LISTA 6

LISTA 6 (na 2 ćwiczenia)
POCHODNA FUNKCJI. DEFINICJA. INTERPRETACJA.
REGUŁY RÓŻNICZKOWANIA
Zad.6.1.Rysunki 6.1–6.6. przedstawiają wykresy funkcji y = f ( x ) . Przeanalizować
położenie stycznej do wykresu w różnych punktach krzywej i na tej podstawie
naszkicować wykres funkcji y = f ′ ( x ) .
Rys.6.1.
Rys.6.2.
Rys.6.3.
Rys.6.4.
Rys.6.5.
Rys.6.6.
Zad.6.2. Korzystając z definicji wyprowadzić wzory na pochodne podanych funkcji
b) f ( x ) = x 2 + 2 x
a) f ( x ) = 3 − 2x , x ∈ R ;
1
, x≠ −1 ;
x+ 1
d) f ( x ) =
e) u ( x ) = f ( x ) ⋅ g( x ) , x ∈ D f ` ∩ D g` ;
f) h ( x ) =
c) f ( x ) =
x+ 2
, x∈ R ;
, x> −2
;
1
, f (x ) ≠ 0 , x ∈ D f ` .
f (x)
Zad.6.3. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne jednostronne oraz pochodna
podanej funkcji we wskazanym punkcie. Naszkicować wykres funkcji.
2
a) y( x ) = x − 4 , x 0 = 2 ;
3
b) f ( x ) = sin x , x 0 = 0 ;
c) g( x ) = x 2 ⋅ sgn x , x 0 = 0 ;
 1 − x 2
d) u ( x ) = 
 ( x − 2) 2
dla x ≤ 1
dla
x>1
, x0 = 1
.
Zad.6.4. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji f ( x ) = x α i reguł różniczkowania,
obliczyć pochodne podanych funkcji.
a) y = x 9 − 5x 7 +
3 x 5 + 2x − 7 ,
c) y =
3 1
1
−
+
,
x x 2 2x 3
e) y =
5x 2
x2
,
−
+
3x
x 7x 2
2 + 4 x − x x + 3x 2 ⋅ 3 x ,
1
2
3
+
d) y = 3 −
,
x x x x3 x
b) y =
3
x
f) y =
3
8
x 4 3
−
+ 3
+ 2 .
16
9x
(2 x ) 2
Zad.6.5. Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu lub ilorazu funkcji, obliczyć
pochodne podanych funkcji.
(
)(
)
a) y = x 5 + 1 ⋅ x 7 − 1 ,
2x + 1
d) y =
,
x− 2
g) y =
tgx − ctgx
,
x
b) y = x ⋅ sin x ,
e) y =
h) y =
c) y = x 2 ⋅ cos x ,
4
x2
2
x + x+ 2
,
x2
,
5 + 2 sin x
3
f) y = 2 x
,
x− 2
x sin x + cos x
i) y =
.
sin x − x cos x
Zad.6.6. Obliczyć pochodne podanych funkcji. Zwrócić uwagę, że są to funkcje złożone
y = h (g ( x )) , gdzie g( x ) = ax + b , więc g′ ( x ) = a .
a) y = ( x + 1)11 ,
b) y =
x + e , c) y =
1
(2x − 3)
2
, d) y =
π

3 sin  x −  .
4

Zad.6.7. Dla każdej z podanych funkcji y = f ( x ) wyznaczyć takie funkcje y = h (u )
i u = g( x ) , że y = h (g( x )) , a następnie obliczyć pochodną funkcji f(x) .
(
a) y = 1 −
)
x 8 ,
b) y = sin 2 x ,
c) y =
π
x+ 1
3
, d) y = cos  2 x −  .
6
x+ 2

Zad.6.8. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = f ( x ) w punkcie ( x 0 , f ( x 0 ) ) .
Każdy przykład zilustrować rysunkiem.
3
2x − 1
, x0 = 2 .
a) f ( x ) = sin 2x , x 0 = 0 ; b) f ( x ) = tgx , x 0 = π ; c) f ( x ) =
2
x− 1
Zad.6.9. Każde z poniższych zadań zilustrować rysunkiem.
x+ 2
przecina oś OX.
x+ 1
π

b) Wyznaczyć kąt, pod jakim wykres funkcji f ( x ) = 2 sin  x +  przecina oś OY.
6

c) Wyznaczyć kąt, pod jakim przecinają się wykresy funkcji
a) Wyznaczyć kąt, pod jakim wykres funkcji f ( x ) = −
x2 − 1
4 − x2 .
f (x) =
, g( x ) =
2
4
Zad.6.10.
A) Obliczyć przybliżoną wartość przyrostu funkcji f(x) , gdy jej argument zmieni się
od wartości x0 do wartości x0 + ∆x .
a) f ( x ) =
b) f ( x ) =
1 + cos x
1 − cos x
1
(1 +
tgx ) 2
, x0 =
π
3
, x0 =
π
1
+
;
3 100
61
, x0 + ∆ x =
π .
360
, x0 + ∆ x =
π
6
B) Krawędź sześcianu ma 8 cm długości. Obliczyć, stosując różniczkę, bezwzględną i względną zmianę pola powierzchni oraz objętości tego sześcianu,
gdy krawędź zostanie powiększona o 0,1 cm.
Zad.6.11.
a) Bok kwadratu ma długość ( 10,0 ± 0,1) cm . Z jakim błędem bezwzględnym
i względnym zostanie obliczony obwód , a z jakim pole tego kwadratu ?
b) Średnica kuli ma długość ( 24,0 ± 0,3 ) cm . Z jakim błędem bezwzględnym
i względnym zostaną obliczone : długość równika, pole powierzchni oraz
objętość tej kuli ?
Jolanta Sulkowska