Temat: Równanie Bernoulliego.

Lekcja 5
Temat: Równanie Bernoulliego.
Równanie Bernoulliego.
Statyczne konsekwencje równania Bernoulliego
a) nieruchomy płyn w zbiorniku
b) manometr
c) pomiar ciśnienia krwi za pomocą kaniuli
Zagadnienia uzupełniające: mierniki przepływu
Równanie Bernoulliego.
Na rysunku 15.19 przedstawiono rurę, przez którą jednostajnie przepływa płyn doskonały.
Zakładamy, Ŝe w przedziale czasu ∆t z lewej strony (czyli na wejściu do rury) wpływa do niej
płyn o objętości ∆V (oznaczonej na rysunku 15.19a na
fioletowo), a z prawej (na wyjściu) wypływa z niej płyn o
takiej samej objętości (oznaczonej na rysunku 15.19b na
zielono). Objętość płynu wypływającego z rury musi być taka
sama jak objętość płynu wpływającego do niej, gdyŜ płyn
jest nieściśliwy, tzn. ma stałą gęstość ρ.
Oznaczmy przez y1, v1, i p1 poziom, prędkość i ciśnienie
płynu wchodzącego do rury z lewej strony, a przez y2, v2, i p2
— odpowiednie wielkości odnoszące się do płynu wychodzącego z rury z prawej strony. WykaŜemy wkrótce, Ŝe z
zasady zachowania energii dla tego płynu wynika następujący związek między tymi wielkościami:
1
1
p1 + ρv12 + ρgy1 = p2 + ρv22 + ρgy 2
(15.28)
2
2
Równanie to moŜemy teŜ zapisać w postaci
p+
1 2
ρv + ρgy = const (równanie Bernoulliego) (15.29)
2
Równania (15.28) i (15.29) są równowaŜnymi sobie
postaciami równania Bernoulliego, nazwanego tak dla upamiętnienia Daniela Bernoulliego, który badał przepływy płynów w XVIII wieku1. Podobnie jak równanie ciągłości
(15.24), równanie Bernoulliego nie jest nowym prawem fizycznym, lecz sformułowaniem znanych juŜ zasad, zapisanym w postaci wygodnej z punktu widzenia mechaniki
płynów. Aby się o tym przekonać, zastosujmy równanie
Bernoulliego do płynu w spoczynku, podstawiając do równania (15.28) v1 = v2 = 0. W wyniku otrzymujemy
p2 = p1 + ρg ( y1 − y 2 )
czyli równanie (15.7), choć występujące w nim symbole mają nieco inne znaczenie.
NajwaŜniejszy wniosek, jaki wynika z równania Bernoulliego, otrzymamy, zakładając, Ŝe
y jest stałe (moŜemy dla wygody przyjąć, Ŝe y = 0), tak Ŝe płyn nie zmienia w trakcie przepływu swego połoŜenia w pionie. Z równania (15.28) otrzymujemy wtedy
p1 +
1 2
1
ρv1 = p2 + ρv 22
2
2
(15.30)
co oznacza, Ŝe:
JeŜeli przy przepływie wzdłuŜ poziomej linii prądu prędkość elementu płynu wzrasta, to
ciśnienie płynu maleje i na odwrót.
Innymi słowy, w miejscach, w których linie prądu są ułoŜone stosunkowo blisko siebie (tzn.
w miejscach, w których prędkość przepływu jest stosunkowo duŜa), ciśnienie płynu jest stosunkowo małe i na odwrót.
Związek zmiany prędkości ze zmianą ciśnienia moŜesz zrozumieć, rozpatrując zachowanie
się elementu płynu. Gdy element ten zbliŜa się do wąskiego miejsca w rurze, panujące za nim
duŜe ciśnienie powoduje przyspieszenie jego ruchu, w związku z czym w wąskim miejscu
rury prędkość przepływu jest duŜa. Gdy natomiast element zbliŜa się do szerokiego odcinka
rury, panujące przed nim duŜe ciśnienie powoduje zwolnienie jego ruchu, a zatem w szerokim
miejscu rury prędkość przepływu jest mała.
Równanie Bernoulliego stosuje się ściśle jedynie dla płynu doskonałego. Gdy występują siły
lepkości, nie wolno nam pominąć zmian energii termicznej płynu.
Statyczne konsekwencje równania Bernoulliego
RozwaŜymy na początek konsekwencje wynikające z równania Bernoulliego dla płynów pozostających w stanie spoczynku, kiedy v = 0, a suma P + ρgy jest wielkością stałą.
Nieruchomy płyn w zbiorniku. ZałóŜmy, Ŝe płyn w pewnym naczyniu o kształcie przedstawionym na rys. 14.7 znajduje się w stanie spoczynku.
Rys. 14.7. Płyn znajdujący się w naczyniu jest w stanie spoczynku. Jak to wyjaśniono w tekście, powierzchnia
płynu w kaŜdej części naczynia znajduje się na tej samej wysokości
AŜeby wyrazić ciśnienie w punkcie B za pomocą ciśnienia panującego na powierzchni płynu i
głębokości tego punktu, zapiszemy najpierw ciśnienia w punktach A i B. Przyjmujemy, Ŝe
dla podstawy naczynia y = 0. Ciśnienie w punkcie A jest równe ciśnieniu atmosferycznemu
Patm, natomiast ciśnienie w punkcie B oznaczmy jako PB . Wówczas Patm + ρgh = PB +
ρgyB, lub teŜ podstawiając h — yB=dy mamy
(14.11)
Z równania tego wynika, Ŝe w płynach pozostających w bezruchu ciśnienie na głębokości d
jest równe sumie ciśnienia panującego na powierzchni płynu i przyrostu gęstości energii
potencjalnej ρgd dla danej głębokości. Równanie (14.11) moŜna takŜe wyrazić w formie
twierdzenia dotyczącego siły działającej wewnątrz płynu na głębokości d pod powierzchnią
płynu. Siła ta, działająca na jednostkę powierzchni, czyli PB, jest sumą dwóch składników:
ciśnienia atmosferycznego Patm i ciśnienia wywieranego przez cięŜar płynu znajdującego
się ponad punktem B, ρgd.
Policzmy obecnie wartość wyraŜenia P + ρgy dla punktów B i D. PoniewaŜ jednak yB = yD,
zatem
PB + ρ ⋅ g ⋅ y B = PD + ρ ⋅ g ⋅ y D
PB = PD
Wewnątrz płynu pozostającego w stanie spoczynku ciśnienie w punktach leŜących na tej samej głębokości jest jednakowe. W szczególności dla punktów A i E leŜących na powierzchni
ciśnienie jest jednakowe, poniewaŜ jest to ciśnienie atmosferyczne, zatem punkty te leŜą na
tej samej wysokości. Stąd wynika wniosek, Ŝe powierzchnia płynu znajdującego się w stanie
równowagi w otwartych naczyniach połączonych dowolnego kształtu będzie się znajdowała
na identycznej wysokości.
Manometr
Manometr otwarty jest przyrządem do pomiaru ciśnienia. W jego skład wchodzi rurka w
kształcę litery U wypełniona cieczą, na przykład rtęcią lub w przypadku niskich ciśnień wodą
czy naftą. Jeden koniec rurki pozostaje otwarty, do drugiego dołącza się zbiornik z gazem,
którego ciśnienie chcemy zmierzyć (rys. 14.8). Manometr ten moŜe być takŜe wykorzystywany do pomiaru ciśnienia cieczy,
Rys. 14.8. Manometr otwarty
pod warunkiem jednak, Ŝe ciecz mierzona i ciecz manometru nie będą się mieszać. Zapiszemy wyraŜenie P + ρgy dla obu ramion rurki mierząc wysokości od podstawy rurki.
Dla lewego ramienia jest ono równe P+ρgy1, a dla prawego Patm + ρgy2. Porównując te
wyraŜenia otrzymujemy
P + ρ ⋅ g ⋅ y1 = Patm + ρ ⋅ g ⋅ y 2
czyli
P = Patm + ρ ⋅ g ⋅ ( y1 − y 2 ) = Patm + ρ ⋅ g ⋅ h
(14.12)
Zatem ciśnienie P gazu w zbiorniku moŜemy znaleźć mierząc róŜnicę h poziomów cieczy w
dwóch ramionach rurki manometru. W sfigmomanometrze, przyrządzie do pomiaru ciśnienia
krwi, mierzymy ciśnienie powietrza w rękawie okręconym wokół ramienia.
Ciśnienie P, występujące w równ. (14.12), jest ciśnieniem bezwzględnym. RóŜnica między
tym ciśnieniem a ciśnieniem atmosferycznym, P-Patm, jest ciśnieniem manometrycznym i jest
dokładnie równa ρgh.
Pomiar ciśnienia krwi za pomocą kaniuli.
W wielu przypadkach badania zwierząt pod narkozą stosuje się bezpośredni pomiar ciśnienia
krwi przez wprowadzenie do tętnicy lub Ŝyły kaniuli — specjalnej cienkiej, szklanej lub plastykowej rurki zawierającej roztwór soli fizjologicznej i środka przeciwdziałającego krzepnięciu krwi. Roztwór soli fizjologicznej styka się z cieczą manometru. Poziom zetknięcia się
cieczy manometru i roztworu soli fizjologicznej powinien być dokładnie na wysokości poziomu wbicia kaniuli lub naleŜy przy odczycie ciśnienia wziąć pod uwagę poprawkę wynika-
jącą z róŜnicy poziomów (rys. 14.9). Obliczając wyraŜenie P+ρgy w odpowiednich punktach
(zob. problem 14-42) znajdujemy, Ŝe ciśnienie krwi PB jest wyraŜone następującym równaniem:
PB = Patm + ρgh − ρ s gh '
Rys. 14.9. Pomiar ciśnienia krwi za pomocą kaniuli
W manometrach słuŜących do pomiaru ciśnienia tętniczego najczęściej stosuje się rtęć
jako płyn wypełniający manometr. JednakŜe w przypadku pomiaru ciśnienia w Ŝyłach, w których ciśnienie jest stosunkowo niskie, zastosowanie rtęci dałoby małą dokładność pomiaru,
poniewaŜ wielkości h byłyby niewielkie i dlatego w manometrze uŜywa się wówczas roztworu soli fizjologicznej.
W badaniach i doświadczeniach fizjologicznych często są wykorzystywane elektromanometry, w których ciecz wypełniająca manometr zamiast zmieniać swój poziom w rurce
ciśnie na membranę powodując jej wygięcie proporcjonalne do mierzonego ciśnienia. Wielkość wygięcia membrany jest przetwarzana w sygnał elektryczny odpowiedniej wielkości,
który porusza piórko urządzenia rejestrującego w sposób ciągły wartość mierzonego ciśnienia.
Mierniki przepływu
Zastosujemy teraz równanie Bernoulliego w pełnej postaci do dwóch mierników przepływu. Po wprowadzeniu pewnych niewielkich modyfikacji mierniki te mogą być wykorzystane zarówno do pomiaru przepływu krwi w naczyniach krwionośnych, jak i do pomiaru
prędkości samolotów lub pomiaru jakiejkolwiek innej prędkości przepływu.
Rurka Venturiego.
W rurce Venturiego (zwęŜce Venturiego) przekrój poprzeczny przewodu jest róŜny w
róŜnych punktach. W miejscach przewęŜeń rurki ciecz przepływa z większą prędkością, zatem zgodnie z równaniem Bernoulliego ciśnienie maleje. Spadek ciśnienia jest miarą prędkości przepływu płynu. Ciśnienie to moŜna zmierzyć za pomocą pionowych rurek manometrycznych wmontowanych w poziomą rurkę podstawową (rys. 14.10a) lub teŜ za pomocą
czujników elektrycznych. Zanim zastosujemy równanie Bernoulliego, musimy wyjaśnić problem moŜliwości jego zastosowania z uwagi na fakt, iŜ płyn w rurkach pionowych pozostaje
w spoczynku, podczas gdy płyn w rurce poziomej jest w ruchu. Ze względu na to, Ŝe punkty
D i C (rys. 14.10b) nie leŜą w tej samej rurce prądu, nie moŜemy do napisania zaleŜności pomiędzy ciśnieniami w punktach C i D zastosować prawa Bernoulliego. JednakŜe zauwaŜmy,
Ŝe gdyby te ciśnienia nie były sobie równe, to płyn przepływałby między punktami, a zatem
poziom wody w rurce pionowej nie byłby ustalony. PoniewaŜ rozpatrujemy stan stacjonarny,
zatem PC = PD, czyli ciśnienie u podstawy rurki pionowej jest równe ciśnieniu panującemu w
przepływającej strudze.
a)
b)
Rys. 14.10. (a) Rurka Venturiego. (b) Powiększenie obszaru rurki, w którym pierwsza pionowa rurka manometryczna łączy się z przewodem przepływowym
Zgodnie z równaniem Bernoulliego wyraŜenie P + ρgy + 1/2ρv2 ma stałą wartość w kaŜdym
punkcie strugi. Stosując równanie Bernoulliego do punktów strugi leŜących na takiej samej
wysokości pod ujściem rurek pionowych, otrzymamy
Z równania ciągłości A1 vx = A2 v2 wynika, Ŝe
Po podstawieniu tego wyraŜenia na v2 do poprzedniego równania otrzymamy
Zatem na podstawie pomiaru róŜnicy ciśnień P1-P2 i znajomości powierzchni przekrojów poprzecznych rurki poziomej A1, A2 moŜemy policzyć v1; w analogiczny sposób moŜna obliczyć
v2.
Rurka Prandtla.
Na rys. 14.11 przedstawiono rurkę Prandtla umieszczoną w strumieniu poruszającego
się płynu. Zakłócenie przebiegu strumienia jest niewielkie — największe zakłócenie występuje w punkcie A, gdzie prędkość płynu jest równa zeru. Dla punktu B moŜna przyjąć, Ŝe prędkość przepływu płynu jest juŜ równa prędkości strumienia niezakłóconego v. Pomijając niewielką róŜnicę wysokości między punktami A i B, otrzymujemy z równania Bernoulliego
1
PA − PB = ρ ⋅ v 2
2
gdzie ρ jest gęstością przepływającego płynu. JeŜeli gęstość płynu zawartego w rurce manometru jest równa ρm, to z porównania ciśnień PC = PD otrzymujemy
Rys. 14.11. Rurka Prandtla umieszczona w strumieniu płynu o stałej prędkości przepływu. Prawe ramię rurki
w kształcie litery U jest połączone z komorą przy otworku B. Lewe ramię jest połączone z komorą
przy otworku A, gdzie prędkość przepływu jest równa zeru
czyli
PA − PB = (ρ m − ρ )gh
Porównując dwa wyraŜenia na PA-PB mamy:
1 2
ρv = (ρ m − ρ )gh
2
Zatem odczyt manometru jest bezpośrednią miarą prędkości przepływu płynu. Tak jak w
przypadku rurki Venturiego, zamiast manometru moŜna wykorzystać elektromanometr.