opisy przepływów osiowo­symetrycznych w kanałach okrą głych o nagłych zmianach przekroju. Rys. 1 Celem tej pracy jest uzyskanie numerycznego rozwią zania zagadnienia powolnego, ustalonego przepływu cieczy lepkiej w płaskim kanale o nagłym lokalnym rozszerzeniu (rys. 1). Przyję o t nastę pują e c założ enia upraszczają ce dotyczą ce właś ciwoś i c cieczy: i stan mechaniczny przepływają cej cie­
Q = const, //, = const. Równaniami okreś lają cym
czy są, przy tych założ eniach, równania Naviera­Stokesa i równanie cią głoś . ci
Badanie przepływu cieczy ograniczono do przypadku przepływu symetrycznego i do małych liczb Reynoldsa (Re < 50), dla których przepływ jest stateczny [ 4 , 5 , 8 , 1 8 ] . Wy­
miary a i с przyję o t na tyle duż e, by — przy zmiennych wymiarach bid — wpływ zabu­
rzeń powstałych w miejscach zmian przekroju kanału na rozkład prę dkoś i c na wlocie i wylocie z kanału był pomijalnie mały. 150 E . W A L I C K I , A . TOPOLIŃ SK
I 1. Równania ruchu i warunki brzegowe Dla płaskiego ustalonego przepływu cieczy lepkiej równania Naviera­Stokesa i rów­
nanie cią głoś i c mają postać: du dx dv dx (1.1) du dx du dy 1 i i . (i!fL +
Q dx 2
\ dx 1 dp_ Q dy dv dy dv
dy ld4_ \ dx 2
g2
" ' 2
dy '' 2 2 ddv\ dy
dy )' 2
() Wprowadzając funkcję prą du okreś loną zależ noś ciam
i oraz eliminując ciś nienie p z układu równań (1.1) otrzymamy [1] (1.3) « Ł « dx dy dy dx Tutaj С jest wirowoś cią zwią zaną z funkcją prą du y> zależ noś ąci . dv du (1.4) ­dx­­cb A
v =
W wyniku przyję tego wyż ej założ enia symetrii przepływu moż na rozważ ać obszar «po­
łówkowy» przedstawiony na rys. 2. Rys. 2 Aby uzyskane rozwią zanie układu równań (1.3), (1.4) równoważ nego układowi (1.1) było dogodne w praktycznych zastosowaniach wprowadzimy zmienne bezwymiarowe. Niech bę dzie: Ui ś rednią prę dkoś ą ci przepływu cieczy w wę ż sze
j czę ś i c kanału, 2 L , szerokoś cią tej czę ś i c kanału, U ś rednią prę dkoś ą ci przepływu cieczy w szerszej czę ś i c kanału, 2L szerokoś cią tej czę ś i c kanału. Z warunku cią głoś i cprzepływu cieczy w kanale wynika równość 2
2
lUiLt = 2U L , 2
2
151 P O W O L N Y P R Z E P Ł Y W CIECZY LEPKIEJ stąd Re = R e = R e , x
2
gdzie Re, R e
v 2
= ^ . v Oznaczając L = L , , U = f/j oraz kreskując wielkoś ci bezwymiarowe otrzymamy zwią zki: x = Lx', (
L
5
) 1
у = Ly', T12 , u = Uu', TJT < f
v = U
f W, D
2
U
L 2
P = ­^QU P, f=ULyi, f = —C, Re = . L L
V Wprowadzając zależ noś i c (1.5) do równań (1.1) lub do równań (1.3), (1.4) otrzymamy bezwymiarową postać równań ruchu. Opuszczając w tych równaniach (dla uproszczenia zapisu) kreski przy wielkoś ciach bezwymiarowych otrzymamy m > (1.7) А х р = С Warunki brzegowe dla równań (1.6), (1.7) i obszaru przepływu ograniczonego, jak na rys. 2, przyję o t w postaci: a) ciecz na «wejś ciu» x = —a i na «wyjś ciu» x = b + c z kanału płynie ruchem lami­
narnym o parabolicznym rozkładzie prę dkoś ci
. Oznacza to, że funkcja prą du ma nastę­
pują cą postać na «wejś ciu» i na «wyjś ciu» z kanału (1.8) natomiast zgodnie z zależ noś ą ci (1.4), funkcja wirowoś ci okreś lona jest wzorem (1.9) С = ­ly; b) składowe prę dkoś i c na ś ciankach kanału spełniają zależ noś i c
U = v = 0; wynikają stąd warunki: (1.10) 4^­ = 0, 4^­ = 0, w = const on os l_d_ _B_ na ś ciankach kanału I ­r—, oznaczają pochodne w kierunku normalnej i stycznej do \ dn ' ds ś cianki j; c) składowe prę dkoś i c na osi symetrii spełniają warunki: v = 0, dv
— = 0, о х л
д и — = 0; д у z warunkami tymi zwią zane są na osi symetrii zależ noś i c
(1.11) C = 0, у = 0. 152 E . W A L I C K I , A . TOPOLIŃ SK
I 2. Schemat róż nicowy równań ruchu Pokryjmy obszar przepływu płynu (rys. 3) siatką prostych równoległych odpowiednio do osi współrzę dnych: x = x + ih (i = 1,2 ...), У = У о +jh (j= 1,2 ...). 0
Punkty przecię cia się prostych nazywać bę dziemy wę złami, a wielkość h — krokiem siatki. Rys. 3 Dwa wę zły nazywać bę dziemy są siednimi, jeż eli oddalone są od siebie w kierunku osi x lub у o wielkość kroku siatki. Wę zły znajdują ce się na brzegu obszaru przepływu na­
zywać bę dziemy wę złami brzegowymi, pozostałe wę złami wewnę trznymi. N a rys. 3, przed­
stawiają cym obliczeniowy obszar przepływu, wę zły brzegowe oznaczone krzyż ykiem wy­
znaczają granicę siatkową obszaru; wę zły wewnę trzne oznaczono kółkiem. Wę zły siatki numerujemy przyporzą dkowując każ demu z nich numer wiersza i kolumny, w których się znajduje. Zastę pując pochodne wystę pują e c w równaniach (1.6) i (1.7) prostymi wyraż eniami róż nicowymi [18, 19] otrzymujemy wzory dla ip oraz Ci.j, w punkcie O w zależ noś i cod wartoś ci tych funkcji w wę złach są siednich (zaczernionych na rys. 3): ii}
(2.1) (2.2) Re ~32 — 4­(Ci+i,i + Ci,y+i + C(­ij + f(.;­i)­­^­ V>Uj = ­4 (v>i+i.j + V>t.j+i+y>i­uj + + V>i.j­i)­­jrh%,j. 3. Rozwią zywanie równań róż nicowych Przyję e t w poprzednim punkcie pracy przybliż one równania róż nicowe rozwią ż em
y metodą iteracji. Po założ eniu wartoś ci począ tkowych ip°j oraz C?j we wszystkich wę złach siatki uż yjemy zależ noś i c (2.1) i (2.2) do wyliczenia nowych wartoś ci y> i С w wę złach siatki. 153 P O W O L N Y PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ Z istnieją cych metod iteracyjnych [6] wprowadzania «poprawionych» wartoś ci yj i £ w pracy zastosowano tak zwaną stopniową jawną metodę polegają cą na obliczaniu po­
szukiwanych wartoś ci у i f z wę zła na wę zeł przy uż yciu wartoś ci dopiero co wyliczonych. Wartoś ci funkcji prą du i funkcji wirowoś ci na granicach obszaru obliczeniowego roz­
dzielają cych obszar ciekły, to znaczy na wlocie i wylocie z kanału, są znane i stałe w ruchu ustalonym. Natomiast na ś ciankach znane są jedynie wartoś ci funkcji prą du. Wartoś ci funkcji wirowoś ci są począ tkowo (tak, jak w całym obszarze obliczeń) założ one moż liwie blisko przewidywanych, a nastę pnie w toku procesu iteracyjnego przybliż ane za pomocą przedstawionego dalej postę powania. Rys. 4 Rozważ my wartoś ci ę w otoczeniu punktu O leż ą ceg
o na brzegu obszaru (rys. 4). Linie siatki przedstawionej na rysunku są odpowiednio prostopadłe i równoległe do ś cianki ograniczają cej przepływ cieczy. Rozwijając y> w szereg Taylora — wzglę dem zmiennej у — w otoczeniu punktu O otrzymamy + Z równania (1.7) otrzymujemy dla punktu O Róż niczkując (1.7) wzglę dem у otrzymamy 'l?) " (f) ­
(3.3) 2
2
д £.\ 2
2
dy Jo \dyj ' 0
2
д I д у >\ 2
2
dx l d C 2
dx \ dy jo \ dy
2 2
о \д х 1 ^\д х *)о 0
Uwzglę dniając (3.2), (3.3) oraz dwie pierwsze zależ noś i c warunków (1.10), otrzymamy (3.4)
р
= ,
0
+ Т
: о
+ У
Т
о
й +
„ ­ Ы
1 Ы
о
+
Ы Ъ [ Rozwijając nastę pnie С wzglę dem у w szereg Taylora w otoczeniu punktu O • 'l ,ldc\ 2
2
h id c\ <m 154 E . W A L I C K I , A . TOPOLIŃ SK
I znajdziemy i wyznaczając stąd [dl) o' 2
/г
(3.5) 2
d C A h 1 6 dylo h
=
iC2
Co)
2 ~6 ~ ~l2\dy
5
+ 0(h ). Uwzglę dniając (3.5) w (3.4), otrzymamy 2 V>2 = h
fo + ­ y lub po przekształceniu _ 3 ( y ­ y ) 2
t o
0
2
~ C h
2
A +
2 2 8 3
+ 0(h ). 2
V Co­
Zauważ my, że na mocy warunków brzegowych (1.10) oraz zależ noś i c (1.6) wyraż enie w nawiasie «kwadratowym» znika w punkcie O. Bę dzie więc (3.6) Co = 3 ( y ­ y ) _ _С г _ 2
0
2
h 2 ' Bezpoś rednie stosowanie wzoru (3.6) na brzegu obszaru może doprowadzić, przy wię kszych liczbach Reynoldsa, do nieustalonych oscylacji pola wartoś ci funkcji wirowoś ci. A b y więc uniknąć tego, nie stosuje się w nowym cyklu iteracji wartoś ci bezpoś rednio wy­
liczonej z wzoru (3.6), lecz jej kombinację liniową z wartoś cią z poprzedniego cyklu. Naj­
czę ś cie
j stosowaną i najprostszą w uż yciu jest kombinacja postaci n )
(3.7) 1
a = c r ^ + M C o ­ a r ' ] , gdzie Co *' oznaczają poprzednią wartość brzegową, Co — nową wartość brzegową (liczo­
na według wzoru (3.6)), Co" — wartość brzegową wprowadzoną do nowego cyklu itera­
cyjnego. 1­
W pracy przyję o t stałą wartość parametru к równą к = 0,5; wtedy wzór (3.7) dla poprawiania wartoś ci brzegowych przyjmie postać dla w­tej iteracji )
(3.8) ц
° 2 Hi n­i) о +
)
З М " ­И " ) Również specjalnego traktowania wymagają naroża wystę pują e c w obszarze przepływu. 7
3
Rys. 6 Rys. 5 Rozważ my najpierw naroże wklę słe przedstawione na rys. 5. Wartoś ci brzegowe w punk­
tach 1 i 6 poziomej ś cianki naroża oraz w punktach 4 i 7 pionowej ś cianki naroża wyli­
czamy posługując się zależ noś ą ci (3.8) zastosowaną odpowiednio do punktów 0,2,3. Wartość С w punkcie 5 naroża musi być równa wspólnej wartoś ci w punktach 1 i 4 C = ti 5
= U­
P O W O L N Y PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ 155 D l a przypadku naroża wypukłego przedstawionego na rys. 6 postę pujemy inaczej. Ponieważ w punkcie brzegowym naroża wystę puje duży gradient wartoś ci funkcji wiro­
woś ci — wprowadzamy tutaj dwie róż ne wartoś ci. Jedną z nich wyliczamy przy uż yciu zależ noś i c (3.8) i odpowiednich wartoś ci w punktach 1 i 2, drugą zaś przy uż yciu odpo­
wiednich wartoś ci z punktów 1 i 3. W pozostałych punktach brzegowych bliskich naroża poprawiamy wartoś ci f stosując normalne postę powanie wynikają ce z zależ noś i c (3.8). 4. Wyniki obliczeń — uwagi koń cowe Zastosowany w pracy prosty schemat róż nicowy dla równań Naviera­Stokesa cha­
ci [4, 5, 12, 18], a po­
rakteryzuje się dla małych liczb Reynoldsa stabilnoś cią i zbież noś ą nadto wyniki teoretyczne uzyskiwane przy uż yciu jego róż nych odmian są zgodne z wy­
nikami doś wiadczeń. Obliczenia przepływu przeprowadzono dla liczb Reynoldsa Re = 0, 1, 5, 10, 20, 50; wymiary rozszerzenia przyję o t dxb = 2 x 1 , 2 x 2 , 3 x 1 , 3 x 2 . Rys. 7. K a n a ł o wymiarach rozszerzenia dxb = 2 x 1 ; linie prą du 4* = const (nad osią symetrii) i wirowoś ci f = const (pod osią symetrii); liczba Reynoldsa Re = 5 N a rys. 7 , 8 ­ 1 4 przedstawiono, sporzą dzone na podstawie obliczeń, wykresy linii %p = const (nad osią symetrii) Ł = const (pod osią symetrii) dla róż nych rozszerzeń ka­
nału i liczb Reynoldsa Re = 5, 50. N a podstawie przeprowadzonych obliczeń i badań wykresów funkcji prą du i funkcji wirowoś ci moż na sformułować nastę pują e c wnioski dotyczą ce omawianego tutaj płas­
kiego powolnego przepływu w kanale o lokalnym rozszerzeniu: dla «wą skich» uskoków o wymiarach dxb = 2 x 1 , 3 x 1 : a) linia oderwania charakteryzuje się dość wyraź ną symetrią wzglę dem osi uskoku, b) obszar zastoju nie ulega wię kszym zmianom ze wzrostem liczby Reynoldsa; Rys. 8. Kanat o wymiarach rozszerzenia rfx6 = 2 x 2 ; R e = 5 Ш
Rys. 9. Kanał o wymiarach rozszerzenia dxb = 3 x 1; Re — 5 1156] 1265S 66 . - , , , , / / / / / / / / /
«я м IMS* Rys. 12. Kanał o wymiarach rozszerzenia dx b = 2' x 2; Re = 50 Rys. 13. Kanał o wymiarach rozszerzenia dxb = 3 x 1 ; Re = 50 [158] P O W O L N Y P R Z E P Ł Y W CIECZY LEPKIEJ 159 Rys. 14. Kanał o wymiarach rozszerzenia dx b = 3 x 2; Re = 5 0 dla «kwadratowego» uskoku o wymiarach dxb = 3 x 2 ; c) obszar zastoju ulega nieznacznemu powię kszeniu ze wzrostem liczby Reynoldsa; dla «prostoką tnego» uskoku o wymiarach dxb = 2 x 2 ; d) obszar zastoju wyraź nie roś nie ze wzrostem liczby Reynoldsa, e) ze wzrostem liczby Reynoldsa pojawia się dość wyraź na symetria linii oderwania; dla wszystkich rodzajów uskoków: f) ś rodek wiru w obszarze zastoju leży bliż ej ś cianki bę dą ce
j po stronie wlotu kanału, g) ze wzrostem liczby Reynoldsa wzrastają wartoś ci wirowoś ci na ś ciankach uskoku. Literatura cytowana w tekś cie 1. W. J . PROSNAK, Mechanika płynów, t. I, P W N , Warszawa 1970. 2. P. K . C H A N G , Seperation of flow, Pergamon Press, 1966. 3. А
. Т н о м , C . J . A P E L T , G . F. J . T E M P L E , Field computations in engineering and physics, van Nostrad Inc., New­York 1961. 4. А
. Т н о м , C . J. A P E L T , Note on the convergence of numerical solutions of the Navier­Stokes equations, A R C , R a M , N o 3061 (1956). 160 E . W A L I C K I , A . TOPOLIŃ SK
I 5. W . G . S. LESTER, Some convergence problems in the numerical solutions of the Navier­Stokes equations, A R C , R a M , N o 3329 (1950). 6. D . E . RUSSELL, On obtaining solutions to the Navier­Stokes equations with automatic digital computers
A R C , R a M , N o 3331 (1962). 7. Л
. M . С И М У Н И , Ч и с л е н н о е р е ш е н и е з а д а ч и д в и ж е н и я ж и д к о с т и в п р я м о у г о л ь н о й я м е , П
М
Т Ф
, 6 (1965). 8. С . Е . PEARSON, A computational method for viscous flow problems, J . Fluid Mech., 4, 21 (1965). 9. O . R . B U R G G R A F , Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows, J . Fluid Mech. 1, 2 4 (1966). 10. X . Э
. К А Л И С , А
. Б
. Ц И Н О Б Е Р , П л а с к о п а р а л л е л ъ н о е т е ч е н и е в я зк о й н е с ж и м а е м о й н а л а х п о д в л и я н и е м п о п е р е ч н о г о м а г н и т н о г о п о л я , И
№ 8, в ы
11. В
. Н
. Б
И
з в . А
. Д Ж А К У П О В , В
И
ж и д к о с т и , 13. М
и б . О
т д . А
ж и д к о с т и в к а ­
Н С С С Р , с е р . т е х . н а у к , п . 2 (1967). . В А Р А П А Е В , Ч и с л е н н о е и с с л е д о в а н и е п е р и о д и ч е с к о г о о к и д к о с т и , 12. К
з в . С
з в . А
Н С С С Р , М
. Г
с т р у й н о го т е ч е н и я в я зк о й . К У З Н Е Ц О В , О ч и с л е н н о м р а с ч е т е с т а ц и о н а р н ы х з а д а ч в я з к о й Н С С С Р , М
н е с ж и м а е м о й е х а н и к а ж и д к о с т и и г а з а , 3 (1968). н е с ж и м а е м о й е х а н и к а ж и д к о с т и и г а з а , 1 (1969). . F R I E D M A N , Flow in a circular pipe with recessed walls, J . Appl. Mech., Trans A S M E , ser. E , 1, 37 (1970). 14. J.S. L E E , J­Ch. F U N G , Flow in locally constricted tubes at low Reynolds numbers, J . Appl. Mech. Trans. A S M E , ser. E , 1, 37 (1970). 15. D . DUMITRESCU, M . D . C A Z A C U , Theoretische und Experimented Betrachtungen iiber die Stromung zaher Fliissigkeiten um eine Platte bei kleinen und mittleren Reynoldszahlen, Z A M M , 5, SO (1970). 16. M . F O X T I N , R. PEYRET, R. Т Е М А М , Calcul des ecoulement d'un fluide visqueux incompressible, Proc. Sec. Int. Con. Num. Methods Fluid D y n . , Sept. 17­19, 1970, Berkeley, Springer­Verlag, Berlin 1971. 17. R. PEYRET, J . L A D E V S Z E , Resolution numerique de Vecoulement dans un canal avec elargissement brusqu
Euromech Coll. 27 on Numerical methods for solving the Navier­Stokes equations, Aug. 16 ­ 19, 1972, Jabłonna, Polska. 18. E . W A L I C K I , Stabilnoś ć i zbież noś ć prostego schematu róż nicowego dla równań Naviera­Stokes'a, Ze­
szyty Naukowe P. Ł , Mechanika, z. 29 (1972). 19. E . W A L I C K I , Przepływ płynu lepkiego kanałem o nagłym rozszerzeniu, Arch. Bud. Masz, 2, 2 0 (1973). 20. J . F . STEVENSON, Flow in a tube with a circumferential wall cavity, J . Appl. Mech. Trans A S M E , ser. E , 2, 40 (1973). 21. T . ITO, Y . SUEMATSU, Y . SHIMOKAWA, K . T A N A K A , A study on a bistable fluid amplifier load oscilla­
tor, Bull. J S M E , 103, 17 (1974). i Р
М
е з ю
м
е Е Д Л Е Н Н О Е Т Е Ч Е Н И Е В Я З К О Й Ж И Д К О С Т И В П Л О С К О М К А Н А Л Е С В Н Е З А П Н Ы М М Е С Т Н Ы М Р А С Ш И Р Е Н И Е М 1 В р а б о т е п р е д с т а в л е н о ч и с л е н н о е р е ш е н и е з а д а ч и о т е ч е н и и в я з к о й ж и д к о с т и п р и м а л ы х з н а ч е н и я х ч и с е л а Р е й н о л ь д с а в к а н а л е с в н е з а п н ы м м е с т н ы м р а с ш и р е н и е м . У р а в н е н и я Н а в ъ е ­
С т о к с а в ф о р м е Г е л ь м г о л ь ц а д л я п л о с к о г о т е ч е н и я р е ш е н ы м е т о д о м к о н е ч н ы х р а з н о с т е й . Р а с с м о т ­
р е н о т е ч е н и е в к а н а л а х с р а з н ы м и р а з м е р а м и р а с ш и р е н и я . Р е з у л ь т а т ы в ы ч и с л е н и й д л я ч и с е л Р е й н о л ь д с а К е <: 50 п р е д с т а в л е н ы в в и д е г р а ф и к о в , л и н и й т о к а и л и н и й п о с т о я н н о й з а в и х р е н н о с т и . S u m m a r y S L O W VISCOUS F L U I D F L O W I N T H E C H A N N E L W I T H A L O C A L L Y R E C E S S E D W A L L S In this paper the numerical solution of viscous fluid flow with low Reynolds number in the channel with a locally recessed walls is described. The method of finite differences is used to solve the Navier­Stokes P O W O L N Y P R Z E P Ł Y W C I E C Z Y LEPKIEJ 161 equations in the Helmholtz from for two­dimensionat flow. The flow through channels with different dimensions of local enlargement is considered. The results of numerical investigations for Reynolds number Re ^ 50 are shown in graphs of the streamlines and lines of constant vorticity. A K D E M I A T E C H N I C Z N O ­ R O L N I C Z A , B Y D G O S Z C Z Praca została złoż ona w Redakcji 2 listopada 1974 r. 11 Mechanika Teoretyczna