Całka podwójna

Budownictwo, sem. II, studia niestacjonarne, 2008/2009.
Całka podwójna
Zadanie 1. Podać opis obszaru D, gdy:
(a) D jest obszarem ograniczonym liniami y =
√
x oraz y = x2 .
(b) D jest trójkątem o wierzchołkach A(0, 0), B(1, 1), C(1, 2).
Rozwiązanie:
(a)
1 y
D
D:




0 6 x 6 1
lub
D:


√

x2 6 y 6 x
1x




0 6 y 6 1



y 2 6 x 6 √y
(b)
2 y
D
D:
1
1




0 6 x 6 1



x 6 y 6 2x
x
Zadanie 2. Obliczyć podane całki podwójne po podanych obszarach:
ZZ
ZZ
(a1 )
dxdy,
(b1 )
dxdy,
(a2 )
ZPZ
(b2 )
xdxdy,
P
ZDZ
ydxdy,
D
gdy P = [0, 3] × [0, 4], tzn.
y
4
gdy D = 4ABC, gdzie A(0, 0), B(2, 0), C(2, 4), tzn.
y
4
P
3
D
x
2
1
x
Rozwiązanie:
(a)
y
4
P
(a1 )
(a2 )
ZZ
dxdy =
Z3
0
P


Z3
xdxdy =
0
P
P :



0 6 y 6 4
x
3
ZZ




0 6 x 6 3
(b)
Z4
0

dy  dx =
Z3 0
4 y dx =
0
Z3
(4 − 0) dx =
0
Z3
0
3
4dx = 4x0 = 12.
 4

Z
Z3 Z3
Z3
4 3
 xdy  dx =
xy 0 dx = (4x − 0) dx = 4xdx = 2x2 0 = 18.
0
0
0
0
y
4
D
D:
(b1 )
ZZ
dxdy =
(b2 )
ZZ
Z2
0
D
ydxdy =
 2x 
Z
Z2 Z2
2x 2
 dy  dx =
y 0 dx = 2xdx = x2 0 = 4.
0
Z2
0
D



0 6 y 6 2x
x
2




0 6 x 6 2


0
Z2x
0

ydy  dx =
0
Z2
0
2x !
2
Z2
x3 16
y 2 2
dx = 2x dx = 2
=
.
2 0
3 0
3
0
Zadanie 3. Obliczyć masę, momenty statyczne, środek ciężkości oraz momenty bezwładności obszaru D = [0, 1] × [0, 1]
o gęstości powierzchniowej
(i) ρ(x, y) = ρ0 = const;
(ii) ρ(x, y) = xy 2 .
Rozwiązanie:
y
1
D
D:



0 6 y 6 1
1 x
(i) Masa=M =
ZZ
D
ρ0 dxdy = ρ0




0 6 x 6 1
ZZ
D
dxdyρ0
Z1
0
 1 
Z
Z1 Z1
1
1
 dy  dx = ρ0
y 0 dx = ρ0 dx = 4x0 = ρ0 .
0
0
2
0
Momenty statyczne:


ZZ
ZZ
Z1 Z1
Z1
M SX =
yρ0 dxdy = ρ0
ydxdyρ0  ydy  dx = ρ0
D
0
D
0
1 !
1
Z1
y 2 1
1 ρ0
dx
=
ρ
dx
=
x
= .
0
2 0
2
2 0
2
0
0


1
ZZ
ZZ
Z1 Z1
Z1 Z1
x2 ρ0
1
M SY =
xρ0 dxdy = ρ0
xdxdyρ0  xdy  dx = ρ0
xy|0 dx = ρ0 xdx =
= .
2 0
2
D
0
D
0
0
0
ρ
Współrzędne środka ciężkości:
ρ
0
M SY
1
= 2 = ,
Masa
ρ0
2
xC =
0
M SX
1
= 2 = .
Masa
ρ0
2
yC =
Momenty bezwładności:


ZZ
ZZ
Z1 Z1
Z1
2
2
2
IX =
y ρ0 dxdy = ρ0
y dxdyρ0  y dy  dx = ρ0
D
0
D
0
1 !
1
Z1
y 3 ρ0
1
1 dx = ρ0
dx = x = .
3 0
3
3 0
3
0
0


1
ZZ
ZZ
Z1 Z1
Z1 Z1
x3 ρ0
2
2
2
2 1
2


IY =
x ρ0 dxdy = ρ0
x dxdyρ0
x dy dx = ρ0
x y 0 dx = ρ0 x dx =
= .
3 0
3
D
0
D
0
0
0
(ii)
Masa=
ZZ
ρ(x, y)dxdy =
D
ZZ
xy 2 dxdy =
Z1
0
D
 1

Z
Z1
 xy 2 dy  dx =
0
1 !
1
Z1
y 3 1
1 x2 1
x dx =
xdx = · = .
3 0
3
3 2 0
6
0
0
Momenty statyczne:
ZZ
D
ZZ
ZZ
ZZ
M SX =
M SY =
yρ(x, y)dxdy =
3
xy dxdy =
0
D
xρ(x, y)dxdy =
D
Z1
2 2
x y dxdy =
 1

Z1
Z
3
 xy dy  dx =
Z1
0
D
Współrzędne środka ciężkości:
0


0
Z1
0
M SY
=
Masa
xC =
1 !
1
Z1
1
1 x2 1
y 4 x dx =
xdx = · =
4 0
3
4 2 0
8

2 2
x y dy  dx =
1
8
1
6
=
2
,
3
0
Z1
0
yC =
!
1
Z1
1 2
1 x3 1
x
dx
=
x
dx
=
·
=
3 0
3
3 3 0
9
2y
3 1
M SX
=
Masa
1
9
1
6
0
=
3
.
4
Momenty bezwładności:
IX =
IY =
ZZ
D
ZZ
ZZ
ZZ
D
2
y ρ(x, y)dxdy =
4
xy dxdy =
0
D
2
x ρ(x, y)dxdy =
D
Z1
3 2
x y dxdy =


Z1
0
Z1
0


xy dy  dx =
Z1
0
4

3 2

0
x y dy  dx =
3
1 !
1
Z1
1
1 x2 1
y 5 x dx =
xdx = · =
5 0
5
5 2 0
10
Z1
0
Z1
0
!
1
Z1
1 3
1 x4 1
x
dx =
x dx = · =
3 0
3
3 4 0
12
3y
3 1
0