Algebra liniowa i geometria - tematy egzaminacyjne, lato 2015/16

Pytania na egzamin z algebry liniowej z geometrią (semestr letni, 2015/16):
1. Podaj i zilustruj przykładami definicje pierścienia i ciała.
2. Podaj i zilustruj przykładami definicje przestrzeni i podprzestrzeni liniowej
(wektorowej).
3. Podaj i zilustruj przykładami definicje przekształcenia liniowego i izomorfizmu
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
przestrzeni liniowych (wektorowych), jądra i obrazu przekształcenia liniowego.
Podaj i zilustruj przykładami definicje przestrzeni afinicznej i przekształcenia
afinicznego.
Podaj określenia liczby zespolonej, jej części rzeczywistej/urojonej i jej modułu
oraz sumy i iloczynu liczb zespolonych.
Opisz pierścień wielomianów (jednej zmiennej).
Omów zagadnienie mnożenia i potęgowania liczby zespolonych. Podaj wzory
de Moivre’a.
Omów zagadnienie pierwiastkowania liczb zespolonych. Podaj wzory
wyrażające pierwiastki n-tego stopnia z jedności.
Omów zagadnienie liniowej niezależności wektorów, pojęcie bazy i wymiaru
przestrzeni liniowej (wektorowej).
Omów zagadnienie istnienia otoczki wypukłej figury w przestrzeni afinicznej.
Omów pojęcie sympleksu w przestrzeni afinicznej.
Udowodnij poprawność (tj. niezależność od wyboru bazy) definicji wymiaru
przestrzeni liniowej (wektorowej).
Sformułuj znane Ci twierdzenia o wymiarze przestrzeni liniowych, jedno z nich
udowodnij.
Sformułuj zasadnicze twierdzenie algebry, naszkicuj jego dowód.
Podaj i zilustruj przykładem definicje iloczynu skalarnego i przestrzeni
euklidesowej.
Podaj i zilustruj przykładami definicję izometrii przestrzeni euklidesowej.
Omów zagadnienie prostopadłości w przestrzeni euklidesowej.
Omów pojęcie i własności macierzy ortogonalnych.
Omów pojęcia wartości i wektorów własnych endomorfizmu.
Omów pojęcia endomorfizmów sprzężonych, samosprzężonych,
hermitowskich.
Sformułuj i udowodnij nierówność Schwarza. Omów jej konsekwencje.
Sformułuj i udowodnij twierdzenie Schmidta o ortogonalizacji baz.
Wyprowadź wzór na objętość równoległościanu w przestrzeni euklidesowej.
Sformułuj i udowodnij twierdzenie Sylvestera o macierzach określonych
dodatnio.
Sformułuj i udowodnij twierdzenie o istnieniu wartości własnych w przypadku
zespolonym.
Sformułuj i udowodnij twierdzenie spektralne w przypadku zespolonym.
Sformułuj i naszkicuj dowód twierdzenia spektralnego w przypadku
rzeczywistym.
Sformułuj i przeanalizuj twierdzenie o postaci kanonicznej Jordana dla
macierzy.
Omów pojęcie iloczynu tensorowego przestrzeni wektorowych.
Uwagi. 1. Egzamin będzie miał charakter ustny. Każdy dostanie kartkę z trzema
pytaniami dotyczącymi powyższych zagadnień. 2. Proszę pamiętać o tym, że ze względu
na spójność matematyki, do pomyślnego zdania egzaminu w semestrze letnim potrzebna
jest wiedza z semestru zimowego, proszę więc ją sobie powtórzyć.
Życzę powodzenia w przygotowaniach i samym egzaminie.