2 Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona
1
Funkcja pierwotna
Definicja
Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I ⊂ R, jeżeli
0
F (x) = f (x),
x ∈ I.
Przykłady
Funkcja F (x) = sin x jest funkcją pierwotną funkcji f (x) = cos x dla x ∈ R, gdyż F 0 (x) =
(sin x)0 = cos x = f (x).
Funkcja F (x) = ex jest funkcją pierwotną funkcji f (x) = ex dla x ∈ R, gdyż F 0 (x) = (ex )0 = ex =
f (x).
0
Funkcja F (x) = x3 jest funkcją pierwotną funkcji f (x) = 3x2 dla x ∈ R, gdyż F 0 (x) = (x3 ) =
3x2 = f (x).
Twierdzenie
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy
a) G(x) = F (x) + C0 , gdzie C0 ∈ R, jest funkcją pierwotną funkcji f na I,
b) każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F (x) + C, gdzie C ∈ R.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale I, to ma funkcję pierwotną na tym
przedziale.
2
Całka nieoznaczona
Definicja
Z
f (x) dx ≡ F (x) + C,
jeżeli F 0 (x) = f (x) dla x ∈ I.
Przykłady
1
R
cos x dx = sin x + C, ponieważ (sin x)0 = cos x.
dx = ex + C, ponieważ (ex )0 = ex .
R x
e
R
0
3x2 dx = x3 + C, gdyż (x3 ) = 3x2 .
Twierdzenie
0
R
a) [ f (x) dx] = f (x),
b)
R
2.1
f 0 (x) dx = f (x) + C.
Wzory podstawowe
1
xα+1
α+1
1.
R
xα dx =
2.
R
x−1 dx ≡
3.
R
sin x dx = − cos x + C,
4.
R
cos x dx = sin x + C,
5.
R x
e
2.2
R 1
x
α 6= −1,
+ C,
dx = ln |x| + C,
dx = ex + C.
Reguły całkowania
1.
R
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx,
R
R
2.
R
(f (x) − g(x)) dx = f (x) dx − g(x) dx,
3.
R
(λf (x)) dx = λ f (x) dx,
4.
R
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx
5.
R
g(f (x))f 0 (x) dx = g(t) dt
R
R
λ ∈ R,
R
R
R
(wzór na całkowanie przez części),
(wzór na całkowanie przez podstawienie).
Przykłady
R
(x + cos x − 2ex ) dx = 12 x2 + sin x − 2ex + C,
R x2 −x+1
√
x
dx =
R

R
x sin x dx = 



3
1
1
x 2 − x 2 + x− 2
f (x) = x
5
3
1
dx = 25 x 2 − 23 x 2 + 2x 2 + C,
0
g (x) = sin x
f 0 (x) = 1 g(x) = − cos x





= −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C,
R
2

R
(2x − 5)7 dx =
dx
√
2+ x








=
2dx = dt
dx = 21 dt


√
2+ x=t 


R
2x − 5 = t













x = (t − 2)2
dx = 2(t − 2)dt

R
tg x dx =
R sin x

R
=2
t




f 0 (x) =


x2 e−x dx = 



=
1
x
f (x) = x
dt =
g(x) = x





0
2





−x
g (x) = e
f (x) = x
g (x) = e
−x








=−
1
(2x
16
+C =
R dt
= x ln x −
f 0 (x) = 2x g(x) = −e−x
0
1 8
t
16
− 5)8 + C,
√
√
dt = 2t − 4 ln |t| + C = 4 + 2 x − 4 ln |2 + x| + C,
− sin xdx = dt
f (x) = ln x g (x) = 1
ln x dx = 

R 7
t
R t−2
0

R
1
2
=
cos x = t
dx = 
cos x














t
R
= − ln |t| + C = − ln | cos x| + C,
dx = x ln x − x + C,
= −x2 e−x + 2 xe−x dx =
R
= −x2 e−x + 2 (−xe−x + e−x dx) =
R
f 0 (x) = 1 g(x) = −e−x
−x
−x
2
= −x2 e−x − 2xe−x
 − 2e + C= −e (x + 2x + 2) + C,
R
√
x 1 + x dx =

1 + x = t2 











= (t2 − 1) · t · 2t dt = 2 (t4 − t2 ) dt =
x = t2 − 1 

dx = 2tdt
= 25 t5 − 23 t3 + C =
2.3
2
5
q
R
R

(1 + x)5 −
2
3
q
(x + 1)3 + C.
Wzory podstawowe /cd/
6.
R
1
1+x2
7.
R
√ 1
1−x2
dx = arctg x + C,
dx = arc sin x + C.
Przykłady
R x2 dx
1+x2
= dx −
R

R
7
√x dx
1−x16
=








R
dx
1+x2
x8 = t
= x − arctg x + C,
8x7 dx = dt
x7 dx = 18 dt








=
1
8
R
√ dt
1−t2
= 18 arc sin t + C = 18 arc sin x8 + C.
3