modelowanie systemów z ruchem zintegrowanym i przelewem ruchu

Mariusz Głąbowski
Katarzyna Kubasik
Dominik Mikołajczak
Maciej Stasiak
Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych
Politechnika Poznańska, ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań
e-mail: [email protected]
2006
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne
Poznań 7 - 8 grudnia 2006
MODELOWANIE SYSTEMÓW Z RUCHEM ZINTEGROWANYM
I PRZELEWEM RUCHU
Streszczenie: W artykule zaproponowano analityczną metodę wyznaczania charakterystyk ruchowych systemów, którym oferowany jest ruch przelewowy składający się ze strumieni ruchu zintegrowanego. Przedstawiona została także
metoda wyznaczania parametrów ruchu spływającego z wiązek podstawowych oraz przybliżona metoda wymiarowania
systemów obsługujących wielousługowy ruch przelewowy.
1. Wstęp
W hierarchicznej sieci telekomunikacyjnej ze strategią kierowania ruchu drogami alternatywnymi (kolejnego wyboru, obejściowymi) wykorzystywane są wiązki dwóch typów, tj. wiązki o wysokim wykorzystaniu
oraz wiązki o małych stratach. W wiązkach o wysokim wykorzystaniu ruch załatwiony jest z natłokiem
większym od założonego z góry współczynnika strat.
Ruch nie załatwiony na takiej wiązce jest przelewany
na wiązkę alternatywną, natomiast w wiązkach o małych stratach, natłok nie jest większy od założonego
z góry współczynnika strat. Ruch nie załatwiony na
tej wiązce jest ruchem straconym.
Systemy z ruchem przelewowym były przedmiotem
wielu rozważań, np. [1–3]. Prace te dotyczyły jednakże
tylko sieci z ruchem jednokanałowym, tj. tradycyjnych
jednousługowych sieci telefonicznych. W przypadku
sieci z ruchem zintegrowanym, podstawową metodą
określania charakterystyk ruchowych jest wykorzystanie tzw. wzorów Kaufmana-Robertsa (KR) [4,5]. Wzory te pozwalają na prawidłowe modelowanie systemów
ze strumieniami PCT1 (tj. Poissonowskich strumieniami ruchu od nieskończonej liczby źródeł ruchu),
oferowanymi bezpośrednio wiązkom telekomunikacyjnym (tzw. wiązkom podstawowym). Jednakże strumień zgłoszeń spływający z wiązki podstawowej nie
jest już zgodny z rozkładem Poissona [1]. W związku z tym, ruch przelewowy jest opisywany przez dwa
parametry, tj. przez wartość średnią ruchu przelewanego R na wiązkę alternatywną (obejściową) oraz jego
wariancję σ 2 [1, 6, 7]. Strumień zgłoszeń zgodny z rozkładem Poissona również można opisać parametrami
R i σ 2 , jednak w tym przypadku wartości obu tych
parametrów są równe (R = σ 2 ). W przypadku strumienia zgłoszeń spływających, wariancja jest zawsze
większa (nieraz nawet kilkakrotnie) od wartości śred-
niej. Oznacza to, że strumień przelewowy jest bardziej
nierównomierny niż strumień zgłoszeń oferowanych.
Miarą tej nierównomierności jest wartość współczynnika degeneracji Z = σ 2 /R, która dla strumienia spływającego z wiązki podstawowej jest większa od jedności (Z > 1), a dla strumienia zgłoszeń oferowanych
równa jedności (Z = 1).
Mając na uwadze powyższe stwierdzenia dochodzimy do wniosku, że wzory KR w swojej podstawowej postaci (opracowane przy założeniu wykładniczego rozkładu odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami)
nie mogą być stosowane do wyznaczania współczynników blokady zgłoszeń ruchu zintegrowanego w wiązce
alternatywnej. Celem tego artykułu jest przedstawienie modyfikacji wzorów KR, umożliwiającej wyznaczanie współczynników blokady i strat zgłoszeń należących do różnych strumieni przelewowego ruchu zintegrowanego w wiązce alternatywnej.
Dalszy układ artykułu jest następujący. W rozdziale 2 przedstawiono model Kaufmana-Robertsa dla
wiązki doskonałej z Poissonowskim strumieniem zgłoszeń. W rozdziale 3 przedstawiono model jednousługowy KR dla wiązki z ruchem przelewowym. Rozdział
4 zawiera opis metody wymiarowania systemów z ruchem zintegrowanym i przelewem ruchu, a w rozdziale
5 przedstawiono metodę wyznaczania rozkładu zajętości w wielousługowym modelu KR. Rozdział 6 zawiera porównanie wyników obliczeń z danymi symulacji. W rozdziale 7 przedstawiono najważniejsze wnioski wynikające z przeprowadzonych badań.
2. Modelowanie wiązek pełnodostępnych
z ruchem zintegrowanym
Rozważmy wiązkę o pojemności V PJP (podstawowych jednostek pasma). System ten obsługuje M Poissonowskich strumieni ruchu (tzw. strumieni PCT1)
o intensywnościach: λ1 , λ2 , . . .,λM . Zgłoszenie klasy i
wymaga ti PJP do zestawienia połączenia. Czasy obsługi zgłoszeń wszystkich klas mają charakter wykładniczy z parametrami µ1 ,µ2 ,. . .,µM . Zatem, ruch oferowany przez strumień klasy i jest równy:
Ai = λi /µi .
(1)
A2,t2
A1,t1
V1
V2
R1,
V
AM,tM
VM
R2,
RM,
E1, E2, …, EM
Rys. 1. Fragment sieci z przelewowym ruchem
zintegrowanym, wiązki podstawowe obsługują
pojedynczą klasę ruchu
Przedstawiony model systemu z integracją usług
opisywany jest najczęściej wzorem KR [8–10]:
XM
n[Pn ]V =
Ai ti [Pn−ti ]V ,
(2)
i=1
gdzie P (n) jest prawdopodobieństwem przebywania
systemu w stanie n (zajętych PJP). Prawdopodobieństwo blokady Ei dla strumienia klasy i oraz prawdopodobieństwo strat Bi dla strumienia klasy i może być
określone następująco:
XV
Ei = Bi =
[Pn ].
(3)
n=V −ti +1
Wiązka pełnodostępna jest systemem, w którym
nie występuje zależność strumienia zgłoszeń od stanu,
w którym system się znajduje. Oznacza to, że przejście
z jednego stanu do drugiego pod wpływem strumienia
klasy i nie zależy od liczby n zajętych PJP.
3. Model jednousługowy KR dla wiązki
doskonałej z ruchem przelewowym
3.1. Założenia modelu
Rozpatrzmy fragment sieci przedstawiony na rys. 1.
W systemie tym założono, że każdej z wiązek podstawowych oferowana jest tylko jedna klasa zgłoszeń.
Realne łącza, tworzące sieć z ruchem zintegrowanym,
przenoszą różne rodzaje usług w celu efektownego wykorzystania ich zasobów. Przyjęte w tym rozdziale założenie ma na celu ułatwienie zrozumienia wyprowadzanych zależności analitycznych. Systemy, w których
wiązki podstawowe obsługują wiele klas ruchu, przedstawione zostaną w p. 5. W rozważanym systemie
znajduje się M wiązek podstawowych o wysokim wykorzystaniu. Wiązka o numerze i ma pojemność równą
Vi PJP. Każdej z wiązek oferowany jest inny strumień
zgłoszeń charakteryzujący się natężeniem ruchu Ai .
Zgłoszenia klasy i żądają do obsługi ti PJP.
3.2. Parametry ruchu spływającego
W wyniku zajmowania kolejnych PJP w wiązkach dochodzi do sytuacji, w których następuje blokada wiązek podstawowych i przelewanie ruchu na wiązkę alternatywną o pojemności V . Współczynniki blokady
w wiązkach podstawowych można obliczyć przy pomocy pierwszego wzoru Erlanga. Należy jednak uwzględnić, że jedno zgłoszenie klasy i zajmuje jednocześnie ti
PJP. Czyli z punktu widzenia modelu Erlanga jest to
równoznaczne z ti -krotnym zmniejszeniem pojemności
wiązki o rzeczywistej pojemności Vi PJP. Oznacza to,
że przed podstawieniem do pierwszego wzoru Erlanga,
pojemność wiązki należy podzielić przez liczbę PJP
żądanych do zestawienia połączenia danej klasy. Drugim sposobem, w wyniku którego otrzymamy te same
wartości współczynników blokady, jest zastosowanie
wzorów KR (2) i (3). Będą one uwzględniały wiązkę
o pojemności Vi , której oferowany jest jeden strumień
zgłoszeń o rozkładzie Poissona, tworzony przez zgłoszenia żądające do zestawienia połączenia ti PJP.
Znając współczynniki blokady w wiązkach podstawowych możemy obliczyć parametry ruchu spływającego każdej z klas, tj. wartość średnią R i wariancję σ 2 .
Wykorzystujemy do tego celu tzw. wzory Riordana:
σi2 = Ri
Ri = Ai EVi (Ai ),
(4)
Ai
+ 1 − Ri .
V i + 1 − Ai + R i
(5)
Następnie, na podstawie tych parametrów, określamy
poziom nierównomierności poszczególnych strumieni
ruchu spływającego, obliczając wartości współczynników degeneracji Zi = σi2 /Ri .
3.3. Rozkład zajętości w wiązce alternatywnej
Zgłoszenia tracone w wiązkach podstawowych są oferowane wiązce alternatywnej i kolejno zajmują jej zasoby. Zatem wiązka ta obsługuje M klas zgłoszeń.
W celu wyznaczenia współczynników blokady zgłoszeń
w takiej wiązce, posłużymy się analogią do metody
Hayworda, opisanej w [1]. Przypomnijmy, że była ona
przeznaczona do wyznaczenia współczynnika blokady
w wiązce o pojemności V z ruchem jednousługowym,
której oferowany jest przelewowy strumień zgłoszeń
o wartości średniej R, dodatkowo charakteryzowany
przez współczynnik degeneracji Z. Jak wiemy, nie jest
to strumień o rozkładzie Poissona. W metodzie tej wykorzystywany jest wzór Erlanga poddany następującej
modyfikacji:
R
.
(6)
B = E = EV
Z
Z
W przypadku wiązki z ruchem zintegrowanym, posłużymy się identyczną modyfikacją dla wzorów KR:
R1
RM
V
,...,
; t 1 , . . . , tM ;
,
E1 , . . . , EM = KR
Z1
ZM
Z
(7)
gdzie KR(· · · ) oznacza algorytm wyznaczania współczynników blokady zgłoszeń poszczególnych klas
E1 ,. . . , EM , na podstawie wzorów KR (2) i (3), które
przyjmują następującą postać:
XM R i
ti [Pn−ti ]V /Z ,
(8)
n [Pn ]V /Z =
i=1 Zi
X VZ
[Pn ]V /Z .
Bi = Ei =
(9)
V
n= Z −ti +1
Współczynnik degeneracji pełni funkcję normalizującą. Poprzez podzielenie wartości średnich ruchów
spływających poszczególnych klas zgłoszeń przez odpowiadające im wartości współczynników Zi , dokonujemy przekształcenia nierównomiernego strumienia
ruchu przelewowego w strumień Erlanga. Analogicznie jak w zależności (6), również pojemność wiązki alternatywnej V dzielimy przez wartość współczynnika
degeneracji. Po takiej operacji wzór (7) nie będzie wykonywany dla V stanów zajętości wiązki, a jedynie dla
V /Z stanów. Zwróćmy uwagę, że pojemność wiązki alternatywnej we wzorach (8) i (9) jest dzielona przez
tzw. zbiorczy współczynnik degeneracji Z. Problem
wyznaczenia tego współczynnika, dla M klas zgłoszeń,
z których każda może mieć inną wartość współczynnika Zi , zostanie omówiony w p. 3.4.
Wzory (8) i (9) są uogólnieniem wzorów KR na
wszystkie rodzaje wiązek obsługujących ruch zintegrowany, zarówno nie-Poissonowski (ruch przelewowy),
jak i Poissonowski. Dla rozkładu Poissona wartość
współczynnika degeneracji jest równa jedności i wtedy wzory (8) i (9) przyjmują postać podstawowych
wzorów KR (2) i (3).
3.4. Wyznaczanie zbiorczego współczynnika Z
W poprzednim punkcie pominęliśmy problem wyznaczania wartości współczynnika degeneracji Z, przez
którą dzielimy pojemność wiązki. Zgodnie ze wzorem (7), do wiązki alternatywnej napływa M klas
zgłoszeń, z których każda może posiadać inną wartość
współczynnika Zi . Problemem jest zatem sposób wyznaczenia wartości zbiorczego współczynnika Z w celu
normalizacji wiązki o pojemności V .
Rozwiązaniem tego problemu jest wprowadzenie
średniej ważonej współczynników Zi poszczególnych
strumieni zgłoszeń:
Z=
M
X
R i ti
.
Zi ki , gdzie ki = PM
l=1 Rl tl
i=1
(10)
We wzorze (10) przyjęto, że wkład degeneracji
strumienia klasy i w zbiorczym współczynniku degeneracji Z jest wprost proporcjonalny do liczby żądanych PJP w wiązce alternatywnej przez klasę i oraz
do wartości ruchu oferowanego przez klasę i wiązce alternatywnej. Zasadność takiego założenia została potwierdzona badaniami symulacyjnymi [11].
4. Wymiarowanie wiązek tranzytowych
z ruchem zintegrowanym
Do tej pory zajmowaliśmy się wyznaczaniem rozkładu
zajętości w alternatywnej wiązce doskonałej o pojemności V , której oferowany był zintegrowany ruch przelewowy. Na jego podstawie wyznaczaliśmy współczynniki blokady zgłoszeń należących do różnych strumieni
ruchu przelewanego. Podstawą tych obliczeń były odpowiednio zmodyfikowane wzory KR (8) i (9).
W tym rozdziale zajmiemy się problemem wymiarowania wiązek alternatywnych. Znając parametry ruchu zintegrowanego, spływającego na wiązkę obejściową, wyznaczymy pojemność tej wiązki w taki spo-
sób, aby zapewnić odpowiednią jakość obsługi zgłoszeń napływających do systemu. Zagadnienie to można sformułować następująco: dla założonych wartości
współczynników blokady zgłoszeń każdej z klas należy określić minimalną pojemność wiązki alternatywnej. Podstawą takich rozważań będą zmodyfikowane
wzory Kaufmana-Robertsa (8) i (9).
Rozważmy ponownie system telekomunikacyjny
przedstawiony na rys. 1. Znając parametry ruchu
spływającego na wiązkę alternatywną (R1 , . . ., RM ;
Z1 , . . ., ZM ), wyznaczymy pojemność tej wiązki w taki
sposób, aby nie przekroczyć zadanych wartości współczynników blokady E1 , . . ., EM . W tym celu będziemy zmniejszać pojemność wiązki alternatywnej V , zaczynając od pewnej wartości stanowiącej górną granicę Vgr . Po każdorazowym zmniejszeniu pojemności V , możemy wyznaczyć aktualne prawdopodobieństwa blokady e1 , e2 , . . ., eM na podstawie wzorów KR:
RM
V
R1
,...,
; t1 , . . . , tM ;
.
e1 , . . . , eM = KR
Z1
ZM
Z
(11)
Zmniejszanie pojemności V wykonujemy do czasu,
gdy spełniony jest warunek, że wartości współczynników blokady nie przekraczają wartości zadanych:
e1 ¬ E1 ; e2 ¬ E2 ; . . . ; eM ¬ EM .
(12)
Jeżeli w r-tym, kolejnym kroku obliczeń naruszona zostanie którakolwiek z nierówności (12), za końcową
wartość pojemności wiązki obejściowej przyjmujemy
wartość otrzymaną w kroku r − 1.
Stwierdziliśmy, że zmniejszania pojemności dokonujemy od pewnej granicznej wartości pojemności Vgr .
W celu szybkiego wykonania tego algorytmu (czyli
wykonania minimalnej liczby dekrementacji) konieczne jest odpowiednie określenie wartości granicznej.
Rozpatrzmy to zagadnienie w następujący sposób. Potraktujmy oddzielnie każdą z klas ruchu tworzących
zintegrowany strumień przelewowy, oferowany wiązce
alternatywnej V . Dla każdego z M składowych strumieni zgłoszeń o natężenia ruchu Ri , wyznaczamy elementarną pojemność wiązki vi . Pojemność ta musi
być tak dobrana, aby zapewnić jakość obsługi zgłoszeń
klasy i zgodnie z założonym współczynnikiem blokady
Ei . Pojemności elementarne vi wyznaczamy na podstawie metody Hayworda:
Ri
v
.
(13)
Ei = Bi = E i
Zi
Zi
Z tablic Erlanga odczytujemy wartość Zvii , na podstawie której wyznaczamy vi . Określona, na podstawie równania (13), wartość vi zapewnia żądaną jakość obsługi zgłoszeń z prawdopodobieństwem blokady nie przekraczającym wartości Ei . Dodatkowo, prawo wiązki upoważnia nas do stwierdzenia, że także
wiązka alternatywna o pojemności v1 + v2 + . . . + vM ,
obsługująca zintegrowany strumień zgłoszeń (klasy od
1 do M ), zapewnia przynajmniej założony poziom obsługi dla każdej z klas ruchu. Zgodnie bowiem z prawem wiązki, współczynniki blokady zgłoszeń w wiązce powstałej z połączenia kilku wiązek składowych,
są mniejsze od współczynników blokady występujących w wiązkach składowych przed ich połączeniem.
W odniesieniu do rozważanego systemu oznacza to,
że zgłoszenia są obsługiwane ze znacznie mniejszymi
prawdopodobieństwami blokady niż założono. Wynika stąd konieczność zmniejszenia pojemności wiązki
obsługującej ruch przelewowy.
Po określeniu pojemności elementarnych, wyznaczamy całkowitą pojemność graniczną Vgr wiązki alternatywnej:
v1
v2
Vgr
vM
=
+
+ ... +
.
Z
Z1
Z2
ZM
V1
V2
R11, R12, …, R1M
11,
A21, A22, …, A2M
t1, t2, …, tM
12,
…,
M
1
AK1, AK2, …, AKM
t1, t2, …, tM
VM
R21, R22, …, R2M
21,
22,
…,
2
M
RK1, RK2, …, RKM
K1,
K2, …,
KM
(14)
Dekrementację rozpoczynamy od wartości początkowych vi wchodzących w skład wzoru (14). Zmniejszania dokonujemy cyklicznie dla każdej z klas, zaczynając przykładowo od klasy najmłodszej (obsługiwanej przez fikcyjną wiązkę v1 ), czyli tej, która żąda do zestawienia połączenia najmniejszej liczby PJP.
W każdym kroku dekrementujemy pojemność tylko
jednej wiązki składowej. Po każdorazowym zmniejszeniu o jedną PJP kolejnych pojemności vi , określamy
znormalizowaną pojemność wiązki tranzytowej V , według wzoru:
v1
v2
V
vM
=
+
+ ... +
.
Z
Z1
Z2
ZM
A11, A12, …, A1M
t1, t2, …, tM
(15)
Otrzymaną wartość (15) podstawiamy do zależności (11) i wyznaczamy prawdopodobieństwa blokady
zgłoszeń każdej klasy. Powyższe operacje wykonujemy do czasu naruszenia warunku (12). Po zakończeniu
działania algorytmu, otrzymujemy pojemność wiązki
alternatywnej, która zapewnia poziom obsługi zgłoszeń z odpowiednimi współczynnikami blokady nie
przekraczającymi założonych wartości E1 , . . ., EM .
Podsumowując przedstawione rozważania, algorytm wymiarowania wiązki, której oferowany jest zintegrowany ruch przelewowy, składający się z M klas
zgłoszeń, można przedstawić w sposób następujący:
1. Wyznaczenie pojemności wiązek elementarnych
v1 , v2 ,. . . ,vM (wzór (13));
2. Wyznaczenie początkowej pojemności wiązki Vgr
z ruchem przelewowym na podstawie wartości vi
obliczonych w poprzednim kroku (wzór (14));
3. Cykliczne zmniejszanie pojemności wiązek elementarnych i określanie współczynników blokady
zgłoszeń, do czasu naruszenia warunku (12).
4. Określenie pojemności wiązki alternatywnej, poprzez zsumowanie otrzymanych w poprzednim
kroku pojemności wiązek składowych v1 + . . . +
vM , dla których spełnione są jeszcze warunki wyrażone wzorem (12).
5. Model wielousługowy KR dla wiązki
doskonałej z ruchem przelewowym
Dotychczas zajmowaliśmy się projektowaniem wiązek
alternatywnych w systemach, w których wiązki bezpośrednie obsługiwały tylko jeden strumień zgłoszeń.
V
E1, E2, …, EM
Rys. 2. Fragment sieci z przelewowym ruchem
zintegrowanym, wiązki podstawowe obsługują wiele
klas ruchu
Był to przypadek czysto teoretyczny, mający na celu ułatwienie zrozumienia wyprowadzanych zależności analitycznych. W rzeczywistych systemach, wiązki
podstawowe przenoszą ruch zintegrowany składający
się z kilku klas zgłoszeń.
Stosowane dotychczas założenie pozwalało na proste wyznaczenie wariancji ruchu spływającego z wiązek podstawowych na podstawie wzorów Riordana.
W przypadku gdy wiązka przenosi ruch zintegrowany, bezpośrednie zastosowanie wzorów Riordana nie
jest możliwe. W tym rozdziale podamy przybliżoną
metodę wyznaczania wariancji różnych klas zgłoszeń
w przypadku ruchu spływającego z wiązek obsługujących ruch zintegrowany. Rozważmy system telekomunikacyjny przedstawiony na rysunku 2. System ten
składa się z K wiązek bezpośrednich o wysokim wykorzystaniu. Każdej z wiązek jest oferowanych M klas
zgłoszeń. Natężenie ruchu zgłoszeń klasy i oferowanych wiązce j wynosi Ai,j Erl. Blokowany w wiązkach bezpośrednich ruch poszczególnych klas przelewany jest na wiązkę alternatywną. Współczynnik blokady zgłoszeń klasy i w wiązce bezpośredniej j (Bi,j )
można określić na podstawie (3). Znając prawdopodobieństwa blokady możemy wyznaczyć wartość średnią
natężenia ruchu klasy i spływającego z wiązki j:
Ri,j = Ai,j Ei,j .
(16)
W celu pełnego scharakteryzowania ruchu przelewowego niezbędne jest określenie wariancji każdego
strumienia zgłoszeń. Parametr ten określimy w sposób przybliżony, przeprowadzając dekompozycję każdej wiązki rzeczywistej na M fikcyjnych wiązek składowych o pojemnościach Vij . Każda wiązka fikcyjna
będzie obsługiwała wyłącznie zgłoszenia jednej klasy,
co umożliwi zastosowanie wzorów Riordana do okre2
ślenia wariancji σij
ruchu klasy i spływającego z wiązki j. Określmy zatem pojemności wiązek fikcyjnych.
W tym celu najpierw wyznaczymy ruch załatwiany
klasy i w wiązce j:
Yi,j = Ai,j (1 − Ei,j ).
(17)
Zgodnie z definicją, wartość Yi,j określa średnią
liczbę zgłoszeń klasy i, obsłużonych w wiązce j. Zatem wyrażona w PJP średnia wartość natężenia ruchu
klasy i będzie równa Yi,j ti . Pojemność fikcyjnej wiązki
składowej Vi,j zdefiniujemy jako tę część rzeczywistej
wiązki Vj , która nie jest zajmowana przez zgłoszenia
pozostałych klas (różnych od klasy i). Otrzymujemy
zatem:
XM
Vi,j = Vj −
Yl,j tl ,
(18)
Tabela 1.
Parametry badanych systemów telekomunikacyjnych
Nr systemu
1
2
3
l=1;l6=i
gdzie Vj jest pojemnością wiązki podstawowej, a suma
po prawej stronie równania (18) określa liczbę PJP
zajmowanych przez zgłoszenia pozostałych klas.
Dysponując wszystkimi parametrami (tj. Ri,j , Ai,j
i Vi,j możemy – na podstawie wzoru Riordana – wy2
dla poszczególnych strumieni
znaczyć wariancję σij
zgłoszeń spływających na wiązkę alternatywną:
!
A
i,j
2
= Ri,j Vi,j
σi,j
+ 1 − Ri,j ,
ti + 1 − Ai,j + Ri,j
(19)
V
normalizuje
gdzie iloraz ti,j
system
do
przypadku
jedi
nousługowego. Taka operacja jest konieczna, ponieważ
wzory Riordana w swej podstawowej postaci są przeznaczone do wyznaczania parametrów ruchu spływającego w systemach jednousługowych.
Ponieważ poszczególne strumienie zgłoszeń oferowane systemowi są statystycznie niezależne, to parametry całkowitego ruchu klasy i, oferowanego wiązce
alternatywnej, będą równe:
Ri =
σi2 =
XK
j=1
XK
j=1
Ri,j ,
(20)
2
σi,j
.
(21)
W tym miejscu dysponujemy już wszystkimi parametrami, które charakteryzują M strumieni zgłoszeń oferowanych projektowanej wiązce alternatywnej.
W celu wyznaczenia pojemności tej wiązki możemy
zastosować opisany w rozdziale 4 algorytm wymiarowania wiązki alternatywnej, obsługującej przelewowy
ruch zintegrowany.
Dysponując zależnościami (20) i (21) możemy także wyznaczyć rozkład zajętości oraz prawdopodobieństwo blokady w systemie z przelewowym ruchem zintegrowanym, przedstawionym na rys. 2. Do tego celu
zastosujemy wzory (8) i (9), gdzie zbiorczy współczynnik Z jest określony zgodnie ze wzorem (10).
6. Porównanie wyników analitycznych
z danymi symulacji
Przedstawione metody wyznaczania rozkładu zajętości oraz prawdopodobieństwa blokady w systemach
z przelewowym ruchem zintegrowanym są metodami
przybliżonymi. W celu określenia dokładności proponowanych rozwiązań, wyniki obliczeń analitycznych porównano z danymi symulacji. Badania przeprowadzono dla systemu telekomunikacyjnego, złożonego z trzech wiązek bezpośrednich, obsługujących
ruch zintegrowany, oraz z jednej wiązki alternatywnej
4
Parametry systemu
t1 = 1, t2 = 2, t3 = 4
a1 = 24, a2 = 14, a3 = 12
V1 = 10, V2 = 20, V3 = 40
t1 = 1, t2 = 2 t3 = 6
a1 = 24, a2 = 14, a3 = 12
V1 = 10, V2 = 20, V3 = 40
t1 = 1, t2 = 2, t3 = 6
a1 = 24, a2 = 22, a3 = 12
V1 = 16, V2 = 54, V3 = 96
t1 = 1, t2 = 4, a1 = 24, a2 = 14
V1 = 16, V2 = 54
Tabela 2.
Porównanie wyników analitycznych z danymi symulacji dla procesu wymiarowania wiązki alternatywnej,
obsługującej przelewowy ruch zintegrowany
Nr
1
2
3
4
E1
0,001
0,001
0,005
0,001
E2
0,002
0,002
0,010
0,002
E3
0,005
0,005
0,020
–
Vobliczenia
85
131
59
103
Vsymulacja
84
128
59
102
(o pojemności 120 PJP), obsługującej ruch spływająycy z wiązek bezpośrednich. Strukturę ruchu spływającego (parametr Zi ) z wiązek bezpośrednich podano
w podpisach rysunków, przedstawiających prawdopodobieństwo blokady w wiązce alternatywnej dla różnych wartości współczynników Z ruchu oferowanego
wiązce alternatywnej. Wartości prawdopodobieństwa
blokady wyrażono w funkcji ruchu jednostkowego, oferowanego pojedynczej PJP wiązki alternatywnej.
Na rys. 3(a)–3(c) przedstawiono rezultaty prawdopodobieństwa blokady w wiązce obsługujących ruch
zintegrowany, o równych wartościach współczynnika Z
dla każdej klasy ruchu. Przeprowadzone badania miały na celu sprawdzenie, czy możliwe jest uogólnienia
wzoru KR (2), pozwalające na określania charakterystyk ruchowych systemów obsługujących strumienie
ruchu o wartości współczynnika degeneracji Z > 1. Na
podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że
uogólnienie takie jest możliwe. W dalszej części badań
określano prawdopodobieństwo blokady w systemach,
w których poszczególne strumienie zgłoszeń charakteryzowały się różnymi wartościami współczynnika Z.
Również i w tym przypadku (rys. 3(d)), uzyskane wyniki obliczeń charakteryzują się wysoką dokładnością.
W ostatniej części badań przeprowadzono proces wymiarowania systemów z ruchem przelewowym. Badania przeprowadzono dla systemów scharakteryzowanych w tab. 1. Uzyskane pojemności wiązki obsługującej ruch zintegrowany (dla założonych współczynników blokady E1 , E2 , E3 ), o współczynnikach degeneracji Z > 1, przedstawiono w tab. 2. Możemy zauważyć, że porównanie danych analitycznych (Vobliczenia )
z danymi symulacji (Vsymulacja ) wskazuje na wysoką
dokładność proponowanego rozwiązania.
Ei
7. Podsumowanie
100
10-1
10-2
Obliczenia - klasa 1
Obliczenia - klasa 2
Obliczenia - klasa 3
Symulacja - klasa 1
Symulacja - klasa 2
Symulacja - klasa 3
10-3
10-4
10-5
Ei
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
ruch oferowany [Erl]
(a) Z1 = Z2 = Z3 = 2
1.1 1.2 1.3
100
Literatura
-1
[1] R.I. Wilkinson. Theories of toll traffic engineering in
the USA. Bell System Technical Journal, 40:421–514,
1956.
10
10-2
10-4
Ei
[2] Y. Rapp. Planning of junction network in a multiexchange area. Proceedings of 4th International Teletraffic Congress, strona 4, London, 1964.
Obliczenia - klasa 1
Obliczenia - klasa 2
Obliczenia - klasa 3
Symulacja - klasa 1
Symulacja - klasa 2
Symulacja - klasa 3
10-3
10-5
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
ruch oferowany [Erl]
(b) Z1 = Z2 = Z3 = 3
1.1 1.2 1.3
10-1
10-2
10-4
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
ruch oferowany [Erl]
(c) Z1 = Z2 = Z3 = 4
1.1 1.2 1.3
10-1
[9] M.E. Beshai, D.R. Manfield. Multichannel services performance of switching networks. Proceedings
of 12th International Teletraffic Congress, strony
857–864, Torino, Italy, 1988. North Holland-Elsevier
Science Publishers.
10-2
Obliczenia - klasa 1
Obliczenia - klasa 2
Obliczenia - klasa 3
Symulacja - klasa 1
Symulacja - klasa 2
Symulacja - klasa 3
10-3
10-4
0.4
0.5
0.6
0.7 0.8 0.9 1 1.1
ruch oferowany [Erl]
(d) Z1 = 2, Z2 = 3, Z3 = 4
[7] H. Akimuru, K. Kawashima. Teletraffic: Theory and
Application. Springer, Berlin-Heidelberg-New York,
1993.
[8] J.W. Roberts. Teletraffic models for the Telcom 1 integrated services network. Proceedings of 10th International Teletraffic Congress, strona 1.1.2, Montreal,
Canada, 1983.
100
10-5
[4] J.S. Kaufman. Blocking in a shared resource environment. IEEE Transactions on Communications,
29(10):1474–1481, 1981.
[6] G. Bretschneider.
Die Berechnung von Leitungsgruppen für berfließenden Verkehr in Fernsprechwählanlagen. Nachrichtentechnische Zeitung
(NTZ), (11):533–540, 1956.
Obliczenia - klasa 1
Obliczenia - klasa 2
Obliczenia - klasa 3
Symulacja - klasa 1
Symulacja - klasa 2
Symulacja - klasa 3
10-3
Ei
[3] A. Fredericks. Congestion in blocking systems — a
simple approximation technique. Bell System Technical Journal, 59(6):805–827, July–August 1980.
[5] J.W. Roberts. A service system with heterogeneous
user requirements — application to multi-service telecommunications systems. G. Pujolle, redaktor, Proceedings of Performance of Data Communications Systems and their Applications, strony 423–431, Amsterdam, 1981. North Holland.
100
10-5
W artykule zaproponowano analityczną metodę wyznaczania rozkładu zajętości oraz prawdopodobieństwa blokady w wiązkach sieci telekomunikacyjnych, obsługujących przelewowy ruch zintegrowany.
Przedstawiona metoda bazuje na modyfikacji wzoru
Kaufmana-Robertsa. Modyfikacja ta polega na wprowadzeniu współczynnika degeneracji Z, charakteryzującego nierównomierność strumienia zgłoszeń, do procesu obliczeń prawdopodobieństw stanów w algorytmie Kaufmana-Robertsa. Dodatkowo, w artykule zaproponowano efektywną metodę wymiarowania systemów z ruchem zintegrowanym, spływającym z wiązek bezpośrednich. Dokładność proponowanych metod analitycznych została zweryfikowana badaniami
symulacyjnymi.
[10] M. Stasiak.
Blocking probability in a limitedavailability group carrying mixture of different multichannel traffic streams.
Annales des
Télécommunications, 48(1-2):71–76, 1993.
1.2
1.3
Rys. 3. Prawdopodobieństwo blokady w wiązce
z przelewowym ruchem zintegrowanym,
R1 t1 : R2 t2 : R3 t3 = 1 : 1 : 1
[11] Mariusz Głąbowski, Dominik Mikołajczak, Maciej
Stasiak. Określanie charakterystyk ruchu przelewowego w systemach z integracją usług. Raport techniczny ZSTI 01/2005, Raport Instytutu Elektroniki i
Telekomunikacj, Poznań, 2005.