Zadania Arkusz 4 Pochodna funkcji - Różniczkowanie f (x0) = lim f(x

Zadania
Arkusz 4
Pochodna funkcji - Różniczkowanie
f 0 (x0 ) = x→x
lim
0
(1)
(2)
(3)
(5)
= f 0 (x) ± g 0 (x);
0
= f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x);
f (x) · g(x)
(4)
0
f (x) ± g(x)
f (x)
g(x)
f (x) − f (x0 )
x − x0
0
=
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
;
(g(x))2
0
= f 0 (g(x)) · g 0 (x);
1
(xn )0 = nxn−1 , (ex )0 = ex , (ln x)0 = , (sin x)0 = cos x, (cos x)0 = − sin x.
x
f (g(x))
1. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodną podanej funkcji w podanym punkcie x0 :
√
i) f (x) = x2 , x0 dowolny;
iii) f (x) = x, x0 > 0;
ii) f (x) = x1 , x0 = 2;
iv) f (x) = 3x + 1, x0 dowolny.
√
O d p o w i e d ź. i) f 0 (x0 ) = 2x0 ; ii) f 0 (2) = −1/4; iii) f 0 (x0 ) = 1/(2 x0 );
iv) f 0 (x0 ) = 3.
2. Obliczyć pochodne funkcji w dowolnym punkcie x:
i) f (x) = −2;
3
2
ii) f (x) = 2x
√ −x ;
iii) f (x) = 4 x − 3 ln x;
1
iv) f (x) = ;
x
1
v) f (x) = √ ;
x
√
f (x) = 3 x;
f (x) = x13 ;
f√
(x) = (x2 − x + 1)2 ;
3
x x + ln(x2 ) − (x − 1)
! ;
x
1
− ln √ .
x) f (x) = √
3
x
x
vi)
vii)
viii)
ix)
√
O d p o w i e d ź. i) f 0 (x) = 0, ii)
f 0 (x) = 3x2 − 2x; √
iii) f 0 (x) = 2/ x − 3/x;
√
3
iv) f 0 (x) = −1/x2 ; v) f 0 (x) = −1/(2x x); vi) f 0 (x)
= 1/(3 x2 ); vii) f 0 (x) = 13x12 ;
√
viii)√f 0 (x) = 4x3 − 6x2 + 6x − 2; ix) f 0 (x) = 3/2 · x + 2/x − 3x2 + 6x − 3; x) f 0 (x) =
2/(3 3 x) + 1/(2x).
3. Za pomocą wzoru (2) na pochodną iloczynu zróżniczkować funkcje:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
f (x) = (9x2 − 2)(3x + 1);
f (x) = (3x + 11)(6x2 − 5x);
f (x) = x2 (4x + 6);
f (x) = (2 − 3x)(1 + x)(x + 2);
f (x) = (x2 + 3)x−1 ;
vi)
vii)
viii)
ix)
x)
f (x) = xex ;
f (x) = x2 ln x;
f (x) = x sin x;
f (x) = e√x cos x;
f (x) = xex ln x.
O d p o w i e d ź. i) f 0 (x) = 81x2 + 18x − 6; ii) f 0 (x) = 54x2 + 102x − 55; iii)
f 0 (x) = 12x2 + 12x; iv) f 0 (x) = −9x2 − 14x; v) f 0 (x) = 1 − 3/x2 ; vi) f 0 (x) = (1 + x)ex ;
vii) f 0 (x) √
= 2x ln x + x; viii) f 0 (x) = sin x + x cos x; ix) f 0 (x) = ex (cos x − sin x); x)
0
x
f (x) = e x(1/(2x) ln x + ln x + 1/x).
1
Zadania
Arkusz 4
4. Za pomocą wzoru (3) na pochodną ilorazu zróżniczkować funkcje:
2x − 3
;
x+1
5x
f (x) = 2
;
x +1
1
f (x) = ;
x
f (x) = tg x;
f (x) = ctg x;
i) f (x) =
ii)
iii)
iv)
v)
ex
;
x−2
x
f (x) = x
;
e + 2x
f (x) = e−x ;
f (x) = xe−x ;
ln x
.
f (x) =
x
vi) f (x) =
vii)
viii)
ix)
x)
O d p o w i e d ź. i) f 0 (x) = 5/(x+1)2 ; ii) f 0 (x) = 5(1−x2 )/(x2 +1)2 ; iii) f 0 (x) = −1/x2 ;
iv) f 0 (x) = 1/ cos2 x; v) f 0 (x) = −1/ sin2 x; vi) f 0 (x) = ex (x − 3)/(x − 2)2 ; vii) f 0 (x) =
ex (1 − x)/(ex + 2x)2 ; viii) f 0 (x) = −1/ex ; ix) f 0 (x) = e−x (1 − x); x) f 0 (x) = (1 − ln x)/x2 .
5. Za pomocą wzoru (4) na pochodną złożenia zróżniczkować funkcje:
i) f (x) = (3x2 − 13)3 ;
ii) f (x) = (8x3 − 5)9 ;
1
iii) f (x) = 4
;
x + 3x
iv) f (x) = ln(x5 );
v) f (x) = sin(x2 + x);
vi)
vii)
viii)
ix)
x)
2
f (x) = e−x +3 ;
f (x) = ecos x ;
f (x) = (sin(ln x))5 ;
f (x) = ln(e2x + 3);
ex
f (x) = ee .
O d p o w i e d ź. i) f 0 (x) = 18x(3x2 − 13)2 ; ii) f 0 (x) = 216x2 (8x3 − 5)8 ; iii) f 0 (x) =
2
−(4x3 +3)/(x4 +3x)2 ; iv) f 0 (x) = 5/x; v) f 0 (x) = (2x+1) cos(x2 +x); vi) f 0 (x) = −2xe−x +3 ;
vii) f 0 (x) = − sin xecos x ; viii) f 0 (x) = 5(cos(ln x))4 /x; ix) f 0 (x) = 2e2x /(e2x + 3); x) f 0 (x) =
x
ex
ex ee ee .
6. Obliczyć pochodne funkcji:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
sin x − x cos x
;
f (x) =
cos x + x sin x
q
f (x) = x+1
;
x−1
2
f (x) = ln
tg x;
√
x
f (x) = 1 + sin2 x;
1
f (x) = √
;
cos x
2x
;
f (x) = cos
1+x2
√
vii) f (x) = e
viii)
ix)
x)
xi)
xii)
ln x
;
sin 3x
;
f (x) =
2 sin2 xx cos x
1 + xe
f (x) =
;
1 − xex
x
f (x) = x ;
1 sin x
f (x) =
;
x
f (x) = (1 + x2 )x−2 .
q
O d p o w i e d ź. i) f 0 (x) = x2 /(x sin x+cos x)2 ; ii) f 0 (x) = −1/((x−1)2 (x + 1)/(x − 1));
iii) f 0 (x) = −4 cos 2x/((cos 2x−1)(cos 2x+1)); iv) f 0 (x) = (1/x2 )(sin2 x+1)1/x x sin(2x)/(sin2 x+
√
1) − ln(sin2 x + 1) ; v) f 0 (x) = sin x/(2 cos x cos x); vi) f 0 (x) = −2 (x2 + 1) sin 2x +
√
√
x cos 2x /(x2 +1)2 ; vii) f 0 (x) = e ln x /(2x ln x); viii) f 0 (x) = 4(cos 2x+2)/(cos 4x−1); ix)
0
x
0
f 0 (x) = 2ex (x + 1)/(xex − 1)2 ; x)
= (1/x)sin x+1 (−x ln x cos x −
f (x) = x (ln x + 1); xi) f (x) sin x); xii) f 0 (x) = (x2 + 1)x−3 (x2 + 1) ln(x2 + 1) + 2x(x − 2) .
2