Zadanie 2. Zbiorem wartości funkcji 2 12 1 jest

Zadanie 2. Zbiorem wartości funkcji 2 ଶ 12 1 jest:
A. ∞; 19〉
B. ∞; 1〉
C. D. 1; ∞
Rozwiązanie:
Żeby znaleźć zbiór wartości dowolnej funkcji, to trzeba umieć narysować jej wykres. Gdy już
mamy wykres to odczytujemy z niego zbiór wartości.
Musimy zatem narysować wykres funkcji 2 ଶ 12 1.
Jest to funkcja kwadratowa, czyli jej wykres będzie parabolą. Ramiona paraboli będą
skierowane w dół, bo współczynnik przy ଶ jest ujemny (jest równy 2).
Zatem do ustalenia zbioru wartości potrzebujemy w zasadzie tylko współrzędnych
wierzchołka. Wzór na współrzędną -ową wierzchołka jest następujący:
௪ 2
Zatem dla naszej paraboli:
௪ 12
12 12
3
2 ∙ 2
4
4
Wzór na współrzędną -ową wierzchołka jest następujący:
∆ ଶ 4
௪ 4
4
Można jeszcze inaczej (może trochę szybciej) policzyć współrzędną -ową wierzchołka.
Mianowicie znając ௪ można policzyć jaką wartość przyjmuje funkcja dla ௪ i to będzie
oczywiście ௪ . Zróbmy w ten drugi sposób:
௪ 2௪ ଶ 12௪ 1 2 ∙ 3ଶ 12 ∙ 3 1 18 36 1 19
Zatem wykres paraboli będzie wyglądał jakoś tak:
y
௪
2 ଶ 12 1
x
௪
Oczywiście powyższy rysunek jest tylko szkicem wykresu funkcji 2 ଶ 12 1.
Żeby narysować dokładny wykres powinniśmy jeszcze wyznaczyć miejsca zerowe i miesce
przecięcia z osią .
Do określenia zbioru wartości taka dokładność wykresu jest jednak wystarczająca.
Odczytujemy zatem, że:
∞;௪ 〉
Czyli:
∞; 19〉
Odpowiedź: A
Komentarz:
Pomimo tego, że sporo się napisałem przy rozwiązaniu tego zadania, to tak naprawdę można
przy małej wprawie zrobić je bardzo szybko. Wystarczy wyobrazić sobie w głowie ogólny
kształt paraboli – tzn. że ma ramiona w dół (wnioskujemy to po ujemnym współczynniku
przy ଶ ), a następnie policzyć współrzędną -ową wierzchołka, np. ze wzoru:
∆ ଶ 4 12ଶ 4 ∙ 2 ∙ 1 144 8 152
௪ 19
4
4
4 ∙ 2
8
8
No i mamy odpowiedź: ∞; 19〉.