docWstep do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji
download 
Reklamacja Transkrypt
Wstep do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji
Wstep ˛ do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 1 / 23 Rynki finansowe Rynek towarów/akcji obiektem handlu jest towar (ziemniaki, w˛egiel, ropa) lub dobro umowne (udział w spółce) instrumenty podstawowe sa˛ wielkościami namacalnymi najprostszy do modelowania Rynek walut wymiana abstrakcyjnych obiektów (pieniedzy): ˛ środka do zakupu dóbr symetria spojrzenia Rynek stóp procentowych obiektem handlu jest operacja lokowania i pożyczania pieniedzy ˛ na ustalonych warunkach stopa procentowa jest abstrakcyjnym opisem jednego z warunków inne to: nominał, okres inwestycji... Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 2 / 23 Instrumenty pochodne akcji i walut dwie podstawowe zasady rozliczeń: opcje europejskie i amerykańskie europejska opcja call możliwość zakupu określonej ilości towaru/waluty po ustalonej cenie K w momencie T reprezentacja jako wypłata: max(ST − K , 0) wypłata (ST − K )+ plus zakup towaru na rynku = opcja europejska opcja put (K − ST )+ opcja binarna opcja barierowa Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 3 / 23 Instrumenty pochodne stopy procentowej caplet/floorlet zabezpieczenie przed zbyt wysoka/nisk ˛ a˛ stopa˛ procentowa˛ cap/floor pakiet capletów/floorletów swap zamiana stopy stałej na zmienna˛ i vice versa zamiana stopy kredytu/lokaty swapcja Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 4 / 23 Cele matematyki finansowej 1 budowa złożonych instrumentów finansowych (inżynieria finansowa) 2 wycena instrumentów pochodnych zebezpieczenie wypłat 3 czy jest jak zabezpieczać? CDO (Collateral Debt Obligation) – subprime crisis 4 ocena ryzyka zabezpieczenia Główny wysiłek praktyków skupiony jest na (1) i (2). Nasz cel: WYCENA Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 5 / 23 Realizacja 1 wyabstrahowanie najważniejszych dla wyceny danego instrumentu cech rynku i budowa modelu matematycznego 2 kalibracja modelu 3 wycena −→ metody analityczne i numeryczne 4 Jan Palczewski strategie zabezpieczenia; obliczenie Greeks Wycena opcji Warszawa, 2008 6 / 23 Model Black’a-Scholes’a Instrumenty podstawowe rachunek bankowy ze stopa˛ procentowa˛ r Bt = ert akcja St = S0 eσWt +(µ−σ 2 /2)t , gdzie Wt jest procesem Wienera. dSt = St µdt + St σdWt Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 7 / 23 Założenia modelowe Jest możliwość krótkiej sprzedaży akcji. Nie ma możliwości arbitrażu. Handlowanie jest ciagłe. ˛ Nie ma kosztów transakcji i podatków. Wszystkie instrumenty finansowe sa˛ nieskończenie podzielne. Stopa procentowa pożyczki i lokaty jest identyczna niezależnie od okresu i nominału. Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 8 / 23 Troche˛ teorii... Definicja Wypłata˛ w momencie T nazywamy zmienna˛ losowa˛ mierzalna˛ wzgledem ˛ historii rynku do chwili T . Twierdzenie Jeśli σ 6= 0 to model Black’a-Scholes’a jest zupełny, zaś cena wypłaty X wynosi e−rT EQ (X ), gdzie Q jest miara˛ probabilistyczna˛ taka, ˛ że Bt = ert , oraz St = S0 eσW̃t +(r −σ 2 /2)t , zaś W̃t jest procesem Wienera wzgledem ˛ miary Q. Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 9 / 23 Przykłady optymistyczne 1 Europejska opcja call: X = (ST − K )+ cena = e−rT EQ gdzie Z ∼ N(0, T ). 2 n + o 2 S0 eσZ +(r −σ /2)T − K , Europejska opcja barierowa down-and-out call: ( (ST − K )+ , jeśli min0≤t≤T St > H, X= 0, jeśli min0≤t≤T St ≤ H, gdzie St = S0 eσWt +(r −σ 2 /2)t . Wówczas cena = e−rT EQ (X ) Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 10 / 23 Przykłady nieco mniej optymistyczne 1 Opcja azjatycka call: X = (Save − K )+ , gdzie Save St + St2 + . . . + Stn , = 1 n lub Save 1 = T Z T St dt. 0 Wówczas cena = e−rT EQ (X ). 2 Opcja amerykańska put: (twierdzenie) cena = sup EQ e−r τ (K − Sτ )+ . 0≤τ ≤T τ to moment stopu. Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 11 / 23 Główne problemy kalibracja: znalezienie parametrów modelu stopa procentowa r , zmienność σ, uwaga! stopa zwrotu z akcji µ nie gra żadnej roli przy wycenie policzenie ceny metody analityczne – wyrażenie składajace ˛ sie˛ ze znanych i łatwo obliczalnych funkcji, metody numeryczne – jak sie˛ nie da analitycznie Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 12 / 23 Kalibracja 1 stopa procentowa różna dla różnych okresów – jak wybrać r? 2 σ to zmienność cen akcji (ale to nie działa): s 1 St+∆ log σ = Var ∆ St 3 zmienność implikowana 4 rażacy ˛ brak zgodności modelu z rzeczywistościa˛ Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 13 / 23 Uśmiech zmienności Tego bedzie ˛ dziś sporo. Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 14 / 23 Co robić? Nauczyć sie˛ sprawnie oszukiwać model – obecnie najpowszechniejsza technika w praktyce Budować modele lepiej oddajace ˛ funkcjonowanie rynku – np. model stochastycznej zmienności p dSt = St µdt + St Vt dWt1 , dVt = α(σ − Vt )dt + βVt dWt2 . Ale wtedy jeszcze trudniej policzyć cene˛ =⇒ metody numeryczne. Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 15 / 23 Metody numeryczne Kiedy? Wycena trudniejszych wypłat, w tym wielu powszechnie handlowanych. Wycena w bardziej zaawansowanych modelach. Jak? Monte Carlo Równania różniczkowe czastkowe ˛ (PDE) Drzewa dwumianowe Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 16 / 23 Monte Carlo - teoria Mocne Prawo Wielkich Liczb Niech (Xn ) bedzie ciagiem ˛ niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Wówczas X1 + . . . + Xn → E(X1 ) n Jan Palczewski Wycena opcji p.n. Warszawa, 2008 17 / 23 Monte Carlo - praktyka Jak policzyć cene˛ wypłaty X ? cena = e−rT EQ (X ). Symulacja Niech X1 , . . . , Xn niezależne zmienne losowe o rozkładzie zmiennej X wzgledem ˛ Q. Wówczas X1 + . . . + Xn ≈ EQ (X ) n Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 18 / 23 Oszacowanie błedu ˛ Centralne Twierdzenie Graniczne Niech (Xn ) bedzie ciagiem ˛ niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Wówczas X1 + . . . + Xn − n E(X1 ) √ → N 0, 1 wg. rozkładu. sdev(X1 ) n Symulacja Niech X1 , . . . , Xn niezależne zmienne losowe o rozkładzie zmiennej X wzgledem ˛ Q. Wówczas VarQ (X ) X1 + . . . + Xn . ≈ N EQ (X ), n n Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 19 / 23 Metoda różniczkowa - teoria Twierdzenie Jeśli X = h(ST ), to cena X w momencie t wynosi V (St , t), gdzie funkcja V (s, t) dana jest wzorem V (s, t) = e−r (T −t) EQ h(ST )|St = s . Ponadto, 1 2 ∂ 2 V (s, t) ∂V (s, t) ∂V (s, t) + rs σ s − rV (s, t) + = 0. 2 2 ∂s ∂t ∂s Przykłady: TAK: europejska opcja call/put, opcje binarne NIE: opcje barierowe, azjatyckie Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 20 / 23 Metoda różniczkowa - praktyka Opcja call 1 2 ∂ 2 V (s, t) ∂V (s, t) ∂V (s, t) + rs σ s − rV (s, t) + =0 2 2 ∂s ∂t ∂s V (s, T ) = (s − K )+ , s > 0 lim V (s, t) = 0, t ∈ [0, T ] s→0 lim V (s, t) = 1, t ∈ [0, T ] s→∞ s Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 21 / 23 Drzewo dwumianowe Aproksymacja modelu Black’a-Scholes’a za pomoca: ˛ 2 pu gg33 S2 = S0 u ggggg pu 33 S1 = S0 u XXX1−p XXXuX++ hhhh h h h h S0 VVVVV1−pu pu ff33 S2 = S0 ud VVV++ fffff S1 = S0 d WW 1−pu WWWWW ++ B0 = 1 // B1 = 1 + r ... ... ... ... S2 = S0 d 2 ... // B = (1 + r )2 2 ... Wycena przy pomocy wstecznej rekurencji. Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 22 / 23 Podsumowanie 1 Monte Carlo bardzo uniwersalna (opcje zależne od trajektorii; różne modele), łatwa do zapisania wolna zbieżność (da sie˛ czasami przyspieszyć) 2 Metoda różniczkowa szybka i dokładna daje cała˛ funkcje˛ wyceniajac ˛ a˛ V (s, t) trudna do zapisania (warunki brzegowe, trudne wyprowadzenie równania) 3 Drzewo dwumianowe dobra do opcji niezależnych od trajektorii i opcji amerykańskich aproksymuje tylko model Black’s-Scholes’a (z małymi uogólnieniami) nie nadaje sie˛ do wyceny opcji zależnych od trajektorii Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 23 / 23
