1 Relacje

Matematyka dyskretna dla informatykow. Wyklad 3,4,5
(9.11.98) Wersja 1.0
1
Relacje
1.1 Podstawowe pojecia
,
Pojecie
relacji jest jednym z najwa_zniejszych w matematyce i informatyce. Formalnie
,
relacja, n-argumentowa, okreslona, w zbiorach A1 An nazwiemy dowolny podzbior
iloczynu kartezjanskiego A1 An. Czyli okreslenie relacji polega na wybraniu z
wszystkich mo_zliwych n-tek (a1 . . . an) : a1 2 A1 an 2 An takich, ktorych zestawienie z jakiegos powodu nas interesuje. Niech na przyk
lad A1 oznacza zbior pasa_zerow w
pewnej bazie danych, A2 zbior linii lotniczych w tej bazie, zas A3 | zbior wszystkich
po
lacze
, n lotniczych zarejestrowanych w tej bazie. Zbior A1 A2 A3 oznacza zestawienie
wszystkich mo_zliwosci lotu ka_zdego z pasa_zerow na ka_zdej z tras ka_zda, z linii. Elementami tego zbioru bed
, a, te_z trojki, ktore w rzeczywistosci moga, nie odpowiadac stanowi
faktycznemu chocby z tego powodu, z_ e dana linia lotnicza na danej trasie mo_ze nie miec
z_ adnego lotu w rozk
ladzie. Nas bed
, a, interesowa
ly rezerwacje, ktorych pasa_zerowie dokonali w tej bazie danych. Mo_zemy okreslic relacje, R dokonanych rezerwacji w taki sposob,
z_ e (a1 a2 a3) 2 R wtedy i tylko wtedy gdy pasa_zer a1 dokona
l rezerwacji lotu w liniach
lotniczych a2 na trasie a3.
Zauwa_zmy przy tym, z_ e jeden pasa_zer mo_ze dokonac kilku rezerwacji na danej trasie
w roz_ nych liniach, z_ e kilku roz_ nych pasa_zerow mo_ze dokonac rezerwacji na te, sama, trase,
ta, sama, linia,, z_ e w koncu jeden pasa_zer mo_ze korzystac z us
lug jednej linii na kilku
trasach. Wszystkie te sytuacje mo_zemy wyrazic umieszczajac, odpowiednie zestawienia
w relacji R. Nasza relacja jest jednak za s
laba, z_ eby wyrazic np. fakt rezerwacji kilku
roz_ nych lotow ta, sama, linia, na identycznej trasie przez tego samego pasa_zera (np. dzien po
dniu). Gdybysmy chcieli i te, wiadomosc uja,c w relacji opisujacej
, rezerwacje, musielibysmy
wprowadzic dodatkowe zbiory opisujace
, konkretne loty i daty i okreslic nowa, relacje,
, np.
5-argumentowa,, ktorej elementem bedzie
piatka
(pasa_zer, linia lotnicza, trasa, nr lotu,
,
,
data).
Szczegolnym rodzajem relacji sa, relacje dwuargumentowe. Stanowia, one na tyle wa_zna,
klase, relacji, z_ e bedziemy
opuszczali przymiotnik ,,dwuargumentowa" i mowiac, o relacjach
,
bez dodatkowych okreslen bedziemy
rozumieli w
lasnie relacje dwuargumentowe.
,
Jak zobaczylismy, zbiory po
laczone
relacja, moga, byc bardzo roz_ ne. Czasami jednak
,
zdarza sie,, z_ e wszystkie sk
ladniki relacji, szczegolnie dwuargumentowej, sa, identyczne.
Relacja taka jest wtedy podzbiorem kwadratu kartezjanskiego A A oznaczanego te_z
przez A2. Mowimy wtedy, z_ e relacja jest okreslona w zbiorze A.
Przyk
ladami takich relacji sa:,
Relacja niemniejszo
sci okreslona w zbiorze liczb naturalnych, czyli
2
IN = f(a b) 2 IN 9k 2 IN : a + k = bg.
Relacja niemniejszosci okreslona w zbiorze liczb rzeczywistych, czyli
R= f(a b) 2 R29c 2 R : a + c2 = bg.
1
Relacja przystawania modulo n w zbiorze liczb naturalnych, czyli
modn = ff(a b) 2 IN 29k l r 2 IN : a = kn + r b = ln + rg
Rzecz jasna nie sa, to jedyne mo_zliwe sposoby deniowania tych skadin
, ad
, znanych relacji.
Zwykle w przypadku relacji dwuargumentowych stosuje sie, notacje, inksowa, piszac, np.
zamiast (2 5) 2IN po prostu 2 IN 5 lub wrecz
, 2 5, gdy jasne jest w jakiej dziedzinie
(w tym przypadku | naturalnej) relacja zosta
la okreslona.
Dziedzina, relacji nazwiemy zbior tych elementow, ktore wystepuj
, a, jako pierwszy
sk
ladnik par wchodzacych
w jej sk
lad, a przeciwdziedzina, | zbior tych elementow, ktore
,
wystepuj
a
jako
drugi
sk
l
adnik
par wchodzacych
w jej sk
lad. Przyk
ladowo dziedzina, relacji
,
,
,
ostrej wiekszo
sci okreslonej na liczbach naturalnych jest zbior IN nf0g, zas przeciwdziedzina,
,
zbior IN . Relacja pusta, to po prostu zbior pusty, a relacja pelna, to zbior A A = A2.
_
Zadne
dwa elementy nie sa, ze soba, w relacji pustej ka_zde dwa elementy sa, ze soba, w
relacji pe
lnej.
Relacja, odwrotna, do relacji R A B nazwiemy relacje, R;1 okreslona, w B A w
;1
;1 ;1
nastepuj
, acy
, sposob: (b a) 2 R , (a b) 2 R. Zauwa_zmy, z_ e (R ) = R.
Dla dwoch relacji binarnych R1 2 A1 A2 oraz R2 2 A2 A3 okreslamy ich zlo_zenie
jako relacje, R A1 A3 w nastepuj
, acy
, sposo b: (a1 a3) 2 R , 9a2 2 A2 : (a1 a2) 2
R1 (a2 a3) 2 R2. Najcze, sciej mamy do czynienia z sytuacja,, gdy A1 = A2 = A3, czyli
gdy wszystkie relacje sa, okreslone w tym samym zbiorze. Wtedy interpretujac, relacje
w postaci strza
lek l
acz
elementy zbioru musimy rozroz_ nic (na przyk
lad kolorem)
, acych
,
te pary punktow, ktore sa, po
laczone
relacja, R1 (powiedzmy strza
lki czerwone) oraz te.
,
ktore sa, po
laczone
relacj
a
R
(powiedzmy
strza
lki zielone). Wtedy z
lo_zenie R1 i R2 bedzie
,
, 2
,
relacja,, ktora laczy
ze
sob
a
te
elementy,
kt
o
re
s
a
po
l
aczone
dwiema
kolejnymi
strza
l
kami:
,
,
,
,
najpierw czerwona,, a potem zielona., Ustalmy te_z notacje, dla relacji z
lo_zonej ze soba,
kilka razy. Przyjmijmy, z_ e R0 = id oraz Rn+1 = R Rn dla n 0.
Pewna klasa relacji odgrywa ogromne znaczenie w matematyce. Niektore relacje R A1 An maja, te, ceche,, z_ e gdy ustalimy elementy a1 . . . an;1, wowczas tylko co
najwy_zej jeden element an bedzie
z nimi w relacji, czyli spe
lniony jest ogolny warunek:
,
0
8a1 2 A1 . . . an;1 2 An;1(9an an 2 An : (a1 . . . an;1 an) 2 R ^ (a1 . . . an;1 a0n) 2
R ) an = a0n. Innymi s
lowy jesli dwa elementy an oraz a0n sa, w relacji R z elementami
a1 . . . an;1, to musza, byc sobie rowne. Dok
ladniej: je_zeli ustalimy elementy a1 . . . an;1,
to sa, dwie mo_zliwosci: albo nie bedzie
z_ adnego elementu wchodzacego
z nimi w relacje,
,
,
(implikacja wystepuj
, aca
, w denicji jest w sposo b trywialny prawdziwa, jako z_ e poprzednik
implikacji jest fa
lszywy), albo bedzie
tylko jeden taki element. Relacje, R, ktora spe
lnia
,
powy_zszy warunek nazywamy funkcja, cze
, sciowa,, albo, krocej, funkcja,. Je_zeli dodatkowo
dla ka_zdych a1 . . . an;1 istnieje element an (rzecz jasna jedyny) bed
, acy
, z nimi w relacji,
to funkcja taka nazywa sie, funkcja, calkowita,.
Zauwa_zmy, z_ e szkolne pojecie
, funkcji odpowiada funkcji ca
lkowitej, a pojecia
, dziedziny
funkcji, z
lo_zenia funkcji, odwracania funkcji, znane ze szko
ly sredniej sa, szczegolnymi
przypadkami powy_zszych okreslen dla relacji. Zauwa_zmy te_z, z_ e choc dla ka_zdej relacji
istnieje relacja odwrotna, to nie dla ka_zdej funkcji istnieje funkcja odwrotna. Relacja
odwrotna do relacji, ktora jest funkcja,, sama byc funkcja, nie musi. Na przyk
lad relacja
f(x y) 2 R2 : x2 = yg jest funkcja,, ale relacja odwrotna f(y x) 2 R2 : x2 = yg ju_z
funkcja, nie jest. Nale_za, do niej chocby pary (1 ;1) oraz (1 1).
Przyk
lad
Rozwa_zmy relacje, log2 okreslona, w zbiorze R w nastepuj
, acy
, sposob: (x y ) 2 log2 , x >
2
0 ^ 2y = x. Dziedzina, tej relacji jest zbior wszystkich liczb dodatnich, przeciwdziedzina,
ca
ly zbior R. Relacja ta jest funkcja., Nale_za, do niej przyk
ladowo pary
1 ;10) ( 1 ;1) (1 0) (2 1) (1024 10):
( 1024
2
Jest to funkcja logarytmiczna. Standardowo piszemy np. zamiast (2 1) 2 log2 po prostu
log2(2) = 1 lub wrecz
, log2 2 = 1. Relacja odwrotna do log2 jest tak_ze funkcja., Jej
dziedzina, jest zbior R, a przeciwdziedzina, zbior R+ . Sk
lada sie, ona m.in. z par
1 ) (;1 1 ) (0 1) (1 2) (10 1024):
(;10 1024
2
Jest to funkcja wyk
ladnicza. Z
lo_zenie relacji log2 oraz relacji odwrotnej log;2 1 jest tak_ze
funkcja., Jest to funkcja identycznosciowa na zbiorze R+ (czyli zbior par (x x) takich z_ e
x 2 R+ ). Z kolei z
lo_zenie relacji (funkcji) log;2 1 oraz relacji (funkcji) do niej odwrotnej,
czyli log2 tak_ze jest funkcja,, ale nieco inna., Te_z jest to funkcja identycznosciowa, ale na
ca
lym zbiorze R.
Niektore cechy relacji sa, szczegolnie wa_zne. Przedstawimy teraz podstawowe rodzaje
relacji. Niech R X X dla pewnego ustalonego zbioru X .
R jest zwrotna , 8a 2 X : (a a) 2 R.
R jest przeciwzwrotna , 8a 2 X : (a a) 2= R.
R jest symetryczna , 8a b 2 X : (a b) 2 R ) (b a) 2 R.
R jest asymetryczna , 8a b 2 X : (a b) 2 R ) (b a) 2= R.
R jest antysymetryczna , 8a b 2 X : (a b) 2 R ^ (b a) 2 R ) a = b.
R jest przechodnia , 8a b c 2 X : (a b) 2 R ^ (b c) 2 R ) (a c) 2 R.
R jest spojna , 8a b 2 X : (a b) 2 R _ (b a) 2 R.
Wa_znym pojeciem
jest te_z domkniecie
relacji ze wzgledu
na pewna, ceche,, czyli jej
,
,
,
uzupe
lnienie o minimalna, liczbe, elementow tak, aby zapewnic zachodzenie tej cechy.
Zw
laszcza istotne sa, domkniecia
przechodnie, a tak_ze symetryczne i zwrotne. Zacznijmy
,
mo_ze od tego ostatniego. Domknieciem
zwrotnym relacji R nazwiemy relacje, R id.
,
Domkniecie
symetryczne
relacji
R
,
to
relacja
R R;1. Domkniecie
przechodnie relacji
,
,
R, to relacja, ktora sk
lada sie, z wszystkich par (a b) takich, z_ e (a b) 2 Rn dla pewnego
n 1. Domkniecie
oznaczali symbolem R+ , domkniecie
, przechodnie relacji R bedziemy
,
,
s , a domkniecie jednoczesnie
zwrotne symbolem Rz , domkniecie
symetryczne
symbolem
R
,
,
zwrotne i przechodnie symbolem R.
Je_zeli spojrzymy na relacje, R gracznie jako na strza
lki l
acz
, ace
, ze soba, narysowane punkty, to jej domkniecie
zwrotne odpowiada dorysowaniu brakujacych
petelek
,
,
,
(czyli strza
lek prowadzacych
od ka_zdego wez
,
, la do siebie samego) przy ka_zdym punkcie,
domkniecie
symetryczne | uzupe
lnienie ka_zdej strza
lki o przeciwny kierunek, a domk,
niecie
przechodnie | po
laczenie
strza
lka, ka_zdej pary punktow (a b) takiej, z_ e z a do b
,
,
mo_zna dojsc po strza
lkach relacji R.
3
Zauwa_zmy w koncu, z_ e relacje sa, zbiorami, wiec
, mo_zna na nich wykonywac wszystkie
dzia
lania teorii zbiorow, a wiec
sumowanie,
iloczyn,
roz_ nice,, dope
lnienie itd.
,
Przedstawimy teraz kolekcje, relacji ka_zdemu doskonale znanych z z_ ycia codziennego i
sprobujemy zilustrowac wprowadzone pojecia.
Za
loz_ my, z_ e rozwa_zamy relacje rodzinne w
,
zbiorze ludzi znajdujacych
sie, obecnie na ziemi (mo_zna te_z dorzucic do tego zbioru pare,
,
minionych pokolen). W tym zbiorze okreslone sa, naturalne relacje MATKA i OJCIEC.
Powiemy, z_ e (x y) 2 MATKA jesli y jest matka, x, zas (x y) 2 OJCIEC jesli y jest
ojcem x. Za
loz_ my te_z istnienie jednoargumentowych relacji ON i ONA mowiacych
o
,
tym, czy ktos jest me_, zczyzna, czy kobieta., Zatem x 2 ONA, albo, krocej, ONA(x), gdy x
jest kobieta, i analogicznie dla me_, zczyzn. Z przyczyn technicznych warto te_z zdeniowac
relacje ONI = f(x x) : ON(x)g oraz ONE = f(x x) : ONA(x)g. Relacje ONI i ONE
sa, podzbiorami relacji id. Dowolna relacja z
lo_zona z relacja, ONI (ONE) pozostawi tylko
te elementy, ktore na drugiej wspo
lrzednej
maja, me_, zczyzn (kobiety). Podobnie, relacja
,
ONI (ONE) z
lo_zona z dowolna, relacja, pozostawi z niej tylko te pary, ktore maja, na
pierwszej wspo
lrzednej
me_, zczyzn (kobiety). Podstawowymi relacjami bed
,
, a, te_z relacje
;
1
_
MA, Z_ = f(x y) : y jest me_, zem xg i ZONA
= MA, Z_ .
Bed
, a, to nasze relacje bazowe i z nich wyprowadzimy znane skadin
, ad
, dalsze relacje
rodzinne.
Relacja ,,x jest rodzicem y" to po prostu relacja RODZIC = MATKA OJCIEC
Relacja ,,b jest bratem a", to relacja BRAT = f(a b) : a 6= b ^ ON(b) ^ 9m o :
MATKA(a m) MATKA(b m) OJCIEC(a o) OJCIEC(b o)g. Zauwa_zmy, z_ e relacja ((MATKA MATKA;1) \ (OJCIEC OJCIEC;1 ) n id) ONI jest dok
ladnie relacja,
BRAT.
SIOSTRA = ((MATKA MATKA;1) \ (OJCIEC OJCIEC;1) n id)ONE
Relacja CA
LE RODZEN STWO = (MATKA OJCIEC)(MATKA OJCIEC);1 n id
deniuje rodzenstwo zarowno naturalne, jak i przyrodnie.
Relacja OJCIEC BRAT to STRYJ.
Sprobujmy zdeniowac relacje, WUJ. Jest to niewatpliwie
brat matki, a wiec
,
,
mo_zemy go zdeniowac jako MATKA BRAT (najpierw idziemy po strza
lce do
matki, a potem do jej brata). Wujem te_z nazywa sie, me_, za ciotki. Zatem kim jest
ciotka? Ciotka, to siostra matki lub ojca, wiec
, CIOTKA = RODZICSIOSTRA.
Uwaga: zgodnie z polska, tradycja, z_ ona wuja to wujenka, a nie ciotka. Inaczej
mielibysmy ma
le k
lopoty: do zdeniowania wuja by
laby potrzebna ciotka (jako jego
z_ ona), a do zdeniowania ciotki | wuj (jako jej ma_,z). Grozi
loby to zapetleniem
,
sie., Ostatecznie jednak WUJ = MATKA BRAT CIOTKA MA, Z._
Dziadek, to rodzic do kwadratu p
lci meskiej:
DZIADEK = RODZIC2ONI, a bab,
cia to BABCIA = RODZIC2ONE. Mo_zna te_z inaczej: DZIADEK = RODZIC OJCIEC, a BABCIA = RODZIC MATKA.
WNUCZE, = (DZIADEK BABCIA);1, zas WNUK = WNUCZE, ONI.
PRZODEK = RODZIC+ POTOMEK = PRZODEK;1.
4
KREWNY = PRZODEKz POTOMEKz . Ktos jest zatem moim krewnym, jesli
znajde, takiego swojego przodka, ktorego on jest potomkiem.
Podamy teraz denicje, grafu relacji, ktora zostanie pozniej uogolniona. Grafem relacji R okreslonej w zbiorze A nazwiemy pare, (A R). Zbior A nazywamy zbiorem wez
, low
lub wierzcholkow grafu, a zbior R | zbiorem jego krawedzi
reprezento, . Grafy bedziemy
,
wali gracznie w postaci rysunkow, w ktorych wez
l
y
s
a
punktami,
a
elementy
relacji |
,
,
strza
lkami.
Scie_zka, d
lugosci n w grae relacji (A R) nazwiemy ciag, v0 e1 v1 e2 . . . en vn, gdzie
dla ka_zdego i = 1 . . . n : ei = (vi;1 vi). Scie_zka, jest zatem ciag, kolejnych wez
, low i
krawedzi
prowadzacych
od v0 do vn. Je_zeli v0 = vn, to scie_zke, nazywamy cyklem. Jesli
,
,
dodatkowo z_ aden pozosta
lych z wez
, low sie, nie powtarza, to taki cykl nazywamy prostym.
Graf nazwiemy pelnym, jesli R = A2, czyli gdy jest grafem relacji pe
lnej: ka_zde dwa
elementy A sa, wtedy ze soba, w relacji. Graf relacji symetrycznej bedziemy
nazywali nie,
zorientowanym i strza
lki odpowiadajace
relacjom
b
edziemy
rysowa
c
w
postaci
odcinkow
,
,
zak
ladajac,
, z_ e ka_zdy (niezorientowany) odcinek reprezentuje dwie strza
lki: po jednej dla
ka_zdego kierunku.
1.2 Relacje rownowa_znosci i podzialy
Relacja, rownowa_znosci jest ka_zda relacja jednoczesnie zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Przyk
lady relacji rownowa_znosci:
Relacja rownosci elementow dowolnego zbioru (identycznosc) jest relacja, rownowaz_ nosci.
Relacja osiagalno
sci w grae relacji zwrotnej i symetrycznej, ktora, deniujemy tak:
,
b jest osiagalne
z a, jesli istnieje scie_zka prowadzaca
,
, w tym grae od a do b.
Relacja RODZEN STWO, ktora obejmuje te pary, ktore maja, identycznych rodzicow.
Relacja modn przystawania modulo n dla n > 0 w zbiorze liczb naturalnych: (a b) 2
modn , amodn = bmodn.
Relacja nale_zenia do tej samej grupy cwiczeniowej z PRG.
Nie sa, natomiast relacjami rownowa_znosci nastepuj
, ace
, relacje:
Relacja pokrewienstwa KREWNY. (brak przechodniosci!)
Relacja BRAT(ani zwrotna ani symetryczna ani przechodnia!)
Relacja nale_zenia do tej samej grupy cwiczeniowej z czegokolwiek w PJWSTK.
Klasa, abstrakcji elementu a 2 A relacji rownowa_znosci R nazwiemy zbior fb : (a b) 2
Rg. Klase, abstrakcji elementu a oznaczamy przez a]. Zbior klas abstrakcji relacji R
oznaczamy przez A=R i nazywamy zbiorem ilorazowym. Podzialem zbioru A nazwiemy
rodzine, jego podzbiorow A1 . . . Ak taka,, z_ e spe
lnione sa, dwa warunki:
A1 Ak = A
5
8i 6= j : Ai \ Aj = :
Czyli podzia
lem zbioru A nazywamy ka_zdy zbior roz
lacznych
parami podzbiorow zbioru
,
A, ktore w sumie daja, ca
ly zbior A. Zasada abstrakcji g
losi, z_ e miedzy
podzia
lami zbioru,
,
a relacjami rownowa_znosci istnieje wzajemna odpowiedniosc. Ka_zda relacja rownowa_znosci
wyznacza pewien podzia
l, a ka_zdy podzia
l deniuje unikalna, relacje, rownowa_znosci: taka,,
z_ e para elementow jest ze soba, w tej relacji, gdy oba elementu znajduja, sie, w jednym
podzbiorze.
Przyk
lady:
Relacja osiagalno
sci deniuje podzia
l zbioru A na regiony po
laczone
ze soba, scie_zka,
,
mi w grae relacji. W szczegolnosci gdybysmy rozwa_zali graf po
lacze
, n drogowych
na kuli ziemskiej, to zapewne jedna, klase, abstrakcji stanowi
lyby wszystkie kontynentalne wez
nskie, kolejna, wez
, ly azjatyckie, europejskie i afryka
, ly obu Ameryk,
kolejna, | wez
, ly australijskie, dalej osobno wez
, ly brytyjskie, islandzkie itd. Ogolnie
ka_zda wyspa stanowi
laby swoja, klase, abstrakcji.
Relacja RODZEN STWO uto_zsamia dzieci tych samych rodzicow. Z pewnych wzgle-,
dow rozroz_ nianie miedzy
nimi mo_ze byc nieistotne: na przyk
lad gdy rodzic dostaje
,
zaproszenie na jaka,s impreze, dla siebie i jednego dziecka, to nie wa_zne, ktore ze
swoich dzieci ze soba, zabierze. Mowiac, w jezyku
potocznym ,,jedno dziecko" mamy
,
w takim przypadku na mysli reprezentanta odpowiedniej klasy abstrakcji relacji
RODZEN STWO.
Relacja modn dzieli zbior liczb naturalnych na n klas abstrakcji. Do pierwszej z
nich nale_za, te wszystkie liczby, ktore przy dzieleniu przez n daja, reszte, 0, do drugiej
| te, ktore daja, reszte, 1, . . ., do n-tej te, ktore daja, reszte, n ; 1.
Praktyka pokazuje, z_ e przy analizie systemow nale_zy abstrahowac od nieistotnych
szczegol
ow ustalajac, mo_zliwie du_za, relacje, rownowa_znosci, ktora pozwoli skoncentrowac
sie, na istotych roz_ nicach. Zbior ilorazowy takiej relacji jest z regu
ly prostszy i przez to
latwiejszy do implementacji. Ustalenie odpowiedzniej relacji rownowa_znosci jest jednym
z podstawowych narzedzi
informatyka porzadkuj
acego
badany przez siebie swiat.
,
,
,
1.3 Relacje porzadku
,
Inna, wa_zna, klasa, relacji sa, relacje porzadkuj
ace
,
, zbior. Ze szko
ly znamy najprostsze
takie relacje: porzadki
liczbowe.
Zbiory
liczb
naturalnych,
wymiernych i rzeczywistych
,
sa, uporzadkowane
relacja, niemniejszosci. Uogolnimy teraz to pojecie.
,
,
Relacja R okreslona na zbiorze A jest relacja, porzadku
cze
,
, sciowego lub, krocej, relacja,
porzadku
, , wtedy i tylko wtedy gdy jest
zwrotna
antysymetryczna
przechodnia.
6
Zauwa_zmy, z_ e relacje porzadkuj
ace
,
, zbiory liczbowe spe
lniaja, wszystkie te w
lasnosci.
Zauwa_zmy, z_ e nie ma za
lo_zenia o spojnosci relacji porzadku
cze
,
, sciowego. Mo_ze sie,
zdarzyc, z_ e relacja porzadku
nie jest w stanie uporzadkowa
c dwoch roz_ nych elementow.
,
,
Oznacza to, z_ e mo_ze sie, zdarzyc sytuacja, w ktorej nie mo_zna stwierdzic ani z_ e (a b) 2 R,
cze, sciowego jest dodatkowo spojna
ani z_ e (b a) 2 R. Natomiast gdy relacja porzadku
,
(czyli miedzy
ka_zdymi dwoma elemenatmi mo_zna okreslic, ktory z nich jest wiekszy
lub
,
,
rowny), to taka, relacje, nazwiemy relacja, porzadku
liniowego
.
,
Przyk
lady.
n
Relacja IN porzadkuj
aca
,
, punkty przestrzeni IN , czyli wektory liczb naturalnych.
Powiemy, z_ e (a1 . . . an) (b1 . . . bn ) , a1 b1 ^ ^ an bn .
Relacja porzadku
leksykogracznego, stosowana w s
lownikach. Na zbiorach s
low
,
nad danym skonczonym alfabetem deniujemy porzadek
w nastepuj
,
, acy
, sposo b.
Po pierwsze okreslamy porzadek
liter w alfabecie. Nastepnie
majac, dwa s
lowa
,
,
ustalamy, z_ e interesuje nas pierwsza od lewej roz_ niaca
, je litera. Mniejsze bedzie
,
to s
lowo, ktorego taka pierwsza od lewej rozniaca
je
litera jest mniejsza w sensie
,
porzadku
alfabetycznego od swojej odpowiedniczki w drugim s
lowie. Je_zeli takiej
,
litery nie ma, to jedno z rozwa_zanych s
low musi byc poczatkiem
drugiego. Wtedy
,
to z nich, ktore jest krotsze jest mniejsze. Jesli oba sa, dodatkowo tej samej d
lugosci,
to sa, one rowne.
Porzadkujemy
punkty p
laszczyzny w uk
ladzie kartezjanskim nastepuj
(x1 y1) K
,
, aco:
,
(x2 y2) , (x1 < x2) _ (x1 = x2) ^ (y1 y2). Zdeniowany porzadek
nazywamy
,
leksykogracznym porzadkiem
kartezja
n
skim
.
,
Porzadkujemy
punkty p
laszczyzny nastepuj
ka_zdemu punktowi przypisujemy
,
,
, aco:
pare, liczb: (r '). Zak
ladamy przy tym, z_ e r 0 0 ' < 2. Interpretujemy r
jako odleg
losc od srodka uk
ladu wspo
lrzednych O, zas ' jako miare, kata
, miedzy
,
osia, OX , a prosta, lacz
ac
a
pocz
atek
uk
l
adu
wsp
o
l
rz
ednych
z
naszym
punktem,
o ile
, , ,
,
,
0).
jest on roz_ ny od O. Umawiamy sie, dodatkowo, z_ e punkt O ma wspo
lrzedne
(0
,
Reszta | tak jak poprzednio: (r1 '1) B (r2 '2) , (r1 < r2) _ (r1 = r2) ^ ('1 '2). Zdeniowany porzadek
nazywamy leksykogracznym porzadkiem
biegunowym.
,
,
Relacja inkluzji na zbiorze podzbiorow dowolnego zbioru.
Relacja porzadku
na zbiorze funkcji rzeczywistych okreslonych na domknietym
od,
,
cinku a b] zdeniowana nastepuj
f g , 8x 2 a b] : f (x) g(x).
, aco:
,
Zauwa_zmy, poza pierwsza, i ostatnia, z przyk
ladowych relacji wszystkie przyk
ladowe relacje
sa, relacjami porzadku
ca
lkowitego. Ostatnia relacja porzadku
na funkcjach jest relacja,
,
,
2
porzadku
cze
,
, sciowego: nie sposo b np. stwierdzic, ktora z dwoch funkcji: f (x) = x oraz
g(x) = 1 jest wieksza
na przedziale 0::2].
,
Porzadki
leksykograczne stanowia, z informatycznego punktu widzenia wyjatkowo
,
,
wa_zna, klase, porzadk
o
w.
Umo_
z
liwiaj
a
one
okre
s
lenie
relacji
porz
adku
liniowego
na
ilo,
,
,
czynach kartezjanskich (bazy danych!) gdy dane sa, porzadki liniowe na sk
ladnikach tego
iloczynu.
Wa_znymi pojeciami
sa, te_z okreslenia elementow najwiekszych
i maksymalnych (odpo,
,
wiednio najmniejszych i minimalnych).
7
Niech A bedzie
relaca, porzadku
cze
,
,
, sciowego okreslonego w zbiorze A. Elementem
najwiekszym
(odp.
najmniejszym)
nazwiemy
taki element a 2 A, z_ e dla ka_zdego b 2 A
,
zachodzi b A a (odp. a A b). Elementem maksymalnym (odp. minimalnym) nazwiemy
taki element a 2 A, z_ e nie istnieje roz_ ny od a element b 2 A taki, z_ e a A b (odp. b A a).
naturalnych
Przyklad 1: Rozwa_
zmy zbior niezerowych wektorow o wspol
rzednych
,
oraz relacje, IN porzadku
cze
(zdeniowana, wczesniej w
,
, sciowego po wspo
lrzednych
,
przyk
ladach). W zbiorze tym istnieja, trzy elementy minimalne: 1 0 0] 0 1 0] oraz
0 0 1]. Nie ma w tym zbiorze elementu najmniejszego, ani maksymalnego (a tym bardziej najwiekszego).
Gdybysmy uzupe
lnili ten zbior o wektor zerowy 0 0 0], to sta
lby
,
sie, on elementem najmniejszym tej relacji i jednoczesnie jedynym minimalnym.
Przyklad 2: Rozwa_
zmy domkniecie
zwrotne relacji ,,bycia przodkiem" w drzewie
,
z
genealogicznym ludzkosci. Powiemy wiec,
, z_ e xPRZODEK y , jesli x jest przodkiem y
lub x = y. Jest to relacja cze
(patrz cwiczenia do tego rozdzia
lu).
, sciowego porzadku
,
Umowmy sie,, z_ e xPRZODEKz y bedzie
mia
l
o
znaczenie
x y (_zeby okreslic kierunek
,
strza
lek). Elementy maksymalne tej relacji, to wszyscy ludzie, ktorzy nigdy nie mieli, lub
nie maja, dzieci. Elementy minimalne sa, dwa: Adam i Ewa.
Zauwa_zmy, w ka_zdej relacji porzadku
ka_zdy element najwiekszy
jest maksymalny (a
,
,
najmniejszy | minimalny), ale nie na odwrot. W zbiorze mo_ze byc co najwy_zej jeden
element najwiekszy
(najmniejszy), a elementow maksymalnych mo_ze byc wiecej
,
, ni_z jeden.
Relacje porzadkuj
ace
pe
l
ni
a
fundamentaln
a
rol
e
w
przygotowaniu
danych
do ich wyko,
,
,
, ,
rzystania w algorytmach. Przede wszystkim chodzi tu o algorytm przeszukiwania binarnego, ktory omowimy dok
ladnie na programowaniu. Aby moc zastosowac ten algorytm
trzeba miec relacje, porzadku
liniowego. Czasami taka, relacje, wprowadza sie, ca
lkowicie
,
sztucznie (np. porzadkuje
sie, kolory, rodzaje materia
lu itp.) tylko po to, z_ eby wymusic
,
odpowiedz na pytanie, ktory element jest wiekszy
lub rowny.
,
Okazuje sie, te_z, co pokaza
l Szpilrajn, z_ e ka_zda, relacje, porzadku
cze
,
, sciowego mo_zna
uzupe
lnic o takie elementy, aby sta
la sie, relacja, porzadku
ca
l
kowitego.
Algorytmy,
ktore
,
tego dokonuja, nazywaja, sie, algorytmami sortowania topologicznego.
1.4 Podobienstwa i pokrycia
Czesto
spotykamy sie, z sytuacja,, kiedy interesujaca
,
, nas relacja majaca
, pogrupowac elementy w grupy o zbli_zonych w
lasciwosciach nie jest przechodnia. Przyk
ladem takiej
relacji jest relacja podobienstwa w rodzinie. Czesto
zdarza sie, tak, z_ e ojciec jest podobny
,
do corki, corka do matki, a ojciec do matki | niekoniecznie. Mowi sie, co prawda, z_ e
to corka jest podobna do ojca, ale przyjmiemy tutaj, z_ e relacja podobienstwa w rodzinie
jest symetryczna.
Ogolnie relacja, podobienstwa nazwiemy ka_zda, relacje, zwrotna, i symetryczna., Przyk
lady
relacji podobienstwa:
Relacja pokrewienstwa KREWNY. Matka jest krewna, syna, syn krewnym ojca, ale
matka na ogol krewna, ojca nie jest.
Relacja podobngo ow
losienia g
lowy zdeniowana tak, z_ e podobne ow
losienie maja,
takie dwie osoby, ktorych liczba w
losow na g
lowie roz_ ni sie, co najwy_zej o jeden.
Zwrotnosc i symetrycznosc tej relacji jest oczywista, a przechodniosc nie zachodzi:
8
gdyby tak by
lo, to kompletnie lysy facet mia
lby ow
losienie podobne do Claudii
Schier.
Wszystkie relacje rownowa_znosci (nie jest wcale zastrze_zone, z_ e podobienstwo nie
mo_ze byc relacja, przechodnia).
,
Dla danej relacji podobienstwa wa_zne jest okreslenie maksymalnych podzbiorow, w
ktorych ta relacja jest te_z przechodnia. W pewnym sensie mo_zemy mowic wtedy o silnym podobienstwie ze wzgledu
na pewna, ceche., Tyle tylko, z_ e ta cecha nie musi byc
,
jednakowa dla wszystkich takich grup (tak by
lo w przypadku relacji rownowa_znosci). Na
przyk
lad dla relacji pokrewienstwa takim podzbiorem mo_ze byc zbior krewnych danej
osoby. Typem podobienstwa bedzie
w tym przypadku pokrewienstwo z ta, w
lasnie osoba.,
,
Niech zatem dla danej relacji podobienstwa P typem podobienstwa bedzie
ka_zdy ma,
ksymalny podzbior elementow, w ktorym ka_zde dwa sa, ze soba, w relacji P .
Pokryciem zbioru A nazwiemy ka_,zda, taka, rodzine, jego podzbiorow fA1 A2 . . ., z_ e
A1 A2 = A. Pokrycie P nazwiemy wlasciwym, jesli z_ aden podzbior Ai 2 P nie
jest podzbiorem z_ adnego Aj 2 P dla i 6= j .
Okazuje sie,, z_ e miedzy
relacjami podobienstwa, a pokryciami w
lasciwymi ka_zdego
,
zbioru istnieje analogiczny zwiazek,
jak miedzy
relacjami rownowa_znosci, a podzia
lami.
,
,
Je_zeli dane jest podobienstwo P , to zbior typow tego podobienstwa stanowi jednoznacznie
wyznaczone pokrycie. Jest to pokrycie w
lasciwe. Na odwrot, jesli dane jest pokrycie
w
lasciwe P = A1 A2 . . . zbioru A, to relacja P = f(a b)g : 9i : (a b) 2 Ai jest relacja,
podobienstwa.
Je_zeli relacja podobienstwa jest jednoczesnie relacja, rownowa_znosci, to pokrycie z nia,
zwiazane
jest podazia
lem, a typy tej relacji podobien stwa sa, klasami abstrakcji.
,
Zadania
1. Zadania 1/140, 2/141,13,14/142,3,6,7,8,9,10/141 z ,,Matematyki dyskretnej".
2. Ktore ze zdeniowanych w
lasnosci spe
lniaja, relacje pusta i pe
lna?
3. Czy prawdziwe sa, nastepuj
, ace
, stwierdzenia
Jesli relacja jest asymetryczna (odp. przeciwzwrotna), to nie jest symetryczna
(odp. zwrotna)
Jesli relacja jest symetryczna i przechodnia, to jest zwrotna
Domkniecie
, przechodnie relacji przechodniej jest jej rowne
Wynik domkniecia
, relacji zwrotnego, symetrycznego i przechodniego zale_zy od
kolejnosci dokonywania tych domknie
,c
Domkniecie
, zwrotne, symetryczne i przechodnie jest relacja, pe
lna,
4. Zdeniuj w rachunku relacji wychodzac, od relacji zdenowanych w tekscie naste-,
pujace
, relacje rodzinne:
Stryjenka (_zona stryja)
Jatrew
(w tym stosunku rodzinnym sa, ze soba, z_ ony braci)
,
Kuzyn (wspolni dziadkowie, ale nie rodzice)
9
Szwagier (ma_,z siostry albo brat z_ ony lub me_, za).
5. Ktore z poni_zszych rownosci sa, prawdziwe:
DZIADEK = ONI RODZIC2?
SIOSTRA = RODZEN STWO ONE?
BRAT BRAT;1 = BRAT;1 BRAT?
6. Dla ka_zdej z relacji rodzinnych okresl, czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia, antysymetryczna.
7. Poka_z, z_ e relacja PRZODEKz jest relacja, cze, sciowego porzadku.
,
8. Poka_z, z_ e jesli R jest relacja, cze
to jest nia, rownie_z relacja R;1 .
,
, sciowego porzadku,
9. Ktora z liczb bedzie
pie
leksykogracznego liczb
,
, cdziesiata
, w relacji uporzadkowania
,
od 1 do 100 wed
lug zapisu
literowego po polsku (liczby zapisujemy tak: jeden, dwa, trzy. . . . Oczywiscie
tutaj np. dwa<jeden<trzy)?
cyfrowego w uk
ladzie dziesietnym.
(Uwaga: tu np. 11 < 2)?
,
rzymskiego?
10. Uogolnij denicje porzadk
, ow kartezjanskiego i biegunowego na przypadek trojwymiarowy.
11. Czy relacja K \ B jest relacja,
porzadku
cze
,
, sciowego
porzadku
liniowego?
,
12. Czy relacja K B jest relacja,
porzadku
cze
,
, sciowego
porzadku
liniowego?
,
10