9.5. Analogie między wielkościami opisującymi pola grawitacyjne i

Rozdział 9. Pole elektrostatyczne
145
9.5. A
nalogie między wielkościami
opisującymi pola grawitacyjne
i elektrostatyczne
W rozdziale 5. pierwszej części tego podręcznika omówiliśmy dokładnie związki między
wielkościami fizycznymi opisującymi pole grawitacyjne. Pole elektrostatyczne można opisać przez analogię. Przeanalizujmy kolejne wiersze tabeli 9.1.
Tabela 9.1
Pole grawitacyjne
1
2
3
Wartość siły grawitacji działającej
między dwoma punktami
materialnymi lub jednorodnymi
kulami o masach M i m:
Fg  G
Mm
r2
Definicja natężenia pola
grawitacyjnego w danym punkcie:

 Fg

m
Pole elektrostatyczne
Wartość siły elektrostatycznej
działającej między dwoma
ładunkami punktowymi Q i q:
Fel.  k
| Q || q |
r2
Definicja natężenia pola
elektrostatycznego w danym
punkcie:

 Fel.
E
q
q >0
Ogólny wzór na siłę grawitacji,
który stosuje się w dowolnym polu
grawitacyjnym:
Ogólny wzór na siłę elektrostatyczną,
który stosuje się w dowolnym polu
elektrostatycznym:
Z tego wzoru wynika, że siła
grawitacji w danym polu jest wprost
proporcjonalna do masy ciała (m), na
które działa.
Uwaga: Do tego wzoru wstawiamy q
wraz ze znakiem.
Z tego wzoru wynika, że wartość siły
elektrostatycznej w danym polu jest
wprost proporcjonalna do ładunku
(q), na który działa.


Fg  m 


Fel.  qE
Z fizyką w przyszłość
146
Pole grawitacyjne
Wartość natężenia centralnego pola
grawitacyjnego (zależność g od M i r):
4
5

GM
r2
Pole elektrostatyczne
Wartość natężenia centralnego pola
elektrostatycznego (zależność E od
|Q| i r):
E
k |Q |
r2
Gdy źródłem pola jest jednorodna
kula o masie M, wzór nie stosuje się
wewnątrz kuli.
Gdy źródłem pola jest kula
o symetrycznie rozmieszczonym
ładunku (Q) powierzchniowo lub
objętościowo, wzór nie stosuje się
wewnątrz kuli.
Definicja zmiany grawitacyjnej
energii potencjalnej ciała o masie m
przy jego przemieszczaniu między
dwoma punktami pola (A i B):
Definicja zmiany elektrostatycznej
energii potencjalnej ładunku q
przy jego przemieszczaniu między
dwoma punktami pola (A i B):
DEpot. A→B = Wsiły zewn. A→B
DEpot. A→B = Wsiły zewn. A→B
(lub DEpot. A→B = −Wsiły pola A→B)
(lub DEpot. A→B = −Wsiły pola A→B)
Uwaga: Przez siłę zewnętrzną rozumiemy tutaj siłę, która w każdym punkcie
równoważy siłę pola.
6
Wzór na pracę siły zewnętrznej przy
przemieszczaniu ciała o masie m
w polu centralnym (z A do B):
Wzór na pracę siły zewnętrznej przy
przemieszczaniu ładunku q w polu
centralnym (z A do B):
 1 1
Wsiły zewn. A B  GMm  
 rA rB 
 1 1
Wsiły zewn. A B kQq  
 rA rB 
Uwaga: Ładunki Q i q podstawiamy
do wzoru wraz ze znakami.
Grawitacyjna energia potencjalna
ciała o masie m w polu centralnym
(zależność od M i r):
7
Epot. 
GMm
r
Wzór jest słuszny pod warunkiem, że
energia potencjalna ciała jest równa
zeru w nieskończoności.
Elektrostatyczna energia potencjalna
ładunku q w polu centralnym
(zależność od Q i r):
Epot. 
kQq
r
Uwaga: Ładunki Q i q podstawiamy
do wzoru wraz ze znakami.
Wzór jest słuszny pod warunkiem,
że energia potencjalna ładunku q jest
równa zeru w nieskończoności.
Rozdział 9. Pole elektrostatyczne
147
Pole grawitacyjne
Pole elektrostatyczne
Definicja potencjału grawitacyjnego
w danym punkcie pola:
8
V
Definicja potencjału
elektrostatycznego w danym punkcie
pola:
Epot.
V
m
Potencjał centralnego pola
grawitacyjnego (zależność V od M i r):
9
V 
GM
r
Epot.
q0
q
Potencjał centralnego pola
elektrostatycznego (zależność
V od Q i r):
V
kQ
r
Uwaga: Ładunek Q podstawiamy do
wzoru wraz ze znakiem.
10
Ogólny wzór na pracę siły
zewnętrznej przy przemieszczaniu
ciała o masie m między dwoma
punktami (z A do B) dowolnego pola
grawitacyjnego:
Ogólny wzór na pracę siły
zewnętrznej przy przemieszczaniu
ładunku q między dwoma punktami
(z A do B) dowolnego pola
elektrostatycznego:
Wsiły zewn. A→B = m(VB − VA)
Wsiły zewn. A→B = q(VB − VA)
Uwaga: Do wzoru podstawiamy
ładunek q wraz ze znakiem.
Warto zauważyć (pozycja 4. w tabeli), że:
3
To ważne
Naładowana równomiernie kula (powierzchniowo lub
objętościowo3) wytwarza na zewnątrz i na powierzchni
takie pole elektrostatyczne, jakby cały jej ładunek Q był
punktowy i umieszczony w środku kuli.
Z tego faktu często korzystamy w zadaniach.
Tak można naładować izolator.
3
Z fizyką w przyszłość
148
Z definicji zmiany energii potencjalnej (pozycja 5. i 6. w tabeli) wynika, że, gdy mamy
do czynienia z siłą przyciągania ciała przez źródło pola (pole grawitacyjne i elektrostatyczne, gdy ładunki Q i q są różnoimienne), to zawsze przy oddalaniu ciał od źródła energia
potencjalna wzrasta, a przy zbliżaniu maleje. Gdy siła jest siłą odpychającą (ładunki Q i q
są jednoimienne), jest odwrotnie. Fakt ten nie zależy od przyjętej umowy, dotyczącej położenia ciała, w którym jego energia potencjalna jest równa zeru.
Rys. 9.26
Na rysunkach 9.26a i 9.26b przedstawiono wykresy zależności energii potencjalnej
ładunku punktowego umieszczonego w centralnym polu elektrostatycznym od odległości r od źródła tego pola. Uwzględniono przypadki, gdy punktowy ładunek źródłowy Q
i ładunek q umieszczony w polu są różnoimienne (rys. 9.26a) i jednoimienne (rys. 9.26b).
Ostatnie trzy wiersze w tabeli 9.1 dotyczą potencjału i różnicy potencjałów, która
w elektryczności nazywa się napięciem elektrycznym.
Energia potencjalna ładunku próbnego nie jest wielkością charakteryzującą pole elektrostatyczne w danym punkcie, gdyż zależy od umieszczonego w tym punkcie ładunku.
Kilkakrotnie już w tym podręczniku zwracaliśmy uwagę, że wielkość, która ma charakteryzować pole, nie może zależeć od tego, czy umieszczono w nim jakiś ładunek (w polu
grawitacyjnym ciało o pewnej masie) czy nie, i jaka jest wartość
 tego ładunku (czy masy).
Taką wielkością dla pola elektrostatycznego, oprócz natężenia E (wielkość wektorowa), jest
potencjał V (wielkość skalarna).
Zapamiętaj
Potencjałem pola w danym punkcie nazywamy iloraz energii potencjalnej
punktowego ciała naelektryzowanego dodatnim ładunkiem próbnym q,
umieszczonego w tym punkcie i wartości tego ładunku.
V
Epot.
q
(9.7)
Rozdział 9. Pole elektrostatyczne
149
Wielkość ta informuje nas o tym, jaką energię potencjalną w danym punkcie ma ładunek jednostkowy.
Jednostką potencjału w SI jest wolt (1 V). Potencjał pola w danym punkcie wynosi 1 V,
jeśli ładunek 1 C umieszczony w tym punkcie ma energię potencjalną równą 1 J.
kgm 2
J
Nm
1 V= 1 = 1
=1
C
As
As3
Podstawiając do wzoru (9.7) wyrażenie na energię potencjalną ładunku próbnego q
umieszczonego w polu ładunku punktowego Q, otrzymujemy wyrażenie na potencjał tego
pola w danym punkcie.
Qq
k
V= r
q
V =k
Q
(9.8)
r
Otrzymany wzór daje odpowiedź na pytanie: Od czego zależy potencjał centralnego
pola elektrostatycznego w danym punkcie? Nie jest to wzór uniwersalny (słuszny dla pola
wytworzonego przez dowolny rozkład ładunków), lecz odnosi się jedynie do centralnego
pola kulombowskiego. Wynika z niego, że jeśli ładunek wytwarzający pole jest dodatni,
potencjał dowolnego punktu pola jest także dodatni i maleje w miarę wzrostu odległości
od źródła (rys. 9.27a).
Rys. 9.27
Jeśli ładunek wytwarzający pole jest ujemny, wytwarza pole o potencjale ujemnym
rosnącym do zera przy wzroście odległości r do ∞. Dla potencjałów, tak jak dla natężeń pól,
stosuje się zasadę superpozycji. Ponieważ potencjał to wielkość skalarna, więc sumowanie
potencjałów jest sumowaniem algebraicznym.
Z fizyką w przyszłość
150
Prz yk ł ad 9.4
Potencjał pola
Potencjał pola pochodzącego od czterech ładunków umieszczonych
w wierzchołkach kwadratu
Na rysunku 9.28 przedstawiono dwa warianty układu czterech
ładunków o takich samych wartościach bezwzględnych.
Potencjał w punkcie P w każdym przypadku to suma dwóch
potencjałów ujemnych i dwóch dodatnich o takich samych
wartościach bezwzględnych, zatem w obu przypadkach jest
on równy zeru.
Zastanów się, czy wektory natężenia pola wytworzonego
przez te układy ładunków w punkcie P są także w obu przypadkach jednakowe i równe zeru.
Rys. 9.28
Korzystając z tego, że definicja potencjału (9.7) stosuje się w każdym polu elektrostatycznym, możemy wyrazić różnicę potencjałów między dwoma punktami dowolnego pola
następująco:
Epot. B − Epot. A
VB −VA =
q
skąd
Epot. B − Epot. A = Wzewn. A→B = q(VB − VA)(9.9)
Różnicę potencjałów między dwoma punktami pola elektrostatycznego nazywamy
napięciem między tymi punktami i oznaczamy literą U.
To ważne
Praca wykonana przy przemieszczaniu ładunku q z punktu A do B przez siłę zewnętrzną równoważącą w każdym
punkcie siłę pola elektrostatycznego równa się iloczynowi
tego ładunku i różnicy potencjałów elektrycznych między
tymi punktami.
Rozdział 9. Pole elektrostatyczne
151
W dalszym ciągu nauki o elektryczności (w nauce o prądzie elektrycznym) konieczna będzie umiejętność obliczania pracy, jaką wykonują siły pola przy przemieszczaniu
ładunku z punktu A do B. Zwróć uwagę, że siła zewnętrzna, której pracę wyliczaliśmy,
równoważy w każdym punkcie siłę pola.


Fzewn. =−Fpola
Praca siły pola różni się od pracy siły zewnętrznej (która równoważy siłę pola) tylko
znakiem, więc
Wpola (A→B) = q (VA − VB) (9.10)
W tym wzorze VA − VB oznacza napięcie między tymi punktami.
W paragrafie 9.3 wykazaliśmy, że wewnątrz naładowanego przewodnika natężenie
pola elektrostatycznego jest równe zeru, a nadmiarowy ładunek gromadzi się na jego powierzchni. Ze wzoru 9.10 wynika, że skoro nad ładunkami nie jest wykonywana praca,
to potencjały dowolnie wybranych punktów A i B są jednakowe. Dotyczy to zarówno
punktów wewnątrz przewodnika, jak i na jego powierzchni. Jeśli jest to metalowa kula
lub powłoka kulista o promieniu R, wówczas potencjał powierzchni i wszystkich punktów
Q
wewnątrz kuli jest równy V = k . Na rysunku 9.29 przedstawiono wykresy E(r) i V(r) dla
R
kuli naładowanej dodatnio.
Rys. 9.29
Z fizyką w przyszłość
152
Zadania
1. W odległości r = 10 cm od dodatnio naelektryzowanej kulki A znajduje
się ujemnie naelektryzowana kulka B. Wiedząc, że ładunki kulek wynoszą
qA = + 2 mC i qB = − 3 mC, oblicz, jaką pracę należy wykonać, aby rozsunąć je
na odległość d = 100 cm.
2. Dwie równoległe, różnoimiennie naelektryzowane płytki wytwarzają pole
elektrostatyczne. Ładunek każdej płytki ma taką samą wartość bezwzględną.
Czy do obliczenia pracy siły zewnętrznej przy przesunięciu ładunku q z punktu
A do B w tym polu można posłużyć się poniższym wzorem?
1 1
Wzewn. (A→B) =−kQq − 
 rA rB 
Uzasadnij odpowiedź.
3. W paragrafie 9.1 omówiliśmy elektryzowanie ciał przez dotknięcie. Wyjaśnij,
jaki warunek musi być spełniony, by ładunki nie przemieszczały się z jednego
przewodnika na drugi po ich zetknięciu.
4.Ładunek q = 2 mC przemieścił się z punktu A do B (rys. 9.30).
Rys. 9.30
Oblicz pracę, którą wykonała przy tym siła pola; Q1 = −10 mC, Q2 = 4 mC,
l = 20 cm.
5. Kulkę A o promieniu r1 = 6 cm naelektryzowano do potencjału V1 = 3000 V,
a kulkę B o promieniu r2 = 4 cm do potencjału V2 = 5000 V. Oblicz potencjał
kulek po połączeniu ich długim, cienkim drutem.
6. Kulę o promieniu r1 = 20 cm naelektryzowano do potencjału V1 = 3000 V i połączono cienkim, długim drutem z drugą nienaelektryzowaną kulą, wskutek
czego potencjał kuli zmniejszył się do V2 = 1200 V. Oblicz promień r2 drugiej
kuli.