Tomasz Dyrka - Ekonometryczne modele nieliniowe

Tomasz Dyrka
nr indeksu: 53255
Ekonometryczne modele nieliniowe
Praca domowa nr 5
28 listopada 2016r.
Polecenie:
1. Zapisz model LSTAR i model ESTAR, będący rozszerzeniem modelu regresji z dwoma
zmiennymi objaśniającymi i ze stałą.
2. Wyprowadź przybliżenia modelu LSTAR i modelu ESTAR przy pomocy szeregu Taylora,
odpowiednio, 3. rzędu i 2 rzędu.
3. Jak wygląda (z jakich zmiennych się składa) model regresji odpowiadający takiemu przybliżeniu?
Rozwiązanie:
1. Model AR z dwiema zmiennymi objasniającymi i stałą:
yt = α0 + αyt−1 + α2 yt−2 + t
(1)
yt = φ01 xt + (φ2 − φ1 )0 xt G(zt ; γ, c) + t
(2)
Model STR - ogólnie:
, gdzie dla modelu LSTR
G(zt ; γ, c) = [1 + e−γ(zt −c) ]−1
(3)
, natomisat dla modelu ESTR:
2
G(zt ; γ, c) = 1 − e−γ(zt −c)
(4)
Model LSTAR z dwiema zmiennymi objaśniającymi:
yt = φ1,0 + φ1,1 yt−1 + φ1,2 yt−2 +
[(φ2,0 − φ1,0 ) + (φ2,1 − φ1,1 )yt−1 + (φ2,2 − φ1,2 )yt−2 ][1 + e−γ(zt −c) ]−1 + t (5)
Model ESTAR z dwiema zmiennymi objaśniającymi:
yt = φ1,0 + φ1,1 yt−1 + φ1,2 yt−2 +
2
[(φ2,0 − φ1,0 ) + (φ2,1 − φ1,1 )yt−1 + (φ2,2 − φ1,2 )yt−2 ][1 − e−γ(zt −c) ] + t (6)
2. Wzór Taylora dany jest jako:
f (x) = f (a) +
(x − a)2 (2)
(x − a)n (n)
x − a (1)
f (a) +
f (a) + ... +
f (a) + Rn (x, a)
1!
2!
n!
(7)
Odpowiednikiem funkcji f (x) jest w przypadku modelu LSTAR G(zt ; γ, c). W rezultacie
do przybliżenia wartości funkcji za pomocą szeregu Taylora konieczne będzie wykorzystanie kolejnych pochodnych tej funkcji: σG/∂γ, ∂ 2 G/∂γ 2 , ∂ 3 G/∂γ 3 itd. w zależności od
1
wybranej dokładności przybliżenia. Punktem a, zgodnie z hipotezą zerową testu Luukkonena, Saikkonena i Terävirty, jest γ = 0.
Do przybliżania wartości przydatne będą następujące obliczenia:
G(zt ; γ, c) = [1 + e−γ(zt +c) ]−1
σG/∂γ = {[1 + e−γ(zt −c) ]−1 }0 =
= −[1 + e− γ(zt − c)]−2 [(1 + e−γ(zt −c) )0 ] =
= −[1 + e− γ(zt − c)]−2 e−γ(zt −c) {[−γ(zt − c)]0 } =
= −[1 + e− γ(zt − c)]−2 e−γ(zt −c) [−(zt − c)] =
= (zt − c)[1 + e− γ(zt − c)]−2 e−γ(zt −c)
σ 2 G/∂γ 2 = {(zt − c)[1 + e− γ(zt − c)]−2 e−γ(zt −c) }0 =
= (zt − c){e−γ(zt −c) [−(zt − c)][1 + e−γ(zt −c) ]−2 +
+ e−γ(zt −c) (−2)[1 + e−γ(zt −c) ]−3 e−γ(zt −c) [−(zt − c)]} =
= (zt − c)2 e−γ(zt −c) [1 + e−γ(zt −c) ]−2 {[1 − 2e−γ(zt −c) [1 + e−γ(zt −c) ]−1 } =
= (zt − c)2 e−γ(zt −c) [1 + e−γ(zt −c) ]−2 [1 + e−γ(zt −c) − 2e−γ(zt −c) ][1 + e−γ(zt −c) ]−1 =
= (zt − c)2 e−γ(zt −c) [1 − e−γ(zt −c) ][1 + e−γ(zt −c) ]−3
σ 3 G/∂γ 3 = (zt − c)3 eγ(zt −c) (−4eγ(zt −c) + e2γ(zt −c) + 1)[eγ(zt −c) + 1]4
(8)
W rezultacie przybliżenie wartości funkcji G szeregiem Taylora 2. rzędu wokół γ = 0
wynosi:
G(γ) = G(0) +
γ − 0 (1)
(γ − 0)2 (2)
G (0) +
G (0) + R2 (γ, 0)
1!
2!
1 1
+ γ(zt − c) + 0 + R2 (γ, 0) =
2 4
1 1
= + γ(zt − c) + R2 (γ, 0)
2 4
natomiast dla 3. rzędu:
G(γ) =
γ − 0 (1)
(γ − 0)2
(γ − 0)3 (3)
G (0) +
G(0)(2) (0) +
G (0) + R3 (γ, 0)
1!
2!
3!
1 1
1
2
G(γ) = + γ(zt − c) + 0 + · (− )γ 3 (zt − c)3 + R3 (γ, 0) =
2 4
6
12
1 1
1 3
G(γ) = + γ(zt − c) − γ (zt − c)3 + R3 (γ, 0)
2 4
48
Przybliżenia funkcji LSTAR w poblizu punktu γ = 0 wynoszą:
(dla 2. rzędu)
G(γ) = G(0) +
1 1
yt = φ01 xt + (φ2 − φ1 )0 xt [ + γ(zt − c) + R2 (γ, 0)] + t
2 4
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(dla 3. rzędu)
1 1
1
yt = φ01 xt + (φ2 − φ1 )0 xt [ + γ(zt − c) − γ 3 (zt − c)3 + R3 (γ, 0)] + t
2 4
48
(16)
Powyższe wzory można zapisać jako regresje, gdzie zmienną zależną jest yt , natomiast
zmiennymi objaśniającymi: zt , xt zt2 oraz (dla przybliżenia 3. rzędu) xt zt3 .
2
3. Po przekształceniu wzoru (15) model regresji odpowiadający przybliżeniu szeregiem Taylora drugiego rzędu wygląda następująco:
yt = β00 xt + β10 xt zt + β2 xt zt2 + et
(17)
oraz trzeciego rzędu (na podstawie wzoruu (16)):
yt = β00 xt + β10 xt zt + β20 xt zt2 + β30 xt zt3 + et
(18)
Taki model regresyjny składa się ze zmiennych będących iloczynami wektórów zmiennych
opóźnonych (xt = (1, yt−1 , yt−2 , ..., yt−p )) oraz zmiennej zt , która jest egzogeniczna dla
procesu i stanowi podstawę do ustalenia okresów występowania reżimów. Parametry β
są przekształceniami parametrów φ1 , φ2 γ i c, które powstały w wyniku przybliżania
wartości zmiennej yt za pomocą szeregu Taylora. Parametr et zawiera składnik losowy
t oraz resztę Peana ze wzoru Taylora. Dzięki takiemu przekształceniu możliwe staje się
testowanie hipotezy zerowej γ = 0 w inny sposób. Przybiera ona wtedy następującą
postać: β1 = β2 = 0, co można testować standarodwymi testami dla regresji liniowej
(np. testem Walda).
3