NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 3 ­4, 22 (1984) N U M E R Y C Z N A A N A L I Z A P R Z E P Ł Y W U M H D W K A N A L E Z N I E S Y M E T R Y C Z N Y M R O Z S Z E R Z E N I E M E D W A R D W A L I C K I , J E R Z Y S A W I C K I 1. Wstęp Przepływy M H D w kanałach płaskich i okrą głych o niesymetrycznych kształtach, wystę pują e c w róż nych urzą dzeniach technicznych, budzą od dawna duże zainteresowanie wielu badaczy. W pracy [1] dokonano przeglą du zagadnień przepływów M H D w kanałach o róż nych kształtach i przekrojach poprzecznych — omawiając rozwią zania analityczne, uzyskane przy pewnych dość znacznych założ eniach upraszczają cych. Prace [11, 12, 13] podają przy­
kłady analizy przepływu płynnych metali w zakrzywionych kanałach, w obecnoś ci pro­
stopadłego zewnę trznego pola magnetycznego. Badaniami płaskich przepływów M H D w kanałach o niesymetrycznych rozszerzeniach lub przepływów, które do takiego modelu dały się sprowadzić, zajmowano się w pracach [ 2 , 7 , 8 ] . Celem tej pracy jest uzyskanie numerycznego rozwią zania zagadnienia ustalonego płaskiego przepływu M H D w kanale z niesymetrycznym uskokiem, wywołanego gradien­
tem ciś nienia bą dź ruchem ś cianki ograniczają cej przepływ (rys. 1). Przyję o t nastę pują e c założ enia upraszczają ce, dotyczą ce właś ciwoś i c p ł y n u : gę stość Q = const, lepkość dynamiczna ц = const, przewodność elektryczna a = const. Tak zdefiniowany płyn lepki i przewodzą cy elektrycznie bę dziemy dalej okreś lać mianem „ p ł y n u magnetycznego". Dodatkowo zakładamy, że wektor pola magnetycznego В (0, B ,0) do ruchomej ś cianki kanału. 0
jest prostopadły Równaniami okreś lają cym
i stan „mechaniczny" przepływają cej cieczy są przy tych założ eniach: — równanie cią głoś ci
, — magnetohydrodynamiczne równanie Naviera­Stokesa, — równania Maxwella, — prawo Ohma. 1
Badania przepływu płynu magnetycznego przeprowadzono dla przypadków: — przepływu wywołanego gradientem ciś nienia, tzw. przepływu Poiseuille'a, R ó w n a n i a te przedstawiono w n a s t ę p n ym punkcie pracy. E . W A L I C K I , J . 380 S A W I C K I przepływu wywołanego ruchem ś cianki, tzw. przepływu Couette'a, przepływu wywołanego — łą cznie — gradientem ciś nienia i ruchem ś cianki. Rozwią zanie zagadnienia ograniczono do przypadku przepływu dla małych liczb Reynoldsa (Re *J 50), dla których przepływ jest stateczny, a zastosowana metoda roz­
wią zania numerycznego jest stabilna i zbież na. UW
'•И ­4 Ф Ф Ф 10 12 ь ­
R>s. I Wymiary a i с (por. rys. 1) przyję o t na tyle duż e, by przy zmiennych wymiarach b i d wpływ zaburzeń powstałych w miejscu zmian przekroju kanału na rozkład prę dkoś i c na wlocie i wylocie z kanału był pomijalnie mały. 2. Równania ruchu płynu magnetycznego R ó w n a n i a m i opisują cymi ruch płynu magnetycznego dla przypadku przepływu usta­
lonego są: — równanie cią głoś i c
d i v V = 0,
( 1 ) — równanie Naviera­Stokesa 2
e(Vgrad)V = ­ g r a d ^ + / u V V + / x 5 , (2) — równania Maxwclla r o t £ = 0, r o t B = IA,~j, ( 3 ) d\\B = 0, — prawo Ohma j=ff(E+VxB). (4) A N A L I Z A P R Z E P Ł Y W U M H D w 381 K A N A L E Przechodząc do płaskiego ustalonego przepływu płynu magnetycznego bę dą ceg
o tematem pracy i uwzglę dniając jednocześ nie tzw. przybliż enie hydrodynamiczne, to zna­
czy zakładają c: małe wartoś ci wektora natę ż eni
a pola elektrycznego E , oraz małe war­
toś ci magnetycznej liczby Reynoldsa, sprowadzamy równania (1) i (2) do postaci: 2)
du I du dv
:
n
du\ dp . • ' „ , (6) , dv dv\ dp . przy czym uwzglę dniono (4). R ó w n a ń tych uż yjemy teraz do opisu przepływu płynu magnetycznego w rozpatrywa­
nym kanale (rys. 1). Wprowadzając funkcję prą du okreś loną zależ noś ciami
: dW и =
dW v
Т у >
„ (
= l*
7
) oraz eliminując ciś nienie z układu równań (6) otrzymamy: BW d£ dx dy 22
a W BW 8C a ddW + ^
B
~
dy dx Q
dy = vAC, £
2
2
0
0
2 (8) gdzie С jest wirownoś cią. Jest ona zwią zana z funkcją prą du 4' zależ noś cią
: przy czym A oznacza operator Laplace'a 2
dx 2
' dy ' Aby uzyskane rozwią zanie układu równań (8) i (9), równoważ nego układowi (6), było dogodne w praktycznych zastosowaniach, wprowadź my zmienne bezwymiarowe: x = Lx', 2
P ­ ~QU p', 1. у = Ly', u = Ł/w', W = UVP\ . С = v = Uv', Re = — , L
v przy czym sens oznaczeń jest nastę pują cy
: U — ś rednia prę dkość przepływu cieczy w wę ż sze
j czę ś i c kanału, L — szerokość kanału w wę ż sze
j jego czę ś , ci
Re — liczba Reynoldsa, H — liczba Hartmana. *' Inaczej m ó w i ą c s p e ł n i o n a jest z a l e ż n o ś : ć Е Ц У х . B) <ś 1. (10) E . W A L I C K I , J . 382 S A W I C K I Wprowadzając zależ noś i c (10) do równań (6) lub do równań (8), (9) otrzymamy bez­
wymiarową postać równań ruchu. Opuszczając w tych równaniach (dla uproszczenia zapisu) kreski przy wielkoś ciach bezwymiarowych otrzymujemy: AW=C. (12) 3. Warunki brzegowe Warunki brzegowe dla równań (11) i (12), dotyczą ce granic obszaru przepływu, wyni­
kają z nastę pują cyc
h założ eń: a) płyn na „wejś ciu" i „wyjś ciu" z kanału porusza się ruchem laminarnym, b) składowe prę dkoś i c na ś ciance nieruchomej: u = 0, v = 0; (13) stąd wynikają warunki 8W ~ = 0, С П (
3W ­ „ = 0 , OS V = const. (14) 3 3 ­ 5 — , ­ у oznaczają pochodne w kierunku normalnej i stycznej do ś cianki j , c) składowa prę dkoś i c na ś ciance ruchomej: ц , ­ U, v = 0; (15) wynika stąd warunek W = const. na tej ś ciance'. Uwzglę dniając warunki (13), (14) i (15) oraz wykorzystując zależ noś i c (7) i (9) otrzy­
mamy nastę pują e c wyraż enia': — dla funkcji prą du 5
4
*
=
Ж [sh Щ
­ M g h l >
c
Щ
­ H Ą ­ ± (sh Щ
h
­ cth tf ch Щ
) , (16) — dla wirowoś ci =
Ś
3 )
w [
S H H
r
>
^ S S F ~
~
C H H V
B
H
\ ~ ' ^
S H H R >
~
C T H Я
С
Ь Я
? 2 )
•
( 1 7 ) W a r u n e k ten z w i ą z a ny jest ze sposobem o b r a n i a u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h. *' Parametry Л i В są w i e l k o ś c i a mi z a l e ż n y mi o d przyczyny w y w o ł u j ą c ej r u c h p ł y n u : п р . A — 12, В = 0 oznacza p r z e p ł y w w y w o ł a n y gradientem c i ś n i e n i a, z a ś Л = 0, В = 2 — p r z e p ł y w w y w o ł a n y r u c h e m ś c i a n k i. A N A L I Z A P R Z E P Ł Y W U M H D W 383 K A N A L E 4. Schemat róż nicowy równań ruchu Pokrywając obszar przepływu siatką prostych, równoległych odpowiednio do osi współrzę dnych (por. rys. 1): X = x + ih, (i = 1, 2, . . . ) , У = У о +Mh
(./ = 1,2, ...),
0
otrzymamy kwadratową siatkę o kroku równym h. Zastę pując pochodne wystę pują e c w równaniach (II) i (12) prostymi wyraż eniami róż nicowymi [6] otrzymamy wzory dla 4 oraz Ci.j w punkcie „ 0 " , w zależ noś i c od wartoś ci tych funkcji w wę złach są siednich: J
itJ
1 Re — Ci,j = ^ (C(.j+1 + C(,j ­1 + C<+1,j + CI ­i.j jg­ KCI+I.J—Ct—i,j)Q*t,j+1
l
r/
^ /.j­i) + ­W +i.j­Ą,­iJttt.j+i^ 08) t
!P7.j = | w
/
+
1
2
. + ^ ­ . > + y . y + V ^ . ­ 0 ­ 4 A ^ . J ­ J
1
i
+ 1
09) J
5. Rozwią zanie równań róż nicowych Otrzymane w poprzednim punkcie pracy przybliż one równania róż nicowe rozwią zano metodą iteracji. Wartoś ci funkcji prą du i wirowoś ci na granicach obszaru obliczeniowego, tzn. na „wej­
ś ciu" i wyjś ciu" z k a n a ł u są znane i stałe w ruchu ustalonym. N a ś ciankach natomiast znane są tylko wartoś ci funkcji prą du. Wartoś ci wirowoś ci na ś ciankach są począ tkowo (jak w całym obszarze obliczeń) założ one moż liwie blisko przewidywanych, a nastę pnie przybliż ane w toku procesu itera­
cyjnego. D o poprawienia wartoś ci С na brzegach obszaru (tj. w wę złach oznaczonych przy­
kładowo „ k r z y ż y k a m "i na rys. 1) wykorzystano zależ ność wyprowadzoną w pracy [9]. _ Co ­
3 ( V
w
­ y
2
0
) C 2
T 3 Ł / TT'
{
2
0
) Aby uniknąć nieustalonych oscylacji pola wartoś ci funkcji wirowoś ci nie stosuje się w nowym cyklu iteracji wartoś ci bezpoś rednio wyliczonych z wzoru (20), lecz jej kombi­
nację liniową z wartoś cią z poprzedniego cyklu. D l a nieruchomej ś cianki bę dzie С Г = С Г
1
0
' + у [ C o ­ C r ] , gdzie: ­1
Co" * — poprzednia wartość brzegowa. Co —• nowa wartość brzegowa, Co — wartość brzegowa wprowadzona do nowego cyklu iteracyjnego. 0
(21) , 384 E . W A L I C K I , J . S A W I C K I Osobnego traktowania wymagają naroża wystę pują e c w obszarze przepływu. D l a naroża wklę słego wartoś ci brzegowe w punktach 6 i 7 poziomej ś cianki oraz w punk­
tach 8 i 9 pionowej ś cianki naroża wyliczono posługując się zależ noś ci
ą (21) zastosowaną odpowiednio do punktów 5, 10, 11. Wartość w punkcie 12 naroża musi być r ó w n a : Ci 2 — С
(22) б — С 8 D l a naroża wypukłego wyprowadzono dwie róż ne wartoś ci z powodu duż ego gradientu wirowoś ci. Jedną z nich wyliczono przy uż yciu zależ noś i c (21) i odpowiednich wartoś ci w punktach 1 i 4, drugą przy uż yciu odpowiednich wartoś ci z punktu 1 i 3. P r z e p ł y w p ł y n u w y w o ł a n y gradientem c i ś n i e n ai A *= 12, В =='0 ­1/38 ^77777777777777777777/ ,
R y s . 2. F u n k c j a p r ą du V, R e = 20, H 0,5, R y s . 3. F u n k c j a p r ą du 4', R e = 20, H = 1,0, dxb = 2 x 1 dxb=2x1 \l^7////////////////////////////////////////Ą ­5,U5 ­2,361 ­2,391 W7Z7!7Z!77777777777/. R y s . 4. F u n k c j a p r ą du W, R e = 50, H = 0,5, dxb = 2 x 1 '777777777777777777777/ .
R y s . 5. F u n k c j a p r ą du 4', R e = 50, Я > dxb = 2x1 1,0, A N A L I Z A P R Z E P Ł Y W U M H D w 385 K A N A L E 6. Wyniki obliczeń. Wnioski Zastosowany w pracy schemat róż nicowy dla magnetohydrodynamicznych równań Naviera­Stokesa charakteryzuje się dla małych liczb Reynoldsa dobrą stabilnoś cią i zbież­
noś cią. Obliczenia przeprowadzono dla liczb Reynoldsa Re = 0, 1, 5, 10, 20, 50, liczb Hart­
mana H = 0,1, 0,5, 1, kroku siatki h = 0,1, wymiary kanału przyję to: d x b = 2 x 1 , 3 x 1 . Rysunki 2­^15 przedstawiają sporzą dzone na podstawie obliczeń wykresy linii P r z e p ł y w w y w o ł a n y r u c h e m ś c i a n ki A = 0, В = 2, 2,620 200,666 200,366 200,166 199,866 199,766 . 199,666 \///>,'////л ''7/ / / / / / / . '/ / / / / / / S/ / / / x
R y s . 6. F u n k c j a p r ą du !ft R e = 20, H = 0,1, R y s . 7. F u n k c j a p r ą du 4', R e = 20, H = 1,0 dxb = 2 x 1 dxb = 2 x 1 2,620 200,666 2,376 2,025 1.776 1.726 i 1,620 \ 777777777\
'/ 7777777777777777777,
R y s . 8. F u n k c j a p r ą du
X
P, R e dxb = 2x1 5 Mech. Teoret. i Stos. 3­4/84 50, H = 0,1, / 777777777777777777777/ .
R y s . 9. F u n k c j a p r ą du W, R e dxb = 2 x 1 50, H = 1,0, 386 E . W A L I C K I , J . S A W I C K I P r z e p ł y w w y w o ł a n y ruchem ś c i a n ki i gradientem c i ś n i e n ai A = 6, В
­199/17 = 1 ­1,376 199,617 199717 1­1,660 I 1­1,910 I 1­2216 ­200067 1­23Ю
200,367 ­20UŁ17 _ I j I J "
1­2,376 •
— у //;.'////• '/ \
\
\ ­2377 ^­2,382 !
'/ 7777777777777777777777/ .
/ 7777777777777777777777/ ,
Rys. 10. F u n k c j a p r ą du 4\ R e = 20, H = 0,1, dxb = 2 x 1 , R y s . 11. F u n k c j a p r ą du Ч ', R e = 20, Н
= 1,0, dxb = 2 х 1 ­Т 99Л Т 7 0/////////////////////, / 777777777777777777777.
Rys. 12. F u n k c j a p r ą du rfxt 7
V , R e = 50, Я
= 2 x l = 0,1, R y s . 13. F u n k c j a p r ą du V , R e = 50, Я = 1,0, d x 6 = 2 x 1 У = const., dla róż nych liczb Reynoldsa (Re = 20, 50) oraz rozszerzeń kanału. Fakt ruchu ś cianki został uwidoczniony na wykresach zaznaczeniem wektora prę dkoś i c U. N a podstawie przeprowadzonych obliczeń i analizy wykresów funkcji prą du moż na sformułować nastę pują e c wnioski dotyczą ce przedstawionego tutaj płaskiego, ustalonego przepływu płynu magnetycznego w kanale z niesymetrycznym uskokiem w obecnoś ci poprzecznego do kierunku przepływu płynu pola magnetycznego: — dla ś cianki nieruchomej a) linia oderwania charakteryzuje się wyraź ną symetrią wzglę dem osi geometrycznej uskoku dla Re > 20, A N A L I Z A P R Z E P Ł Y W U M H D w 387
K A N A L E b) obszar zastoju ze wzrostem liczby Reynoldsa nieznacznie roś nie, c) ś rodek wiru w obszarze zastoju leży blisko geometrycznej osi uskoku, d) wzrost liczby Hartmana powoduje powstanie wyraź nej asymetrii linii — dla ś cianki ruchomej i przepływu bezgradientowego: e) obszar zastoju ze wzrostem liczby Reynoldsa nieznacznie wzrasta, f) ś rodek wiru ze wzrostem liczby Hartmana oddala się od geometrycznej zgodnie z kierunkiem przepływu, — dla ś cianki ruchomej i przepływu wywołanego gradientem ciś nienia: g) ze wzrostem liczby Reynoldsa linia oderwania charakteryzuje się wyraź
wzglę dem osi geometrycznej uskoku, h) wzrost liczby Hartmana powoduje powstanie wyraź nej asymetrii linii oderwania, osi uskoku ną symetrią oderwania. Literatura cytowana w tekś cie 1. А
. Б . В А Т Л
Ж
И
Н
, Г
. А
л а х , И з д . Н а у к а , М
2 . А
3. . Б . W . J . Ц
И
Н
О
Б Е Р , P R O S N A K , 4. H . P E Y R E T , . Л
Ю
Б И
М
О
В , С
. А
. Р Е Г И Р Е Р , М а г н и г п о г и д р о ­д и н а м и ч е с к и е т е ч е н и я л к а н а ­
о с к в а 1970. М а г н и т о г и д р о д и н а м и ч е с к о е Mechanika płynów, t. 1, о б т е к а н и е т е л , И з д . З и н а т н е , Р и г а
P W N , Warszawa 1 9 7 0 . 1970. J. L A D E V E S E , Resolution numerique de I'ecoulement dans un canal avec elargissement brusque,
Euromech Coll. 2 7 on Numerical methods for solving the Navier­Stokes equations, A u g . 1 6 ­ 1 9 , 1972, Jabłonna, Polska. 388 E . W A L I C K I , J . 5. E . W A L I C K I , Stabilnoś ć S A W I C K I i zbież noś ć prostego schematu róż nicowego dla równań Naviera — Stokesa Zeszyty N a u k o w e P . Ł . M e c h a n i k a , z . 29, Ł ó d ź 1972. 6. E . W A L I C K I , Przepływ płynu lepkiego kanałem o nagłym rozszerzeniu, A B M t. X X , z . 2, 1973. 7. K . S U D O N , Y . T O M I T A , Flow of Liquid Metals with a Transversely Applied Magnetic Field, B u l l . J S M E , v o l . 17, N o 108, 1974. 8. K . S U D O N , Y . T O M I T A , Flow of Luquid Metals with a transversely Applied Magnetic Field, B u l l . J S M E , v o l . 17, N o 114, 1974. 9. E . W A L I C K I , A . T O P O L I Ń
S K ,I Powolny przepływ cieczy lepkiej w kanale o nagłym lokalnym rozszerzeniu. M e c h . T e o r . i Stos., v o l . 14, 1, 1976. 10. D . P O T T E R , Metody obliczeniowe fizyki, P W N , W a r s z a w a 1977. 11. Y . T O M I T A , K . S U D O N , Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, B u l l . J S M E , v o l . 2 2 , N o 167, 1979. 12. Y . T O M I T A , K . S U D O N , Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, B u l l . J S M E , v o l . 2 2 , N o 173, 1979. 13. Y . T O M I T A , K . S U D O N , Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, B u l l . J S M E , v o l . 23, N o 176, 1980. Р
Ч И С Л Е Н Н Ы
е з ю
Й А Н А Л И З Т Е Ч Е Н И Я М
Р А С Ш
м
е Г Д В К А Н А Л Е С Н
Е С И
М
М
Е Т Р И
Ч Н
Ы
М И Р Е Н И Е М В р а б о т е п р е д с т а в л е н о ч и с л е н н о е р е ш е н и е , с о о т в е т с т в у ю щ е е т е ч е н и ю э л е к т р о п р о в о д н о й ж и д ­
к о с т и п р и м а л ы х з н а ч е н и я х ч и с л а Р э н н о л ъ д с а и Г а р т м а н а в к а н а л е с м е с т н ы м н е с и м м е т р и ч н ы м р а с ш и р е н и е м . М
Г
Д у р а в н е н и я Н а в ъ е ­ С т о к с а д л я п л о с к о г о т е ч е н и я р е ш е н ы м е т о д о м к о н е ч н ы х р а з н о с т е й . Р а с с м о т р е н о т е ч е н и е в к а н а л а х с р а з н ы м и р а з м е р а м и р а с ш и р е н и я . Р е з у л ь т а т ы в ы ч и с ­
л е н и и д л я ч и с е л Р е й н о л ъ д с а R e г Ј 50 и ч и с е л Г а р т м а н а Н < 1,0 п р е д с т е в л е н ы в в и д е г р а ф и к о в л и н и й т о к а . S u m m a r y N U M E R I C A L A N A L Y S I S O F M H D F L O W I N T H E C H A N N E L W I T H A U N S Y M M E T R I C A L C A V I T Y In the paper the numerical s o l u t i o n fitted o f the electrical­conductance f l u i d flow w i t h l o w R e y n o l d s n u m b e r a n d l o w H a r t m a n n u m b e r i n the channel w i t h unsymmetrical cavity is described. T h e m e t h o d o f finite differences is used to solve the M H D N a v i e r ­ S t o k e s equations for plane f l o w . T h e f l o w t h r o u g h channels w i t h different dimensions o f cavity is considered. T h e results o f n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n s f o r R e y n o l d s number R e < 50 a n d H a r t m a n n u m b e r Ж
Praca została złoż ona 1,0 are s h o w n i n graphs o f streamlines. w Redakcji dnia 27 stycznia 1981 roku