Prof. P. Domanski Poznan, 04.02.2003 Egzamin z analizy dla

Prof. P. Domański
Poznań, 04.02.2003
Egzamin z analizy dla informatyków ANI 213 - grupa A
Proszȩ pisać czytelnie!!!! Przy każdym punkcie w zadaniach zamkniȩtych proszȩ
napisać drukowanymi literami TAK lub NIE (uwaga liczba odpowiedzi TAK waha
siȩ od 0 do 3). Zadania otwarte prosze rozwia̧zywac na odwrocie. Życzȩ Państwu
sukcesu.
ZADANIA:
1. Stosuja̧c wzór Taylora przybliż wielomianem stopnia 3 w otoczeniu punktu
(0, 0) funkcjȩ
f (x, y) = ex sin y.
2. Podaj definicjȩ pochodnej w punkcie odwzorowania f : R3 → R5 .
3. Co możesz powiedzieć o zbieżności i sumie (w różnych sensach tych sÃlów)
szeregu Fouriera funkcji
½
(x − π2 )2 jeśli x ∈ [0, π];
f : [−π, π] → R,
f (x) =
(x + π2 )2 jeśli x ∈ [−π, 0).
1
4. Czy funkcjȩ f : [−π, π] → R, f (x) := |x| można przybliżyć jednostajnie
wielomiananmi z dowolna dokÃladnościa̧?
a) Tak na każdym przedziale postaci [−1, −ε], [ε, 1], ε > 0, ale nie w otoczeniu
zera bo wielomiany sa̧ tam różniczkowalne, a f nie jest.
b) Nie.
c) Tak.
5. Udowodnij, że odwzorowanie ma w punkcie conajwyżej jedna̧ pochodna̧.
6. Funkcja f : K(θ, 2) → R speÃlnia warunek:
1
sup kDf (x)k2 ≤ .
2
x∈K(θ,2)
Czy istnieje funkcja f taka, że
f (θ) = 0,
f ((1, 0, . . . , 0) = 1?
Jeśli tak, podaj przykÃlady, jeśli nie, uzasadnij.
Uwaga: K(a, r) ⊆ Rn oznacza koÃlo otwarte o środku a i promieniu r, θ :=
(0, . . . , 0).
7. Podaj dokÃladna̧ treść twierdzenia Picarda.
8. Rozwia̧ż równanie różniczkowe
x3 x0 = 2 sin t.
2
9. WÃlasność minimum wspóÃlczynników Fouriera (cn ) funkcji cia̧gÃlej 2π-okresowej
f mówi, że:
P
inx
sumuje siȩ do
a) Cia̧g (cn ) to najmniejszy taki cia̧g liczb, że szereg +∞
n=−∞ cn e
danej funkcji f .
b) WspóÃlczynniki Fouriera osia̧gaja̧ minimum.
c) ModuÃl różnicy f i n-tej sumy czȩściowej dowolnego szeregu trygonometrycznego
jest najmniejszy, gdy szereg ten jest szeregiem Fouriera funkcji f .
10. Napisać wzór na styczna̧ w punkcie x0 do powierzchni zadanej równaniem:
{x : G(x) = 0},
gdzie G : Rn → R jest funkcja̧ rózniczkowalna̧.
11. Czy funkcja f : R3 → R dana wzorem:
f (x, y) = xy 3 + yx3
ma ekstremum lokalne w punkcie (0, 0):
a) tak, bo w zerze pochodna siȩ zeruje;
b) tak, bo speÃlnione jest kryterium Sylvestra dodatniej określoności macierzy dla
macierzy pochodnej odwzorowania f w punkcie (0, 0);
c) tak.
12. Para cia̧gów an = (−1)n , bn = 0, n ∈ N:
a) może być cia̧giem wspóÃlczynników Fouriera funkcji cia̧gÃlej 2π-okresowej parzystej;
b) może być cia̧giem wspóÃlczynników Fouriera funkcji cia̧gÃlej 2π-okresowej nieparzystej;
c) nie może być cia̧giem wspólczynników Fouriera funkcji cia̧gÃlej 2π-okresowej.
3
13. Co to jest ja̧dro Dirichleta?
14. Zamień zagadnienie pocza̧tkowe równania różniczkowego
x0 = cos(x2 + t2 ),
x(t0 ) = x0 ,
na postać przy której można stosować twierdzenie Banacha o kontrakcji.
15. Czy dana funkcja jest norma̧ na R3 ?
a) k(x, y, z)k := |x − y| + |z|;
b) k(x, y, z)k := |x|2 + |y|2 + |z|2 ;
c) k(x, y, z)k := min(|x|, |y|, |z|);
4