Analiza zespolona Lista 8 Zad 1 (Lemat Jordana). Niech funkcja f

Analiza zespolona
Lista 8
Zad 1 (Lemat Jordana). Niech funkcja f będzie taka, że wielkość
M (R) = max |f (z)|
z∈Γ(R)
dąży do zera, gdy R → ∞. Wykazać, że dla dowolnego ε > 0
Z
lim
f (z)eiεz dz = 0.
R→∞
Γ(R)
Zad 2. Sformułować i wykazać wersję Zadania 1, która miałaby zastosowanie na dolnej
półpłaszczyznie.
Zad 3. Znaleźć jawną postać funkcji ϕ(t) zmiennej rzeczywistej danej wzorem
Z
1 +∞ eitx
dx.
ϕ(t) =
π −∞ 1 + x2
Zad 4. Niech a, b > 0. Obliczyć całki
Z +∞
Z +∞
cos ax
x sin ax
a)
dx,
b)
dx,
2
2
x +b
x 2 + b2
−∞
−∞
Z
d)
0
+∞
cos ax
dx,
x 2 + b2
Z
e)
0
+∞
x sin ax
dx,
x 2 + b2
Zad 5. Funkcję sinus całkowy określa się wzorem
Z +∞
sin t
dt.
si x = −
t
x
Obliczyć wartość tejże funkcji w zerze.
+∞
Z
c)
−∞
Z
+∞
f)
−∞
sin x
dx,
(1 + x2 )4
sin x
dx.
(x + i)