(1) Prób {Q(xt+1) < Ql+1\Q(Xi) = fi„ fiK- J = gf

M E C H AN I K A
TEORETYCZN A
I STOSOWAN A
3, 10 (1972)
OBCIĄ Ż ENE I LOSOWE KON STRU KCJI JAKO FUNKCJA STOCHASTYCZNA
Z N IEZALEŻ N YM
I PRZYROSTAMI
JAN U SZ M U R Z E W S K I , AD AM W I N I A R Z (KRAKÓW)
Probabilistyczna teoria obcią ż eń konstrukcji jest dziedziną , która dopiero zaczyna się
formować. Stosunkowo najwię cej jest prac dotyczą cych statystycznej analizy obcią ż eń ż ywioł owych: parcia wiatru [4], falowania morskiego [8], wstrzą sów sejsmicznych [3]. Prac
dotyczą cych uż ytkowych obcią ż eń konstrukcji, w uję ciu probabilistycznym, jest niewiele.
Znane nam prace [1], [6] dotyczą koncentracji obcią ż eń ruchomych na mostach i korzystają z modeli stochastycznych ruchu drogowego lub kolejowego, które rozwija się raczej dla
potrzeb teorii tran sportu. Obcią ż enia ruchome rozpatrywane z punktu widzenia teorii
bezpieczeń stw
a konstrukcji [9] mają swoją odrę bną specyfikę i prowadzą do wielu szczególnych problemów, jak n p. kojarzenie obcią ż eń losowych, współ czynniki przecią ż enia itd.
Te szczególne zagadnienia próbuje się rozwią zywać za pomocą metod probabilistycznych,
mimo że dotą d brak adekwatnego modelu teoretycznego losowych obcią ż eń konstrukcji.
W tej pracy próbujemy zbudować model dla obcią ż eń uż ytkowych mostów i budynków,
oparty na teorii procesów stochastycznych o przyrostach niezależ nych.
P od poję ciem funkcji stochastycznej o przyrostach niezależ nych rozumiemy rodzinę
zmiennych losowych Q(x), dla których przyrosty Q(xi+1) — Q(x;) są niezależ nymi zmiennymi
losowymi dla każ dego skoń czoneg
o ukł adu xt < x2 < ... < xn [5]. Teoria funkcji stochastycznych o przyrostach niezależ nych jest ś ciśe lzwią zana z teorią funkcji stochastycznych M arkowa, których wł asnoś ci probabilistyczne w dowolnym punkcie xi+l są cał kowicie
okreś lone przez wartoś ci funkcji w punktach xi+1 i xt,i nie zależą od wartoś ci funkcji
w punktach poprzedzają cych xh czyli
(1) Prób {Q(xt+1) < Ql+1\ Q( Xi) = fi„ fiK- J = gf- i, .... fifo) = Qi] = Prob{2(A-
i+ 1
) < Qt
Obcią ż enie uż ytkowe konstrukcji potraktujemy jako funkcję stochastyczną o argumencie dyskretnym, wartoś ciach niezależ nych, jednorodną . Wł asność jednorodnoś ci polega
n a tym, że funkcja rozkł adu dla przyrostu Q(x+xQ) — Q(x0) nie zależy od x0. Każ de obcią ż enie uż ytkowe konstrukcji traktujemy jako sekwencję cię ż arów skupionych dział ają cych
w punktach xx < x2 < • • • < x„ i to mamy na myś i l mówią c o argumencie dyskretnym.
D otychczasowe metody wyznaczania najbardziej niekorzystnych oddział ywań w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych i statycznie niewyznaczalnych polegają na zał oż eniu,
że obcią ż enie uż ytkowe dział a n a te elementy konstrukcji, dla których linie wpł ywowe są
tego samego znaku (rys. 1).
J . MUB.ZEWSKI, A. WlN I AR Z
442
Wedł ug wprowadzonej ostatnio do norm projektowania metody stanów granicznych
obcią ż enie nominalne (obliczeniowe) jest iloczynem obcią ż enia normowego, które w zasadzie przyjmuje się równe ś redniej g i współ czynnika przecią ż enia a wedł ug wzorów
(2) " g M m = 8 • a = 1(1 + tavg) = g+ ta.(igi
gdzie a współ czynnik przecią ż enia, va — współ czynnik zmiennoś ci, pg — odchylenie
standardowe, ta współ czynnik tolerancji.
Qabl
i X
Rys. 1
Jeś i obcią
l
ż enie losowe g ma rozkł ad normalny, to współ czynnik tolerancji ta jest kwantył em
standaryzowanym rozkł adu G aussa, czyli wartoś cią funkcji odwrotnej do dystrybuanty
G aussa dla danego prawdopodobień stw
a co.
Rys. 2
Są próby zastosowania teorii stacjonarnych funkcji stochastycznych do analizy obcią ż eń.
Pierwszy z autorów [9] zał oż ył nastę pują cą postać .funkcji autokorelacyjnej obcią ż enia
(3) e]
x 1
K{x- x') m iĄ e- *- '
i obliczył moment zginają cy jako cał kę stochastyczną
(4)
= / g(x)y(x)dx,
której wagami są rzę dne linii wpł ywowej momentu zginają cego dla belki cią głej wedł ug
rys. 2. Cał ka stochastyczna (4) jest stosowana w sensie ITO [11].
Parametr c ma wymiar odwrotny do dł ugoś ci i może być zapisany jako - j, gdzie y jest
OBCIĄ Ż ENE I LOSOWE KON STRU KCJI 443
bezwymiarowym współ czynnikiem, a / — rozpię toś cią przę sł a. W skrajnych przypadkach
y - > oo i y - * 0, funkcja autokorelacyjna obcią ż enia degeneruje się . G dy y - » oo, to obcią ż enie stabilizuje się n a poziomie gAl dla każ dego skoń czoneg
o odcinka Al, wobec czego
intensywność obcią ż enia moż na przyjmować jako w peł ni okreś loną wielkoś ć, stał ą na cał ej
dł ugoś ci belki. G dy y - > 0, to intensywność obcią ż enia g jest również jednostajna na cał ej
dł ugoś ci belki, ale jest zmienną losową dla róż nych belek, o wartoś ci oczekiwanej g i wariancji ft*. Przy podejś ciu tradycyjnym zakł ada się , że obcią ż enia są w peł ni skorelowane
le
ugoś ci gał ę zi linii wpł ywo(czyli y ~* 0), ale tylko na dł ugoś ci jednego przę sł a /, a ś ciś j na dł
wej jednego znaku, a poza tym są niezależ ne. Tak wię c zarówno w tradycyjnym uję ciu, jak
również w proponowanym analitycznym sformuł owaniu autokorelacji obcią ż enia (3) tkwi
c
od rozpię toś ci / .
przypuszczenie ojej wzglę dnym charakterze, tzn. o zależ nośi autokorelacji Przykł adowo dla c = 1//, korzystają c z równań linii wpł ywowej dla belki dwuprzę sł owej
liniowo- sprę ż ystej
V (5) /
y(x) - < !(/ - .
dla Q 7 2 L '
*•
|
Kx<2J,
*
wyznacza się parametry rozkł adu prawdopodobień stw i wartość obliczeniową momentu
zginają cego, jak nastę puje:
21
M- gf v(x)dx = 0,
o
21 21
(6) MM = / / o o
y(x)y(x')K(x- x')dxdx',
HM m 0,061/ ł g/ 2,
M m 2
2
= 0,070 | / + 0, 061/ „ A*«^ -
W p r zyp a d ka c h gran iczn ych , gd y c - >• oo i c - y 0, otrzym ujem y d la c - > oo
fiit- tO. (7) MZ = 0,070g/ 2,
dla C - + 0
2
^ - * 0,070^ fl/ , 2
A Q - 0,070gobl/ .
Przy zastosowaniu metody konwencjonalnej wartość M nam = 0,096 goUP znacznie wybiega
poza omawiany przedział .
Rozbież nośi te budzą
c
zastrzeż enia odnoś nie do stosowania omawianej metody, dlatego
w obecnej pracy proponujemy nowy model probabilistyczny dla wyznaczania maksymalnych obcią ż eń, który by dał wyniki bardziej zbliż one do konwencjonalnych rozwią zań.
Rozważ amy najpierw sekwencję cię ż arów losowych G (rys. 3), stochastycznie niezależnych, dział ają cych n a konstrukcję w odstę pach stał ych Ax = const, przy czym oczywiś cie
może być G = 0.
444
J . MU RZEWSKI, A . WlN IARZ
Ponieważ zał oż yliś my
, że obcią ż enia Gt są niezależ ne, a pon adto speł niają pozostał e
zał oż enia centralnego twierdzenia granicznego rachunku prawdopodobień stw
a (skoń czona
wartość ś rednia i skoń czona wariancja) [5], wobec tego moment zginają cy
(8)
ma rozkł ad asymptotycznie normalny o parametrach
Ax
J
(9)
/
2
to]/ Jy (x)dxl?.,
V 1
A =
1
Ax •
Obliczenia oparte na rozkł adach asymptotycznych dają dokł adne wyniki wówczas,
gdy rozpię tość belki / jest bardzo duża w porównaniu z elementarnym odstę pem Ax.
Rys. 3
Rys. 4
Przykł adowo dla belki jednoprzę sł owej (rys. 4) parametry (9) rozkł adu dla momentu
zginają cego wynoszą odpowiednio
l
hit/
~ 4 y u -
(10)
Przyjmują c współ czynnik tolerancji ta = 3 oraz współ czynnik zmiennoś ci v = 0,067 porównujemy obliczenia uzyskane przy zastosowaniu omawianej metody i metody konwencjonalnej
( U ) M om=^
Traktują c parametr X jako stał ą cechę otrzymujemy nastę pują cy wniosek:
(12) MB
M n o m dla
1 Xl
445
OBC IĄ Ż EN
E I LOSOWE KON STRU KCJI
W przypadku belki dwuprzę sł owej (rys. 5) rozkł ad przę sł owego momentu zginają ceg
o ma
parametry
M = 0,070g/ 2, (13) fjtM o O . l l ^
a wartoś ci momentów obliczeniowych i «rozpię tość przeł omowa» l0 wynoszą
2
= 0,070g72
(14)
= 1,2 • 0,070g/ 2, l0 = - ^
Podobnie w przypadku belki trójprzę sł owej (rys. 6) mamy
(15) 2
M 0 M = 0,078gWl + ^ | _ - j , M nom = 1,2 • 0,078g7 , /„ . J^- .
Rozkł ad prawdopodobień stw cię ż aró
w losowych G nie jest cią gły gdyż nie moż na
pominą ć, realistycznie rzecz biorą c, skoń czoneg
o prawdopodobień stw
a q braku obcią ż eni
a
(tzn. G = 0) (rys. 7).
i 1/2 . I
! 1/ 2
Rys. 5
Rys. 6
F(G)
ptp(G)
\ Vi- vA
Gi
R ys. 7
G ę stość rozkł adu wyraża się więc wzorem
(16) f(G) = qd(G)+p<p(G),
gdzie d(G) — dystrybucja D iraca, p + q = 1, (p(Gi) — gę stość warunkowa dla Gt =£ 0,
a parametry rozkł adu wynoszą
G = pGi = gAx, fi = 1 |/ i' ( ?+ o i 2 ) ^ ł i w =
P
gdzie G; ,z>; — param etry rozkł adu realnych (niezerowych) cię ż arów
.
G ę stość rozkł adu <p(G) niekoniecznie musi być normalna. Może być to n p. funkcja
rozkł adu gamma lub inna — niesymetryczna, a nawet funkcja rozkł adu wielomodalna.
Ta ostatnia wystę puje n p. w przypadku obcią ż eni
a niezbyt dł ugich mostów samochodami
osobowymi lub cię ż arowym
i o bardzo róż nych cię ż arach
.
7 M echanika Teoretyczna
446 J. MURZEWSKI, A. WIN IARZ
W dotychczasowych rozważ aniach zakł adaliś my, że Ax = const. Obecnie potraktujemy
odstę p mię dzy cię ż arami Ax — t jako losowy i wyprowadzimy rozkł ad prawdopodobień stw
dla zastę pczego obcią ż enia^ = G/ 't, korzystają c z niezależ nośi czmiennych losowych G i t.
N a mocy twierdzeń dotyczą cych rozkł adu ilorazu zmiennych losowych niezależ nych [7]
mamy
f(g) = qó(g)+pj <p(gt)f(t) tdt,
o
gdzie f(t) — gę stość prawdopodobień stw odstę pów pojedynczych obcią ż eń, t
Ogólnie moż emy tu rozróż nić 3 typy strumieni obcią ż eń:
1) / (O = he~ xt — Poissona,
(17) (18) 2) / ( O =
3) f(t) = 6(t—Ax) —P alm a (rozważ any poprzednio),
gdzie obecnie A = —.
t
Pierwszy i trzeci typ strumienia są to szczególne przypadki strumienia Erlanga, a to
odpowiednio dla k = 1 i k = oo.
W przypadku strumienia poissonowskiego otrzymujemy
00
x
(19) f{g) - qd(g)+X J e- '<p(gt)tdt,
o
w czym rozpoznajemy transformację Laplace'a funkcji ę (gt)t [10]. Postać wzoru (19)
pozwala na szerokie jego stosowanie ze wzglę du na rozpowszechnione tablice transformat
Laplace'a [2]. I tak, w przypadku gdy rozkł ad warunkowy (p(Gt) jest normalny o parametrach N(Gi, / ni) mamy
(20)
gdzie
00
= A _ Ą , Erfc(x) - - L - f e-d »2du.
s
g (4 yn {
Prostszy rozkł ad otrzymujemy w przypadku, gdy rozkł ad (p(Gt) jest typu gamma
Mamy wówczas
(22)
W celu wyznaczenia wystę pują cego we wzorze (16) prawdopodobień stwa^ zanalizujemy
bliż ej zagadnienie przerw mię dzy sekwencjami obcią ż eń.
OBCIĄ Ż EN
E I LOSOWE KON STRU KCJI 447
Losowa liczba brakują cych sił w przerwie mię dzy grupami cię ż aró
w podlega rozkł adowi
geometrycznemu
1
P(n) = q"- p, (23) «- —.
Wyprowadzimy rozkł ad prawdopodobień stw f(Al) przerwy w obcią ż eni
u korzystając
z zależ nośi c
00
(24) RAI) = £f(Alln)P(n)
n = \
i z faktu, że w przypadku strumienia poissonowskiego f(t) rozkł ad warunkowy f(Al\ ń )
jest typu gamma.
Mamy więc
(25)
^
Stąd i z (24) wynika
(26) f(Al) = pke- ^K
Rozkł ad (26) jest typu wykł adniczego o wartoś ci ś redniej Al = —*- , co pozwala wyznaczyć
pA
prawdopodobień stw
o p — — = - = - = z pomiarów ś redniego gabarytu pojedynczego obcią ż eni
a i ś redniej przerwy mię dzy obcią ż eniami
. Podobnie w przypadku strumienia Erlanga
mamy
(27) f(A l/ ń m ) j ^ — (A If*- le~ Xń ,l
stąd warunkowa wartość ś rednia
Al « —
Tym razem na mocy relacji mię dzy wartoś cią ś rednią warunkową i bezwarunkową otrzymujemy
(28)
Al-
k
pl
t
a więc
(29)
k
7
*- > a *,„
bowiem dla rozkł adu Erlanga
k = v72, A = r 1 .
Powyż sze rozważ ania wskazują, że znajomość statystyk: Gu w,; t,vt;Al w peł ni pozwala
wyznaczyć wszystkie parametry omawianego modelu probabilistycznego.
7*
448 J. MU RZEWSKT, A. WlKlARZ
Przypuszczamy, że przedstawiona teoria probabilistyczna pozwoli wytł umaczyć efekty
takie, jak redukcja maksymalnych obcią ż e
ń szkieletów wielokondygnacyjnych, specjalne
reguł y obcią ż eni
a mostów wieloprzę sł owych itd., które w tradycyjnej metodzie wymiarowania uwzglę dniano w sposób intuicyjny, umownymi przepisam i.
Literatura cytoivana w tekś cie
1. O. ASPLU N D , Probabilities of traffic loads on bridges, ASCE P r o c , Vol. 81, Sep. 585, Jan . 1955.
2. H . BATEMAN, Tables of integral transforms, vol. 1, N . York 1954, (tł um. ros., wyd. N auka, M oskwa 1969).
3. B. B. BOJIOTHH, npiiMciiemie cmamucmtmecRux Memodoe b/ in oueumi npomiocmu Kommpymfuu npu
ceiicMimecKux eo3deucmeunx, HHH- C. CGoptiHK, T . 27, M3fl. AH C C C P , 19S9.
4. E. COMELLINI, C. M AN U ZIO, Rational determination of design loadings for overhead line towers, International Conference on Large H igh Tension Electric Systems, N o 23- 08, Jun e 1968.
5. W. FELLER, W stę p do rachunku prawdopodobień stwa,
1.1 i I I , PWN , Warszawa 1969.
6. J. FERRY BORGES, Dynamic loads, G eneral Report on theme VI, VI I I Congress International Association
for Bridge and Structural Engineering, N . York 1968.
7. I, KOTLARSKI, Rachunek prawdopodobień stwa
dla inż ynierów, WN T, Warszawa 1966.
8. E. V. LEWIS, Predicting long- term distributions of wave induced bending moment on ship hulls, The Society of N aval Architects and M arine Engineers, N o 6, July 1967.
9. J. MURZEWSKI, Bezpieczeń stwo
konstrukcji budowlanych, Arkady, Warszawa 1970.
10. J. OSIOWSKI, Zarys rachunku operatorowego, WN T, Warszawa 1965.
11. P . JI . CTPATOHOBIM, ycjioeuue MapKoeaaie npoą eccu u ux npUMenenun K meopuu onmuMa/ ibnoso ynpasjienusi, H3fl. MOCKOBCKOFO yroreepcuTeTa, MocKsa 1966.
P e 3 ro M e
C JiyH ABH Afl H Ar P Y3K A C OOP y> KEH H H KAK C Jiy^I Afł H Afl O yH K L I H fl
C H E 3ABH C H M L I M H I TP H P AI I I EH H flM H
M3rH 6aiomne MOMeHTti ^JI H yn p yr a x 6anoK [8] 3aBncHT jiHHeHiio OT nocneflOBaTeJitHocTH cjiyHafitibix
Harpy3OK Gt Ha GajiKe., n pn ^ew Bnarme onpeneneHHMMW KO3CpcbHu,neHTaMH j>t HBJIHIOTCH opflHHaTM
BUHHHHH H 3rH 6aiomero MoivieHTa. JIJIH 3KBHBajieHTHMX pacnpeflene'H H bix narpy30K g(x) on penapameTpu pacnpefleneH H n nepoHTHOCTeii ii3rH 6aiomero MOMenTa. n p u BbiBo^e pacnpefleBepoHTHocm narpy3i<n g(x) cn epoa npeflnonaraeTCH nocTOHHHwe paccTOHHHn Ax,
CTOxacTiwecKH He3aBncHMWMn Harpy3i<aMH G, a 3aTeM cjiyqattuwe paccTOJimin t.
Harpy3i<n ((? = 0) .
Summary
RAN D OM LOAD OF STRU CTU RES AS A STOCH ASTIC F U N C TI ON WITH IN D EPEN D EN T
IN CREM EN TS
The bending moments for elastic beams (8) depend linearly on the sequence of random gravity loads
Gi acting on the beam, and the deterministic factors yt are the ordinates of an influence line for the bending moment. The parameters of probability distribution for the bending moment are defined for an equivalent uniformly distributed load g(x). Constant distance Ax for stochastically independent loads G are
initially assumed, and then — a random variable distance / is prescribed for the derivation of the probability distribution of the load g(x). A finite probability q of n o loading (G = 0) is taken under consideration.
P OLITECH N IKA KRAKOWSKA
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 19 lipca 1971 r.
M E C H AN I K A
TEORETYCZN A
I STOSOWAN A
3, 10 (1972)
OPTYMALIZACJA WŁAŚ CIWOŚ I CDYNAMICZNYCH
N APĘ DU GŁÓWNEGO OBRABIARKI
JAN U SZ B A R A N , KRZYSZTOF M A R C H E L E K (SZCZECIN )
Procesy dynamiczne zachodzą ce w napę dzie gł ównym obrabiarki w czasie jego rozruchu
i hamowania, a także podczas skrawania, wywierają istotny wpł yw na trwał ość i ż ywotność
elementów obrabiarki oraz na takie wskaź niki technologiczne, jak chropowatość powierzchchni obrobionej i trwał ość ostrza narzę dzia skrawają cego. N a podstawie obserwacji pracy
napę dów obrabiarek w warunkach przemysł owych stwierdzono, że najczę stszym uszkodzeniom ulegają podczas rozruchu i hamowania napę dy nie zawierają ce sprzę gieł . Zachodzą ce w takich napę dach procesy przejś ciowe, wywoł ane wł ą czeniem silnika napę dzają cego,
charakteryzują się duż ym przeregulowaniem odpowiedzi skokowej i znacznym czasem
trwania.
Przeprowadzone przez WEJCA [1] na matematycznej maszynie analogowej badania
procesów przejś ciowych zachodzą cych w napę dzie gł ównym wykazał y, że jednym z podstawowych wskaź ników jakoś ci dynamicznej napę du jest stosunek T EjT M , gdzie: T E —
elektromagnetyczna stał a czasowa silnika, T M — elektromechaniczna stał a czasowa silnika.
Im wię ksza jest wartość T EjT M , tym silniejszy jest wpł yw procesów przejś ciowych przebiegają cych w silniku elektrycznym n a procesy dynamiczne zachodzą ce w napę dzie gł ównym.
R I WI N [2] wykazał , że przebieg procesów przejś ciowych zachodzą cych przy rozruchu
i hamowaniu zależy od parametrów opisują cych model fizyczny napę du gł ównego.
Zależ ność wskaź ników procesu przejś ciowego od parametrów opisują cych model
napę du gł ównego obrabiarki jest bardzo zł oż ona. Trudno jest zatem wprost okreś lić
optymalne wartoś ci param etrów opisują cych, które gwarantował yby osią gnię cie eksperymentalnych wartoś ci wskaź ników jakoś ci dynamicznej napę du. D ysponują c odpowiednio
dokł adnym modelem matematycznym napę du gł ównego moż na, stosują c metody optymalizacyjne, wyznaczyć także wartoś ci parametrów opisują cych, przy których speł nione
bę dą zał oż one kryteria. Ogólnie biorą c, optymalizacja napę du gł ównego obrabiarki
powinna być optymalizacją wielokryterialną , uwzglę dniają cą zarówno wskaź niki techniczne
(sztywność technologiczna, zapas stabilnoś ci, cię ż ar, wymiary itp.), jak i wskaź niki ekonomiczne (wydajność urzą dzenia, koszty budowy i eksploatacji itp.). W literaturze dotyczą cej
obrabiarek spotkać moż na prace na temat optymalizacji konstrukcji, n p. w pracy [3]
omówiono zagadnienia optymalizacji konstrukcji obrabiarek ze wzglę du na wskaź niki
ekonomiczne. Brak jest natom iast opracowań metod optymalizacji wł aś ciwoś i cdynamicznych obrabiarek i zespoł ów obrabiarkowych.
W rozpatrywanym przypadku optymalizacja został a przeprowadzona pod ką tem
polepszenia jakoś ci przebiegu procesów przejś ciowych w zależ nośi cod parametrów opi-
450
J. BARAN, K. MARCHELEK
sują cych model. Jest to zatem optymalizacja jednokryterialna. Przebieg procesów przejś ciowych jest zwią zany z takimi wskaź nikami, jak czas jego trwania wartość «przeregulowania»
odpowiedzi skokowej ukł adu itp. Wskaź niki te ś ciśe lsą zwią zane z innymi wskaź nikami
jakoś ci dynamicznej, jak stopień i zapas stabilnoś ci, reakcja ukł adu na wymuszenie zewnę trzne.
Optymalizację dynamicznego ukł adu napę du gł ównego przeprowadzić moż na dla
przypadku biegu jał owego oraz dla skrawania. U kł ad dynamiczny napę du gł ównego
obrabiarki przedstawić moż na za pomocą schematu blokowego (rys. 1). Schemat ten
opisuje przypadek skrawania. D la biegu jał owego schemat blokowy ukł adu dynamicznego
upraszcza się (rys. 2), nie wystę puje bowiem czł on «proces skrawania» i sprzę ż enie zwrotne
» i «proces skrawania».
mię dzy czł onami «ukł ad masowo- sprę ż ysty
Zastę pczy ukł ad
masowo- sprę ż ysty
Zastę pczy ukł ad
masowo- sprę ż ysty
napę du obrabiarki
Waistwa skrawana
(Proces skrawania)
m
yft)
Rys. \ . Schemat blokowy zamknię tego ukł adu
dynamicznego napę du obrabiarki
Rys. 2. Schemat blokowy ukł adu dynamicznego
napę du gł ównego biegu jał owego
Ponieważ procesy przejś ciowe odgrywają dominują cą rolę przy rozruchu i hamowaniu
napę du, optymalizację ukł adu dynamicznego napę du gł ównego należy przede wszystkim
prowadzić pod ką tem ich polepszenia. Oczywiste jest, że uzyska się także polepszenie
wskaź ników procesów dynamicznych zachodzą cych w czasie skrawania; przede wszystkim
wzroś nie stopień i zapas stabilnoś ci.
Wł asnoś ci dynamiczne ukł adu dynamicznego pokazanego na rys. 2 opisuje zależ ność
m a sygnał em wejś ciowym [4]
mię dzy sygnałem wyjś ciowy
( 0 <p(t) = G[W, M t(t)],
gdzie
cp(t) — sygnał wyjś ciowy
, M z{t) — sygnał wejś ciowy, W — funkcja przejś cia czł onu.
W najogólniejszym przypadku napę d obrabiarki jest ukł adem bardzo zł oż onym pod
wzglę dem dynamicznym. Jest to ukł ad nieliniowy, o nieskoń czone
j liczbie stopni swobody,
o masach i wł aś ciwoś ciac
h sprę ż ystych rozł oż onych w sposób cią gł y. W dynamicznym
ukł adzie napę du gł ównego obrabiarki wystę pują sprzę ż enia wewnę trzne mię dzy drganiami
skrę tnymi i poprzecznymi. Optymalizacja wł asnoś ci dynamicznych tak zł oż oneg
o ukł adu
jest zagadnieniem trudnym.
N a podstawie licznych badań [2, 4] wykazano, że z duż ym powodzeniem ukł ad dynamiczny napę du gł ównego obrabiarki aproksymować moż na modelem liniowym. Liniowe
przybliż enie pozwala przeanalizować znaczną czę ść praktycznie waż nych zjawisk i stanowi
bazę do dalszego badania ukł adów bardziej zł oż onych. Liniowy model mechaniczny ukł adu
przedstawiono na rys. 3. Model matematyczny napę du gł ównego frezarki stanowi ukł ad
451
OP TYM ALI Z AC JA WŁASN OŚ CI D YN AM ICZN YCH
liniowy równań róż niczkowych zwyczajnych nastę pują cej postaci:
Ji<Pi+hl(q>1- q>2)+k 1((p1- (p2) (2) m M{t),
J2f2- hi(spi.- q>^+h2(ip2- <pz)- k i.((pl- (p2)+k 2((pi- ę 3) = 0,
Ostatnie z równań ukł adu (2) jest równaniem ruchu silnika napę dzają cego [4].
Jako funkcję celu (odległ oś ci) w procedurze optymalizacji przebiegu procesu przejś ciowego w napę dzie gł ównym obrabiarki przyję to: przeregulowanie odpowiedzi skokowej
Mzft)
Rys. 3. U kł ad dyskretny napę du głównego frezarki
ukł adu Ahx i czas trawania procesu przejś ciowego tn dla współ rzę dnej ę t opisują cej ką t
skrę cenia napę du mierzony n a wrzecionie. Wł aś ciwie są to dwie funkcje celu sprzę ż one
pomię dzy sobą param etram i ukł adu. Wyznaczenie tych funkcji w postaci pewnego zwią zku
matematycznego parametrów napę du gł ównego obrabiarki jest praktycznie niemoż liwe,
dlatego do badań optymalizacyjnych zastosowano zmodyfikowaną metodę reaksacyjną .
W metodzie tej procedurę optymalizacji rozpoczyna się od zmiany tylko jednego parametru, podczas gdy inne są utrzymywane n a poziomie stał ej wartoś ci. Stosują c ją osią ga
się ten sam wynik, jak przy innych metodach, jest ona natomiast ł atwiejsza do zrealizowania na maszynie analogowej. P arametr ulega zmianie aż do chwili osią gnię cia minimum
lokalnego. Operację iteracyjną stosuje się dla każ dego z parametrów zmiennych do chwili
osią gnię cia przez ten param etr minimum. Proces minimalizacji moż na ograniczyć do mniejszej liczby kroków, przechodzą c do nastę pnego parametru już wówczas, gdy minimum
lokalnego nie osią gnię to przy zał oż onej liczbie kroków.
M>i(t)
hz "* h3
Rys. 4. Ukł ad masowo- sprę ż ysty z tł umieniem wiskotycznym o trzech stopniach swobody
M etody gradientowe mają jedną niekorzystną cechę . Jeż eli istnieje kilka ekstremów
(minimów) i jeż eli się osią gnie jedno z minimów, t o nie moż na gwarantować, że rozwią zanie uzyskane n a maszynie zbliży się wł aś nie do tego minimum, ponieważ rozwią zanie
zadania rozpoczę ł a maszyna od dowolnego zbioru wartoś ci parametrów.
452 J. BAR AN , K. M AR C H E LE K
Wadę zastosowanej metody usunię o t w ten sposób, że na koń u
c procesu optymalizacji
sprawdzono, czy istnieją inne minima lokalne. Wyniki był y negatywne, co oznacza, że
w zał oż onych granicach zmian parametrów istniał o tylko jedn o minimum lokalne.
Procedurę optymalizacji napę du gł ównego obrabiarki przeprowadzono na maszynie
analogowej ELWAT- 1. Ze wzglę du na ograniczoną pojemność operacyjną uż ytej maszyny
model mechaniczny napę du gł ównego obrabiarki należy zredukować do trzech stopni swobody. Redukcji stopni swobody dokonano za pomocą zmodyfikowanej metody RIWIN A
[6]. M odel mechaniczny napę du gł ównego frezarki przedstawiono na rys. 4.
Model ten opisany jest ukł adem równań róż niczkowych zwyczajnych:
(p2) = M(3) ł
J2 P2- h1{<pi- q>2) + h2(<p2- <pi)- ki((pi.- cp2) Jrk2((p2- cpi) = 0,
= 0.
Jako funkcję wejś cia przyję o t skok jednostkowy (funkcja H eaviside'a), Równania (3)
przekształ cono w postać bezwymiarową
L ~ 92.) = ?W ' I (.tj ,
(4) nlf2~2£ 2ni[ai(tyi~y2)~(y>2~<P3)]+[~~Pi( <Pi~ (P2) H
+ ( (p2 — <P3)] — 0>
2 <p3 "" 2f3«2 [K2 ($2 ~(pz)~ ^3] + [ ~ ft 2 ($2 ~ fi) + Vi] = 0 •
W równaniach (4) wprowadzono nastę pują e c oznaczenia:
t (5) /j /j
i
« i Jc
2
^= 7 T= > «.- *- . 7- - - P- .
«3 "i 1
* a ' n
2y J2k 2 I 3 =
2 | / / 3 / c 3 ' P
i
2
2
- T 3'
p r z y c z ym
£i r
_ - i / J2 T
_ - . / Ą
oraz przyję o t skalę czasu w postaci tzw. czasu bezwymiarowego
T=
(6)
4T'
gdzie T —• czas maszynowy (bezwymiarowy), t — czas rzeczywisty.
Model analogowy napę du gł ównego obrabiarki przedstawiono na rys. 5.
Stosując metody analizy wymiarowej stwierdzono, że dwa parametry bezwymiarowe
są zależ ne, tzn. są funkcją pozostał ych parametrów.
(7) 1
a x = - z —, v.2 = ~£- —nx.
OP TYM ALI Z AC JA WŁ ASN OŚ CI D YN AM ICZN YCH
453
Współ czynniki te charakteryzują sprzę ż eni
a dysypacyjne w ukł adzie, a ich wpł yw
na jakość przebiegu procesów przejś ciowych jest minimalny (mieś ci się w granicach bł ę du
pracy maszyny analogowej).
Parametry podlegają ce optymalizacji, tj. f t , £ 2 , f3, / 3X, / ?2, — , — nie mogą zmieniać
się dowolnie. N ał oż one są na nie ograniczenia wynikają ce z prawidł owego funkcjonowania
obiektu. G ranice dopuszczalnych zmian przyję o t w sposób nastę pują cy
:
— dla współ czynników wzglę dnego tł umienia za maksymalną wartość przyję o t £ m a x =
= 0,4- 0,5. Odpowiada to takiemu stopniowi dysypacji energii mechanicznej, jaki zapewnić
mogą tarciowe tł umiki drgań [5],
— dla współ czynników / 8i, / S2. — > — przyję o t zmianę w dół w zakresie 50% wartoś ci
«i n2
nominalnej i w górę, w zakresie 100% wartoś ci nominalnej.
100
Pr
Rys. 5. Model analogowy napę du gł ównego obrabiarki
M oż na przypuszczać, że zmiana parametrów w tak okreś lonych granicach gwarantuje
uzyskanie wartoś ci optymalnej, moż liwej do praktycznej realizacji. Współ czynniki te mają
wpł yw na modulację przebiegu w zależ nośi cod dominacji pierwszej lub kolejnej czę stotliwoś ci ukł adu. Podlegają ce optymalizacji parametry J ; , hi oraz k t (lub ich kombinacje
bezwymiarowe) traktować moż na jako zmienne losowe. Wynika to stą d, że optymalizacji
454
J. BARAN, K. MARCHELEK
podlegają parametry zredukowane np. na wrzeciono. U zyskane na tej podstawie tzw.
parametry bezwzglę dne mają dla każ dej prę dkoś ci obrotowej napę du inne wartoś ci optymalne. Ponieważ napę d moż na zrealizować konstrukcyjnie tylko dla jednego zbioru parametrów bezwzglę dnych, zastosowano do tego celu prawa rachunku prawdopobień stw
a
i statystyki matematycznej. Wyznaczyć moż na w ten sposób najbardziej prawdopodobne
bezwzglę dne parametry.
Opierają c się na niecentralnej statystyce [7] stwierdzono, że powyż ej liczby prób n — 5
dla prawdopodobień stw
a p = 95% dokł adność uzyskanych wyników roś nie bardzo wolno.
Z tego wzglę du przyję to do optymalizacji pię ć prę dkoś ci obrotowych napę du gł ównego.
N a podstawie uzyskanych danych prę dkoś ci obrotowych parametrów optymalnych wyzznaczono najbardziej prawdopodobne parametry bezwzglę dne.
N a podstawie analizy wykresu przeł oż eń napę du gł ównego frezarki F WH 25 do badań
wytypowano nastę pują ce ł ań cuchy kinematyczne:
1. n = 45 obr/ min — zakres wolnoobrotowy,
2. n = 180 obr/ min |
• zakres ś rednioobrotowy,
3. n = 560 obr/ min I
4. n = 900 obr/ min 1 , ,
n«^A i i • i—za kr e s wysokoobrotowy.
5. n = 2240 obr/ min J
Prę dkoś ci obrotowe są tak dobrane, że w sposób wystarczają cy charakteryzują wł aściwoś ci dynamiczne napę du gł ównego frezarki. Parametry charakteryzują ce ukł ad przed
optymalizacją i ukł ad po optymalizacji podan o odpowiednio w tabl. 1 i tabl. 2 (jako przyTablica 1. Parametry modelu mechanicznego — układ przed optymalizacją
Frezarka FWH 25; n = 560 obr/ min
k
h
2
[kGmsek ]
h
[kGmsek]
[kGm/ rad]
13,204 • 10- '
0,184
1,12- 103
3,654 • 10- '
0,051
0,75 • 10'
0,095
0,171 • 10
23,092 • 10-
3
3
Tablica 2. Parametry modelu mechanicznego — układ po optymalizacji
Frezarka FWH 25; n = 560 obr/ min
h
h
2
h
[kGmsek]
[kGm/rad]
13,20 • 10"'
0,384
1,12- 10'
5,4 • 10"'
0,245
1,12- 10'
74,6 • 10- '
3,66
0,281 • 10'
[kGmsek ]