3. Równania pola elektromagnetycznego

2008-10-06
3. Równania pola
elektromagnetycznego
Oddziaływanie pola elektromagnetycznego z materią
Pole elektromagnetyczne jest opisywane zazwyczaj za pomocą
następujących 5 pól wektorowych:
• gęstości prądu J,
• natężenia pola elektrycznego K,
• natężenia pola magnetycznego H,
• indukcji elektrycznej D,
• indukcji magnetycznej B.
Występowanie pola elektromagnetycznego jest wykrywane pośrednio – za pomocą
jego oddziaływania energetycznego z otaczającą materią. Siła z jaką pole działa na
swobodny ładunek q poruszający się z prędkością v (siła Lorentza)
jest określona wzorem
[ K ] = V/m
[ B ] = Vs/m2
Ładunek q musi byd dostatecznie mały, również w sensie jego rozmiarów
geometrycznych, aby można było mówid o punktowym oddziaływaniu. Ładunek
elektryczny jest wielkością kwantowaną – najmniejszy możliwy ładunek to ładunek
elektronu qe=1.6 ·10-19 C .
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
2
1
2008-10-06
Doświadczenia Ampere’a i Faraday’a
Współczesna teoria pola elektromagnetycznego wywodzi się z fundamentalnych
eksperymentów przeprowadzonych przez Ampere’a i Faraday’a
Doświadczenie Ampere’a.
Przepływ prądu elektrycznego w przewodniku
- ruch ładunku q z prędkością v, powoduje
powstanie pola magnetycznego H wokół
przewodnika.
qv
H
v
K
Doświadczenie Faraday’a.
Zmiana pola magnetycznego wewnątrz
obwodu elektrycznego - np. ruch magnesu
z prędkością v, powoduje powstanie pola
elektrycznego K na zaciskach obwodu
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
3
Pole elektryczne w dielektryku
Dielektrykiem nazywamy ciało, które nie przewodzi prądu elektrycznego
czyli o konduktywności =0 S/m. Umieszczenie dielektryka w polu elektrycznym
powoduje nieznaczne przesunięcie przestrzenne ładunku cząsteczek dielektryka
w taki sposób, że elementarne ładunki dodatni i ujemny są względem siebie
przesunięte o pewien odcinek l – efekt działania siły Lorentza.
Taki układ ładunków nazywamy dipolem,
którego moment pe jest równy q l. Objętościowa
gęstośd elektrycznego momentu dipolowego
jest nazywana wektorem polaryzacji elektrycznej Pe
-q
l
+q
Własności materialne określa związek pomiędzy wektorami polaryzacji i natężenia pola
(dla środowisk izotropowych)
gdzie
– przenikalnośd elektryczna próżni, * C/Vm ]
– podatnośd elektryczna, * - ]
0
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
4
2
2008-10-06
Wektor indukcji dielektrycznej
Indukcją dielektryczną D nazywamy sumę wektorów
Podstawiając zależności określające wektor polaryzacji elektrycznej mamy
r
nosi nazwę względnej przenikalności elektrycznej.
Własności dielektryczne materiałów mających budowę krystaliczną, np. kwarc,
zależą zarówno od kierunku działania pola K, jak i od kierunku obserwacji (pomiaru)
pola D. Materiały takie są nazywane anizotropowymi a równanie wiążące wektory K, D
jest w postaci macierzowej
Dalsze rozważania dotyczyd będą wyłącznie środowisk izotropowych,
tzn. ij = 0 dla i j oraz ii = r 0 .
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
5
Pole magnetyczne
Oddziaływanie pola magnetycznego z materią polega na zmianie rozkładu pola w próżni
po wprowadzeniu w pewien obszar przestrzeni elementu materialnego.
Dipolem magnetycznym nazywamy pole magnetyczne
H
pochodzące od elementarnego konturu l
i
ograniczającego powierzchnię S(l)
i wiodącego prąd i. Momentem magnetycznym
S
dipola nazywamy wyrażenie pm=i S un S
un S
Objętościowa gęstośd magnetycznego
momentu dipolowego jest nazywana
wektorem polaryzacji magnetycznej Pm
Własności materialne określa związek pomiędzy wektorami polaryzacji i natężenia pola
(dla środowisk izotropowych)
gdzie
0
m
– przenikalnośd magnetyczna próżni, * Vs/Am ]
– podatnośd magnetyczna, * - ]
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
6
3
2008-10-06
Wektor indukcji magnetycznej
Indukcją magnetycznej B nazywamy sumę wektorów
Podstawiając zależności określające wektor polaryzacji magnetycznej mamy
nosi nazwę względnej przenikalności magnetycznej, a
jest przenikalnością magnetyczną próżni, .
r
0
= 4 10-7 H/m
Materiały ferromagnetyczne mają budowę krystaliczną, dlatego ich własności
magnetyczne zależą zarówno od kierunku działania pola H, jak i od kierunku obserwacji
(pomiaru) pola B. Materiały takie są nazywane anizotropowymi a równanie wiążące
wektory H, B jest w postaci macierzowej
Dalsze rozważania dotyczyd będą wyłącznie środowisk izotropowych,
tzn. ij = 0 dla i j oraz ii = r 0 .
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
7
Materiały magnetyczne (1)
W zależności od wartości podatności magnetycznej m materiały dzielimy na:
• diamagnetyki ( m < 0) – np. woda m = -9·10-6, złoto m = -34·10-6, grafit m = -200·10-6
• paramagnetyki (0 <
• ferromagnetyki (
m <<
m >>
1) – np. tlen m = 2·10-6, aluminium
wolfram m = 78 10-6
m=
20·10-6,
1) – żelazo m = 5·103, nikiel m = 0.6·103, kobalt m = 0.3·103
stopy na bazie żelaza i niklu oraz żelaza i kobaltu mogą
mied podatnośd rzędu nawet m = 20·103
W obliczeniach technicznych przyjmuje się, że podatnośd magnetyczna
diamagnetyków i paramagnetyków jest równa zeru.
Równomierne zewnętrzne pole H
H
H
paramagnetyk
ferromagnetyk
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
8
4
2008-10-06
Materiały magnetyczne (2)
Materiały magnetyczne dzielimy na:
• miękkie czyli takie w których indukcja magnetyczna B po ustaniu zewnętrznego
pobudzenia polem H jest równa zeru (lub ma nieznaczną wartośd),
B
Bnas
zastępcza krzywa
B(H)
Br
0
H
Br – indukcja remanencji
(pozostałośd magnetyczna)
W obliczeniach magnetycznych tych materiałów stosuje się zastępczą (jednowartościową )
charakterystykę B(H)
• twarde czyli takie w których indukcja magnetyczna B po ustaniu
zewnętrznego pobudzenia polem H jest istotnie różna od zera.
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
9
Fizyka trwałego namagnesowania
Elektron o łądunku qe poruszający się po orbicie
z prędkością v może byd utożsamiany (na gruncie
klasycznej elektrodynamiki) z prądem o natężeniu
v qe zamykającym się wzdłuż orbity. Prąd ten
powoduje powstanie pola magnetycznego
o natężeniu He. Otrzymaliśmy elementarny dipol
magnetyczny (orbitalny) o momencie vqe Se,
odpowiadający za zjawisko diamagnetyzmu.
He
Oprócz ruchu orbitalnego elektron wiruje wokół
swej osi z pewną częstością e (posiada tzw. spin).
Ruch obrotowy ładunku elektrycznego można
traktowad jak przepływ prądu o natężeniu is wokół
osi obrotu. Prąd ten powoduje powstanie wiązki
pola magnetycznego Hs skoncentrowanej w osi obrotu.
Otrzymaliśmy elementarny dipol magnetyczny (spinowy) ,
odpowiadający za zjawiska para- i ferromagnetyzmu.
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
i
Se
v qe
Hs
is
e
10
5
2008-10-06
Nasycenie magnetyczne
Pm
Ferromagnetyki mają strukturę krystaliczną, a ponadto cechują się
właściwością, iż spontanicznie tworzą obszary (o rozmiarach rzędu mm),
nazywane domenami,w których wektor polaryzacji Pm ma identyczny
kierunek. Przy braku zewnętrznego pola magnetycznego wypadkowy
wektor polaryzacji wielu domen jest równy zeru.
Hz
Pm
Pojawienie się zewnętrznego pola magnetycznego Hz powoduje
zmianę na przeciwny kierunku spinowego momentu dipolowego
w niektórych sąsiadujących domenach. Efekt ten jest odwracalny
i zachodzi praktycznie bez pobierania energii.
Hz
Hz
Dalszy wzrost natężenia pola Hz, oprócz uporządkowania polaryzacji
w poszczególnych domenach , rozpoczyna proces obrotu dipoli
magnetycznych w domenach w kierunku wymuszającego pola.
Efekt ten zachodzi kosztem pewnej porcji energii pobranej ze źródła
pola.
Pm
Hz
Hz
Po osiągnięciu przez pole zewnętrzne wartości nasycenia
Hzs, kiedy wszystkie momenty dipolowe są równoległe
z wymuszeniem, wektor polaryzacji Pm osiąga swoją wartośd
maksymalną. Jeżeli pole zewnętrzne zostaje usunięte, to
w ferromagnetyku zostaje pozostałośd magnetyczna Pmr.
Pmr Pm
Hz
Hzs
11
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
Pętla histerezy magnetycznej
magnesu trwałego NdFeB
Pm
B
Powrotne krzywe
magnesowania
Br
HcB – natężenie koercji
odmagnesowujące
HcP – natężenie koercji
rozmagnesowujące
Pierwotne krzywe
magnesowania
HcP
HcB
H
0
VACODYM 722 HR
Br = 1.37 T
HcB = 1.02 MA/m
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
12
6
2008-10-06
Pole przepływowe
W środowisku przewodzącym wektory K, J są powiązane zależnością
– konduktywnośd, *S/m+=*A/Vm]
Natężeniem prądu elektrycznego i przepływającego przez powierzchnię S
nazywamy strumieo wektora gęstości prądu J przez tę powierzchnię
J
S
unS
Dla dostatecznie małej powierzchni S można przyjąd, że wektor J jest stały na tej
powierzchni. Uwzględniając również dla niewielkiego przedziału czasu t, że i= q/ t
otrzymuje się
Elementarny ładunek q jest równy
V=
Stąd
oraz
Sn l, gdzie
jest gęstością ładunku.
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
13
Równania Maxwella (1863 r.)
Postad różniczkowa równao Maxwella
J – gęstośd prądu przewodzenia, *A/m2]
∂D/∂t – gęstośd prądu przesunięcia, *A/m2]
Całkując obustronnie po wybranej powierzchni (otwartej) S otrzymuje się:
I – natężenie prądu przewodzenia, *A+
i – natężenie prądu przesunięcia, *A+
– strumieo magnetyczny, * Wb]=[Vs]
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
14
7
2008-10-06
Całkowe tożsamości Maxwella
Stosując twierdzenie Stokes’a do lewej strony równao całkowych mamy
Wzór ten nosi nazwę (przy i =0) prawa Ampere’a (prawa przepływu)
Wzór ten nosi nazwę prawa Faraday’a , e jest nazywane siłą elektromotoryczną, *V+
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
15
Warunki źródłowości pola
Wektory indukcji pola elektromagnetycznego spełniają następujące zależności
– gęstośd ładunku elektrycznego, *Q/m3]
Całkując po dowolnej objętości V i stosując twierdzenie Gauss’a otrzymuje się
Mówimy, że pole indukcji elektrycznej jest źródłowe, a źródłem strumienia
indukcji elektrycznej jest ładunek elektryczny.
Pole indukcji magnetycznej jest bezźródłowe
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
16
8
2008-10-06
Prawo zachowania ładunku
Dokonując operacji obustronnej dywergencji na I prawie Maxwell’a otrzymuje się
kolejno
Całkując powyższe równanie w pewnej objętości V o brzegu S
Równanie to interpretujemy jako:
Suma prądu wypływającego z objętości V przez jej powierzchnię brzegową
równa się ubytkowi w czasie ładunku zawartego w tej objętości
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008
17
9