Nierówność Cauchy`ego

Nierówność Cauchy'ego-Schwarza
Nierówność Cauchy'ego–Schwarza – podstawowa własność iloczynu skalarnego w przestrzeni
unitarnej. Nierówność ta znana jest także pod wieloma innymi nazwami: Schwarza,
Buniakowskiego–Schwarza lub Cauchy'ego–Buniakowskiego–Schwarza.
Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy'ego,
odpowiadająca jej nierówność dla całek została przedstawiona przez Wiktora Jakowlewicza
Buniakowskiego w 1859 roku i odkryta na nowo w 1888 roku przez Hermanna Amandusa
Schwarza (którego nazwisko często mylnie podaje się jako „Schwartz”).
Nierówność
Jeżeli 〈 x , y 〉 oznacza iloczyn skalarny wektorów
nierównością Schwarza nazywa się nierówność
x, y
danej przestrzeni unitarnej
X , to
2
∣ 〈 x , y 〉∣ ⩽〈 x , x 〉 〈 y , y 〉 ,
lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność
∣〈 x , y 〉∣⩽∥ x∥⋅∥ y∥ ,
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x i y
istnieje taki skalar γ , że zachodzi x=γ y lub y=γ x .
są liniowo zależne, tzn. gdy
Przykłady
Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się
użyteczne postaci tej nierówności:
•
n
w przestrzeni euklidesowej Rn z euklidesowym iloczynem skalarnym
x⋅y=x 1 y 1+⋯x n y n otrzymuje się nierówność
2
n
n
i=1
i=1
( ∑ x i y i) ⩽( ∑ y 2i )( ∑ x 2i ) ; ∀ x , y ∈ Rn
i=1
•
w przestrzeni C [0,1] funkcji ciągłych na odcinku [0,1] z iloczynem skalarnym
danym wzorem ∫ f ( x ) g ( x )dx dostaje się
2
∣∫ f ( x )g (x) dx∣ ⩽∫∣ f ( x )∣ dx ∫∣g (x)∣ dx ;
•
2
2
dla funkcji f , g z przestrzeni L2 ( X ) całkowalnych z kwadratem iloczyn
należy do przestrzeni L1 ( X ) funkcji całkowalnych z modułem oraz
∥ fg∥1⩽∥ f ∥2∥g∥2 .
fg
Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L2 jest równoważna nierówności
Höldera dla p=q=2 . Nierówność dla Rn można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości
Lagrange'a.