See PDF file

Twierdzenie
fluktuacyjno-dyssypacyjne
Bogdan Cichocki,
IFT UW
IPPT 09.05.07
Fluktuacje
A
A
t
od łac. fluctuatio – drgania, falowanie,
nazwa wprowadzona przez Mariana Smoluchowskiego
Miary:
( DA )
2
,
DADB
DA(t )DA(0) ,
DA(t )DB (0)
Dyssypacja
d A = A - Aeq
Aeq
t
od łac. dissipatio – rozpraszanie
charakterystyka - np. admitancja
Y (w )
Druga zasada termodynamiki
termostat
T
niemożliwość zbudowania
Q
W
perpetuum mobile II
rodzaju
Niezmienniczość dynamiki mikroskopowej
ze względu na zmianę t
-t
F×X
praca elementarna:
siła uogólniona, przesunięcie uogólnione
moc:
·
J =d X
F × J,
strumień, prąd
prawo makroskopowe:
(liniowe)
J (w ) = J w eiwt ,
F (w ) = Fw eiwt
J (w ) = Y (w ) F (w )
admitancja
Twierdzenie fluktuacyjno-dyssypacyjne:
+¥
ò
dt J (0) J (t ) eiwt = k BT Y (w )
wersja klasyczna
0
średnia energia oscylatora
o częstotliwości ω
hw
hw
E b ( hw ) =
+
2 exp(hbw ) - 1
+
operacje symetryzacji i antysymetryzacji
wersja kwantowa
Twierdzenie Wienera-Chinczyna:
T
1
xw =
T
xw
2
iwt
dt
x
(
t
)
e
,
ò
T ® +¥
o
+¥
=
ò
dt x(0) x(t ) eiwt ,
-¥
x2
proces stacjonarny
1
=
2p
+¥
ò
-¥
xw
2
dw ,
x(t )
Harry Nyquist (1889-1976)
H. Nyquist, Phys.Rev. 32,(1928),
(po pracy J.B. Johnsona o szumach w obwodach elektrycznych)
T
R1
R2
E1 , I1 = E1 ( R1 + R2 )
1
E2,w
2p
2
E2 , I 2 = E2 ( R1 + R2 )
R1
1
d
w
=
E1,w
2
( R1 + R2 )
2p
moc wydzielona na oporniku (1) od
fluktuacji siły elektromotorycznej na
oporniku (2) w przedziale (ω, ω+dω)
i
2
R2
dw
2
( R1 + R2 )
vice versa
T
R
Ew
R
2
= f (w , T )
uniwersalna funkcja ω i T
średnia energia jednego
modu (fali stojącej) – kBT,
zasada ekwipartycji energii
R
R
f (w , T ) = 2k BT
Przypadek ogólny
J w = Y (w ) Fw
T
Y (w )
Fw
2
= 2k BT Re Z (w )
Y (w ) =
1
= Z -1 (w ),
Rw + iX w
Jw
2
= 2k BT Re Y (w )
uogolnienie tw. Nyquista - Callen, Welton (1951)
( t « -t ) !!
Równanie Langevina bez pamięci
du
m
= -g u (t ) + F (t )
dt
F (t ) = 0,
F (t1 ) F (t2 ) = Gd (t1 - t2 )
u 2 (t ) = k BT m ,
G = 2g k BT ,
siła stochastyczna
współczynnik oporu
biały szum
ekwipartycja energii
Równanie Langevina bez pamięci cd.
du
m
= -g u (t ) + F (t )
dt
tw. F-D
Fw
Û
2
1
Y (w ) =
-imw + g
= 2 k BT g
F (t1 ) F (t2 ) = 2k BT gd (t1 - t2 )
biały szum
Równanie Langevina z pamięcią (wersja poprawna)
t
du (t )
m
= - ò g (t - t ¢)u (t ¢) dt ¢ + F (t ),
dt
-¥
F (t ) = 0
Jest to związek pomiędzy u(t) i F(t) i nic więcej !!
Ich wyznaczenie wymaga odwołania się do tw. F-D
+¥
ò
iwt
u (t )u (0) e dt = k BT Y (w ),
0
1
Y (w ) =
-imw + gˆ (w )
t
d
m
u (t )u (0) = - ò g (t - t ¢) u (t ¢)u (0) dt ¢,
dt
0
u 2 (0) = k BT m
Równanie Langevina z pamięcią (wersja naciągana)
t
du (t )
m
= - ò g (t - t ¢)u (t ¢) dt ¢ + F (t )
dt
0
F (t )u (0) = 0
Kubo
powołanie się na przyczynowość
t
d
m
u (t )u (0) = - ò g (t - t ¢) u (t ¢)u (0) dt ¢
dt
0
tw. F-D !!
Felderhof (1978):
t
F (t + t )u (t ) = ò g ( t ¢ + t ) u (t ¢)u (0) dt ¢,
0
t -
dowolne
Równanie Langevina bez pamięci – kryterium stosowalności
m
du (t )
= -g u (t ) + F (t ),
dt
t
du (t )
m
= - ò g (t - t ¢)u (t ¢) dt ¢ + F (t )
dt
0
matom
=1
M
błąd !!!
r a2
tB =
h
czas relaksacji prędkości cząstki Browna
o gęstości ρ
rc a 2
tv =
h
czas relaksacji procesów w płynie
o gęstości ρc
tv
=1
tB
Þ
rc
=1
r
ruchy Browna w gazach !!!
Lorentz (1911)
Podsumowanie
1. Występowanie fluktuacji nie może prowadzić do łamania II zasady
termodynamiki – rozwinięcie tej konstatacji prowadzi do twierdzenia F-D.
2. W ramach teorii liniowej odpowiedzi twierdzenie to wyprowadzane jest po
wykonaniu szeregu żmudnych przekształceń z wykorzystaniem niezmienniczości
dynamiki mikroskopowej ze względu na odbicie t na –t. W związku z tym często
twierdzenie F-D traktowane jest jako niezbyt głęboki wynik manipulacji
algebraicznych.
3. Tymczasem twierdzenie to ma charakter podstawowy i wszelkie próby jego
ignorowania, ominięcia lub modyfikacji kończą się tak samo boleśnie –
konstrukcją perpetuum mobile II rodzaju.
Einstein (1905)
Równowagowy rozkład molekuł roztworu w
polu stałej siły F:
F
• wzór barometryczny dla koncentracji n(x)
RT dn
Fn =0
N A dx
x
• przepływ molekuł na skutek działania siły F
( prawo Stokesa!) jest zrównoważony przez
strumień związany z procesem dyfuzji
F
dn
n-D =0
6ph a
dx
Einstein (1905)
lim
t ®+¥
(Dx(t ))2
2t
R T
=D=
N A 6ph a