2. Prawdopodobieństwo klasyczne

Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
2. Prawdopodobieństwo klasyczne - zadania na ćwiczenia
Ćw. 2.1 Niech A, B, C bȩda̧ zdarzeniami. Zapisz w jȩzyku teoriomnogościowym:
a) zachodzi zdarzenie A lub B ale nie C,
b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A lub B,
c) nie zachodzi żadne ze zdarzeń.
Ćw. 2.2 Rzucamy para̧ kostek sześciennych. Niech A i B bȩda̧ zdarzeniami takimi, że:
A - iloczyn oczek na kostkach jest równy 12, B - przynajmniej na jednej kostce
wypadła nieparzysta liczba oczek. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz
zdarzenia: A ∩ B, A ∪ B, B \ A.
Ćw. 2.3 W grupie studentów wybieramy losowo jedna̧ osobȩ. Niech zdarzenia A, B, C
bȩda̧ takie, że: A - wybrana osoba jest mȩżczyzna̧, B - osoba nie ma oceny bdb
z egzaminu w danym roku akademickim, C - osoba dojeżdża na wydział środkami
komunikacji miejskiej. Wyjaśnij zdarzenia: Ac ∩ B c , A ∩ B ∩ C c , A ∪ B c .
Ćw. 2.4 Wiadomo, że: P (A0 ) = 13 , P (A ∩ B) = 14 , P (A ∪ B) = 23 . Ile wynosi: P (B 0 ),
P (A ∩ B 0 ), P (B \ A)?
Ćw. 2.5 Wykonujemy trzy rzuty moneta̧. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy:
a) dokładnie dwie reszki,
b) co najwyżej dwie reszki?
Ćw. 2.6 W każdej z czterech urn sa̧ po cztery kule białe, czarne, czerwone i niebieskie. Losujemy z każdej urny po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
otrzymamy co najmniej jedna̧ kulȩ czerwona̧?
Ćw. 2.7 Na balu karnawałowym bawi siȩ 15 par. Do jednego z konkursów wylosowano
5 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest co najmniej jedna para?
Ćw. 2.8 Dziesiȩciu podróżnych, w tym czterech mȩżczyzn, wsiada losowo do ośmiu wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że mȩżczyźni wsia̧da̧ do różnych wagonów
o parzystych numerach, zaś kobiety do wagonów o numerach nieparzystych?
Ćw. 2.9 Brydż: rozdajemy taliȩ kart (52 szt.) na czterech graczy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) rozdaja̧cy otrzyma cały kolor,
b) rozdaja̧cy bȩdzie miał co najmniej jednego asa?
Ćw. 2.10 Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród piȩciu losowo wybranych osób nie
ma dwóch osób spod tego samego znaku zodiaku?
Ćw. 2.11 Każdy z n patyków przełamano na dwie czȩści: długa̧ i krótka̧. Otrzymano w
ten sposób 2n kawałków; poła̧czono je losowo w pary, z których każda tworzy nowy
"patyk". Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) wszystkie kawałki zostały poła̧czone w pierwotnym układzie;
b) wszystkie długie kawałki zostały poła̧czone z krótkimi.
1
Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
Ćw. 2.12 Rozmieszczamy 15 kul w 10-ciu ponumerowanych szufladach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdej szufladzie o numerze nieparzystym znajdzie siȩ dokładnie jedna kula, zaś w każdej szufladzie o numerze parzystym dokładnie dwie
kule?
Ćw. 2.13 W urnie jest n kul o numerach od 1 do n. Losujemy po jednej kuli bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w co najmniej jednym losowaniu numer
kuli pokryje siȩ z numerem losowania.
2
Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
2. Prawdopodobieństwo klasyczne - zadania domowe
Zad. 2.1 Wiadomo,
że P (A0
T
oraz P (A0 B)?
T
B 0 ) = 21 , P (A0 ) = 32 , P (A
T
B) = 14 . Ile wynosi P (B)
Zad. 2.2 Cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ustawiamy w losowej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tak otrzymanym cia̧gu liczb pojawi siȩ podcia̧g 1983? Opisać
przestrzeń zdarzeń elementarnych i zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjaja̧cych rozważanemu zdarzeniu.
Zad. 2.3 Z 20-osobowej grupy składaja̧cej siȩ z 10 kobiet i 10 mȩżczyzn wybrano losowo
5 osób. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób jest dokładnie 2
mȩżczyzn.
Zad. 2.4 W urnie sa̧ 2 białe i 4 czarne kule. Wyjmujemy je z urny jedna̧ po drugiej.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatnia wyjȩta kula bȩdzie czarna?
Zad. 2.5 W windzie znajduje siȩ 5 kobiet i 5 mȩżczyzn. Winda rusza z parteru i zatrzymuje siȩ na 10 piȩtrach budynku. Zakładaja̧c, że pasażerowie wysiadaja̧ na losowo
wybranych piȩtrach, obliczyć prawdopodobieństwo, że wszyscy mȩżczyźni wysia̧da̧
na piȩtrach o numerach parzystych, a każda z kobiet na innym piȩtrze o numerze
nieparzystym.
Zad. 2.6 Na płaszczyźnie dany jest n-ka̧t foremny o boku 2. Losujemy (bez zwracania) dwa jego wierzchołki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sa̧ one w odległości
wiȩkszej niż 2?
Zad. 2.7 W szafie jest 10 par butów. Pobieramy losowo 4 buty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosujemy co najmniej jedna̧ parȩ.
Zad. 2.8 Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród czterech losowo wybranych osób istnieja̧ conajmniej dwie urodzone w tym samym dniu tygodnia?
Zad. 2.9 Rozmieszczono w sposób losowy 10 identycznych kul w piȩciu szufladach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ostatniej szufladzie znajda̧ siȩ 4 kule.
Zad. 2.10 Z talii 52 kart losujemy jedna̧. Oblicz prawdopodobieństwo, że karta ta bȩdzie
pikiem, siódemka̧ lub figura̧ dowolnego koloru.
Zad. 2.11 Na polowanie udało siȩ 5 myśliwych. Nagle ukazało siȩ stado 6 kaczek. Każdy
z myśliwych szybko wycelował w jedna̧ kaczkȩ i oddał strzał. Przyjmijmy, że myśliwi sa̧ znakomitymi strzelcami, a wiȩc strzał każdego z nich był celny. Załóżmy
także, że śrut ze strzelby myśliwego trafia tylko do jednej kaczki oraz że kaczka
zostaje upolowana wtw. gdy trafił do niej co najmniej jeden z myśliwych. Obliczyć
prawdopodobieństwa zdarzeń: A - każdy trafi w inna̧ kaczkȩ, B- wszyscy strzela̧ do
kaczki numer 3, C- polowanie przeżyja̧ dokładnie 2 kaczki.
3