erraty
Transkrypt
erraty
Błędy zauważone przeze mnie w skrypcie A.Drabik, J.Mielniczuk „Algebra liniowa z geometrią” ten spis jeszcze będzie się zmieniać Stefan Sokołowski Gdańsk, 13 stycznia a 2009 Problem 1: I. Wiadomości wstępne 1. Liczby naturalne Twierdzenie — Własności dodawania i mnożenia: m′ = m + 1 =⇒ m = n′ dla pewnej liczby n Moja uwaga: m′ oznacza następnik m; więc poprzednik implikacji jest zawsze prawdziwy. Dla m = 0 jest ona nieprawdziwa. Problem 2: I. Wiadomości wstępne 1. Liczby naturalne Twierdzenie — Porządek ¬ ma następujące własności: n ¬ 0 Moja uwaga: Nierówność w odwrotną stronę. Problem 3: I. Wiadomości wstępne 3. Liczby wymierne Stwierdzenie — (o dzieleniu ułamków) m p a m q a : = ⇐⇒ = · n q b n p b Moja uwaga: Po prawej stronie równoważności powinno być p . q Problem 4: I. Wiadomości wstępne 3. Liczby wymierne Stwierdzenie — o gęstości m p m m+p p < =⇒ < < n q n n+p q Moja uwaga: W środku nierówności powinno być m+p ; inaczej nieprawda. q+n Problem 5: II. Własności zbiorów liczbowych 3. Kongruencje, twierdzenie chuińskie o resztach Drugi przykład po twierdzeniu chińskim Każda z beczek mieści najwyżej 300 ho. Moja uwaga: Wtedy nie ma rozwiązania. Prawdopodobnie miało być 3000 ho. Problem 6: III. Liczby zespolone 3. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych Definicja Argument główny liczby z określony jest jako argument liczby z, który należy do przedziału h−p, pi. Moja uwaga: Chodzi oczywiście o przedział otwarto-domknięty (−π, πi . 2 Problem 7: IV. Funkcje zmiennej zespolonej 1. Wielomiany Dowód przed samym zasadniczym twierdzeniem algebry: z n = z̄ n Moja uwaga: Ma być: z n = z̄ n Problem 8: XI. Przekształcenia liniowe I 1. Definicja przekształcenia liniowego Różne stwierdzenia o jednokładności na początku rozdziału. Moja uwaga: Przekształcenie f ([x1 , x2 ]) = [3x1 , 4x2 ] nie jest zwykle nazywane jednokładnością, użycie tego terminu w skrypcie jest niestandardowe. Ilustrujący to rysunek 11 1 nie ma związku ani z tak zdefiniowanym przekształceniem f ani z normalnie rozumianą jednokładnością. Niżej w ramce z definicją przekształcenia liniowego jest mowa o jednokładności „względem punktu 0 i prostej przechodzącej przez punkt 0”. To nie ma sensu; przypuszczam, że zsotało skopiowane z drugiego przykładu (z symetrii). Przez jednokładność względem punktu p o skali k rozumie się zwykle przekształcenie, które każdemu punktowi q przypisuje punkt leżący na prostej od p do q w odległości k razy większej. Analitycznie na płaszczyźnie taka jednokładność względem punktu O opisuje się wzorem f ([x1 , x2 ]) = [kx1 , kx2 ] . Problem 9: XIII. Przestrzenie euklidesowe 1. Iloczyn skalarny Przykład 2 po definicji iloczynu skalarnego. Moja uwaga: To nie jest iloczyn skalarny, bo nie spełnia warunku (iv) z definicji. Jako kontrprzykład weźmy np. funkcję ◦ f (x) def = sin(x · 360 ) Wtedy f (0) = 0, f (0.5) = sin(180◦ ) = 0, f (1) = sin(360◦) = 0, wobec tego hf, fi = f (0)f (0) + f (0.5)f (0.5) + f (1)f (1) = 0 Tymczasem f nie jest funkcją zerową. 3 Problem 10: XIII. Przestrzenie euklidesowe 4. Rzut ortonormalny Przykład po definicji macierzy ortogonalnej. Moja uwaga: To nie jest macierz ortogonalna. Byłaby, gdyby usunąć jeden z minusów. 4