Model referencyjny dekompozycji problemu spełniania ograniczeń

Instytut Badań Systemowych PAN
Badania Systemowe – Teoria i Zastosowania
Sesja Sprawozdawcza
Model referencyjny dekompozycji
problemu spełniania ograniczeń
Zbigniew Banaszak
Warszawa, luty 2005
Zlecenie scharakteryzowane jest wielkością produkcji, oczekiwanym terminem
jej ukończenia, kosztem, a takŜe zbiorem alternatywnych marszrut
technologicznych zamawianego asortymentu. Poszukiwana jest odpowiedź
na pytanie: Czy zlecenie to moŜe zostać przyjęte do realizacji nie powodując
zakłócenia juŜ realizowanej produkcji?
RozwaŜane zagadnienie moŜna sformułować w kategoriach problemu spełnienia
ograniczeń - typowego sposobu deklaratywnego przedstawienia programu
w systemach programowania z ograniczeniami [6].
Problem spełnienia ograniczeń PSO = ((X,D),C). Dany jest: skończony zbiór
zmiennych decyzyjnych X = {x1, x2, ... ,xn}, skończona rodzina skończonych
dziedzin dyskretnych zmiennych decyzyjnych D = {Di|Di={di1, di2, ..., dij ...,
dim}, i=1..n}, skończony zbiór ograniczeń limitujących wartości zmiennych
decyzyjnych C = {Ci|i =1..L}, gdzie: c∈C jest pewnym predykatem P[xk,xl,...,xh]
zdefiniowanym na podzbiorze zbioru X. Poszukiwane jest rozwiązanie
dopuszczalne, tzn. rozwiązanie, w którym wartości wszystkich zmiennych
decyzyjnych spełniają wszystkie ograniczenia.
2
Model referencyjny dekompozycji problemu spełnienia ograniczeń
W ogólnym przypadku, problem PSO = ((X,D),C) w sposób naturalny
dekomponuje się na podproblemy, w szczególności podproblemy elementarne
(nie dekomponujące się juŜ dalej) [5].
Przykład
Dany jest PSO = ((X,D),C), gdzie: X = {x1,x2,...,x12}, D = {D1,D2,...,D12},
C = {c1,c2,...,c8}, gdzie: c1 = P1[x1,x2,x3], c2 = P2[x2,x4,x5],
c3 = P3[x4,x6],
c4 = P4[x7,x8], c5 = P5[x4,x7], c6 = P6[x9,x10], c7 = P7[x8,x9], c8 = P8[x11,x12].
Przykład dopuszczalnej dekompozycji problemu.
PSO=(({x1,x2,...,x12}, {D1,D2,...,D12}),{c1,c2,...,c8})
{c5}
*
PSO11=(({x1,x2,...,x6}, {D1,D2,...,D6}),{c1,c2,c3})
PSO12=(({x7,x8,...,x12}, {D7,D8,...,D12}),{c4,c6,c7,c8})
{c7}
*
PSO21=(({x7,x8},{D7,D8}),{c4})
*
PSO22=(({x9,x10},{D9,D10}),{c6})
*
PSO23=(({x11,x12},{D11,D12}),{c8})
AND/OR grafowa reprezentacja obiektowych dekompozycji PSO.
PSO
PSO12
PSO11
PSO22,1
PSO12’
PSO22,3 =PSO13
PSO22,2
Legenda:
* - problem elementarny,
podproblemy stowarzyszone – związane zmiennymi ograniczeń,
podproblemy alternatywne – nie związane zmiennymi ograniczeń,
dekompozycje.
3
Strategie przeszukiwania
Przykład. Niech moc dziedziny zmiennej decyzyjnej x1 podproblemu
A=(({x1},{d1,d2,d3,d4,d5}),c1) wynosi ZA=5, a podproblemu B=(({x2},{e1,e2},c2)
wynosi ZB=2. Alternatywne drzewa przeszukiwania odpowiadające kolejności
rozwiązywania podproblemów: a) problem A, a następnie problem B;
b) problem B, a następnie problem A.
a)
b)
Liczba potencjalnych nawrotów wyraŜa się zaleŜnością:


N = ∑  Z1 ( j 1 ) ⋅ Z 2 ( j2 ) ⋅ ... ⋅ Z i ( jk ) − 1
i =1 

n
gdzie:
n – liczba rozwiązywanych podproblemów,
Zi (jk) – liczba potencjalnych podstawień zmiennej decyzyjnej jk-o podproblemu
rozwiązywanego w i-tej kolejności,
Problem A rozwiązywany przed B: N = (Z1(A)-1)+(Z1(A)⋅Z2(B)-1) = 13
Problem B rozwiązywany przed A: N = (Z1(B)-1)+(Z1(B)⋅Z2(A)-1) = 10
4
Uwagi końcowe
Istotą opracowanego modelu referencyjnego jest przyjęcie AND/OR grafowej
reprezentacji obiektowego modelu dekompozycji problemu spełnienia
ograniczeń. Wprowadzona reprezentacja umoŜliwia wybór optymalnej
(minimalizującej liczbę nawrotów) strategii przeszukiwania, pozwala
uwzględnić ograniczenia wynikające ze sposobu specyfikacji problemu oraz jego
programowej implementacji, a takŜe dostępnej dekompozycji problemu.
W szczególności pozwala na zintegrowane, zwykle oddzielnie rozwaŜane,
rozwiązywanie problemów marszrutowania, porcjowania i szeregowania zadań,
na dwóch wzajemnie przenikających się poziomach: podsystemu produkcji oraz
transportu i składowania.
Proponowany model ułatwia równieŜ budowę dedykowanych narzędzi
wspierających podejmowanie decyzji w trybie on-line [1], [5], narzędzi
stanowiących atrakcyjną alternatywę dla istniejących systemów komputerowo
zintegrowanego zarządzania produkcją [3], [4], a takŜe wspierających
podejmowanie decyzji w zagadnieniach wstępnego wariantowania struktur
przedsiębiorstw wirtualnych.
Literatura
[1] Banaszak Z., Józefowska J., Red. Project-driven manufacturing. WNT, Warszawa 2003.
[2] Banaszak Z., Zaremba M., CLP-based project-driven manufacturing. The Preprint of the
7th IFAC Symposium on Cost Oriented Automation, June 6-9, 2004, Gatineau, Canada,
369-274.
[3] Bzdyra K., Banaszak Z., Planowanie przebiegu procesów produkcyjnych
z wykorzystaniem technik programowania z ograniczeniami. Komputerowo
zintegrowane zarządzanie. T.1, R. Knosala Red. WNT, Warszawa, 2004, 165-171.
[4] Sitek P., Wikarek J., Banaszak Z., Zastosowanie metodyki programowania w logice
ograniczeń do optymalizacji planowania zleceń produkcyjnych. W: Automatyzacja
procesów dyskretnych, Red. M. Zaborowski, WNT, Warszawa 2004, 295-304.
[5] Banaszak Z., Zaremba M., Muszyński W., CP-based decision making for SME. Prepr. of
the 16th IFAC World Congress, 3-9 July, 2005, Praga. (w druku).
[6] Banaszak Z., Bzdyra K., Programowanie z ograniczeniami w systemach wspomagania
decyzji MŚP. W: Metody sztucznej inteligencji w zarządzaniu i sterowaniu, II tom serii
Zarządzanie i technologie informacyjne. J. Józefowska red. Wyd. Uniw. Śląskiego,
Gliwice, 2005. (w druku).