#04 Ukaady ze sprząeczeniem zwrotnym, przesuwanie biegunów

#04
Uk÷
ady ze sprze¾z·eniem zwrotnym, przesuwanie biegunów
Statyczne sprze¾z·enie zwrotne od wyjścia
v
x' = Ax + bu
u
G
y
y = cT x
−
F
u =
F y + Gv =
x0 = Ax + b
F cT x + Gv
F cT x + Gv = A
bF cT x + bGv
Opis uk÷
adu zamkni¾
etego (o wejściu v)
x0 = Az x + Bz v
gdzie
Az = A
bF cT ,
y = cT x
Bz = bG
Sformu÷
owanie zadania przesuwania biegunów za pomoca¾
sprze¾z·enia zwrotnego od wyjścia
Dane sa¾A; b i c oraz poz·adany
¾
wielomian charakterystyczny uk÷
adu zamkni¾
etego
wz (s) = sn + dn 1sn 1 + ::: + d1s + d0
Wyznaczyć macierz F taka,¾ z·e
det (sI
Az ) = det sI
A + bF cT
= wz (s)
Statyczne sprze¾z·enie zwrotne od stanu
v
G
x' = Ax + bu
u
y
y = cT x
−
x
K
u = Kx + Gv
x0 = Ax + b ( Kx + Gv) = (A
bK) x + bGv
Opis uk÷
adu zamkni¾
etego (o wejściu v)
x0 = Az x + Bz v
y = cT x
gdzie
Az = A
bK,
Bz = bG
Sformu÷
owanie zadania przesuwania biegunów za pomoca¾
sprze¾z·enia zwrotnego od stanu
Dane sa¾A i c oraz poz·adany
¾
wielomian charakterystyczny uk÷
adu zamkni¾
etego
wz (s) = sn + dn 1sn 1 + ::: + d1s + d0
Wyznaczyć macierz K taka,¾ z·e
det (sI
Az ) = det (sI
A + bK) = wz (s)
(1)
Rozwiazanie
¾
Lemat 1 Je·zeli para A; b ma
2
0
1
...
6 ..
A=6
4 0
a0 a1
posta´c kanoniczna¾
3
2 3
0
6 .. 7
7
b=6
405
1
7
7,
5
1
ak 1
to macierz K spe÷niajaca
¾ (1) ma posta´c
K = [d0
a0; d1
a1; :::; dn 1
an 1 ]
(2)
Przekszta÷
cenie opisu systemu sterowalnego do postaci
kanonicznej (gdy para (A; b) nie jest w postaci kanonicznej)
Odpowiednia macierz podobieństwa ma postać
3
2
p
6 pA 7 gdzie p jest ostatnim (n-tym) wierszem
7,
P =6
.
4 . 5 macierzy odwrotnej [b; Ab; :::; An 1b] 1
pAn 1
Wtedy para (P AP 1; P b) jest opisem kanonicznym tego samego systemu.
Lemat 2 Je·zeli para (A; b) jest sterowalna, to macierz K spe÷niajaca
¾ (1)
ma posta´c
K = [d0 a0; d1 a1; :::; dn 1 an 1]P
Przyk÷
ad
1 1
1
Dla uk÷
adu o macierzach A =
oraz b =
wyznaczyć macierz
0 1
1
sprz¾
ez·enia zwrotnego od stanu K 2 R1;2 taka¾ z·e uk÷
ad zamkni¾
ety bedzie
¾
mia÷bieguny równe s1 = s2 = 2.
Rozwiazanie
¾
Poz·adany
¾
wielomian charakterystyczny uk÷
adu zamkni¾
etego ma postać
wz (s) = (s
s2) = (s + 2)(s + 2) = s2 + 4s + 4
s1)(s
czyli d0 = d1 = 4. Dalej
[b; Ab] 1 =
1 2
1 1
1
=
1 2
, a zatem p = [1; 1]
1
1
Macierz podobieństwa
P =
p
pA
=
1 1
1 0
Postać kanoniczna
P AP 1 =
0 1
1 2
(czyli a0 = 1, a1 =
2) oraz P b =
Macierz sprz¾
ez·enia
K = [d0
a1]P = [3; 6]
a0; d1
1 1
1 0
= [9; 3]
Sprawdzenie
Macierz uk÷
adu zamkni¾
etego
Az = A
bK =
ma wartości w÷
asne s1 = s2 =
1 1
0 1
2.
1
[9; 3] =
1
8 4
9 4
0
1