Seria 5. - drgania harmoniczne

Seria 5. - drgania harmoniczne
1. Jaka będzie częstość własna a) szeregowego i b) równoległego połączenia sprężyn obciążonych masą
m o stałych sprężystości k1 i k2 ?
Odp. ω =
p
Kz /m, gdzie a) Kz =
k1 k2
k1 +k2 ,
b) Kz = k1 + k2
2. Na nieważkiej sprężynie wisi kulka. Gdy do kulki dodano jeszcze pewien ciężarek, okazało się, że
częstość drgań zmieniła się dwukrotnie, a punkt równowagi przesunął się o ∆x. Znaleźć częstość
drgań kulki zawieszonej na sprężynie.
Odp. ω =
q
3g
∆x
3. Ciężarek o masie m,pzawieszony na nieważkiej sprężynie o stałej sprężystości k i długości swobodnej
l, drga z częstością k/m. Jak zmieni się częstość drgań ciężarka, gdy kawałek sprężyny o długości
a zostanie odcięty?
Odp. ω =
q
lk
(l−a)m
4. Na poziomym doskonale gładkim stole leży, przymocowane sprężyną do ściany ciało o masie M . W
ciało trafia pocisk o masie m lecący poziomo z prędkością v i zostaje w nim. Po zderzeniu ciało wraz
z pociskiem wykonuje drgania harmoniczne z amplitudą A. Wyznaczyć częstość tych drgań.
Odp. ω =
mv
(m+M )A
5. Ciało o masie m porusza się ze stałą prędkością v w kierunku sprężyny o stałej sprężystości k. O ile
ściśnie się sprężyna do chwili, w której ciało zatrzyma się, jeżeli współczynnik tarcia dla powierzchni
znajdującej się bezpośrednio pod sprężyną wynosi f ? Jaką prędkość będzie miało ciało kiedy sprężyna
powróci do długości równowagowej?
Odp. ∆x =
q
mg
k (
f2 +
kv 2
mg 2
− f ), v 0 =
p
v 2 − 4gf ∆x
6. Jeżeli pewną sprężynę o stałej sprężystości k rozciągnięto o ∆x w stosunku do jej długości równowagowej, to jaką pracę należy wykonać, aby rozciągnąć ją dodatkowo o ∆y?
Odp. W = k2 (∆y 2 + 2∆x∆y)
7. Na sprężynie o długości d zawieszamy nieruchomą masę m. Pod wpływem tej masy sprężyna rozciąga
się do długości d + a. Następnie druga taka sama masa m spada z wysokości a na pierwszą masę,
zderzając się z nią niesprężyście. Znajdź okres drgań mas po zderzeniu i ich amplitudę.
q
√
Odp. T = 2π 2a
g , A=a 2
8. Na sprężynie wisi szalka, pod wpływem której sprężyna rozciąga się o odcinek d. Na szalkę z wysokości
h spada ciężarek, zderzając się z nią niesprężyście. Znajdź okres i amplitudę drgań, jeżeli stosunek
masy ciężarka do masy szalki wynosi η.
p
p
Odp. T = 2π dg −1 (1 + η), A = ηd 1 + 2hd−1 (1 + η)−1
9. * Dwa cylindryczne bębny o jednakowych promieniach szybko obracają się w przeciwnych kierunkach,
odległość między środkami bębnów wynosi l. Na bębny położono swobodnie jednorodny pręt, jego
środek ciężkości jest bliżej jednego bębna. Współczynnik tarcia między prętem a każdym bębnem
wynosi f . Udowodnij, że pręt wykonuje drgania harmoniczne. Wyznacz częstość drgań pręta.
Odp. ω =
p
2f g/l
10. W rurce o przekroju S zgiętej w kształcie litery ”U” znajduje się słup wody o długości l, przy czym
w chwili początkowej poziom wody w jednym ramieniu rurki jest wyższy niż w drugim. Jaki będzie
okres drgań słupa wody (pominąć siły lepkości)?
Odp. T = 2π
q
l
2g
11. Areometr (szklana walcowa rurka) o ciężarze P i średnicy d pływa w cieczy. Gdy zanurzy się go
i puści, zacznie wykonywać drgania z okresem T . Przyjmując, że drgania są nietłumione, znaleźć
gęstość cieczy ρ, w której pływa areometr.
Odp. ρ =
16πP
T 2 d2 g 2
1
12. Wyobraźmy sobie szyb przecinający kulę ziemską wzdłuż średnicy. Podaj równania ruchu ciała, które
wpadło w ten szyb, biorąc pod uwagę zmienną wartość siły ciężkości wewnątrz Ziemi. Oblicz czas, po
którym ciało osiągnie środek Ziemi oraz prędkość, z jaką go minie. Wskazówka: zakładamy, że Ziemia
ma stałą gęstość.
Odp. r(t) = R cos(
q
g
R t)
13. Średnia odległość między wybojami na drodze wynosi d. Jaka jest stała sprężystości resoru samochodu
o czterech kołach, jeśli jadąc z prędkością v samochód wpadł w rezonans.
Odp. k =
π2 v2 m
d2
14. Na pionowo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek, co spowodowało wydłużenie sprężyny o l. Ciężarek
wprawiono w drgania, odciągając go w dół i puszczając. Jaką wartość powinien mieć współczynnik
tłumienia γ, aby: a) po czasie τ amplituda zmalała do 1/α wartości początkowej, b) ciężarek powrócił
aperiodycznie do położenia równowagi, c) logarytmiczny dekrement tłumienia był równy λ.
Odp.: a) γ =
ln(α)
τ
b) γ =
q
g
l
c) γ =
s
g
2
l 1+ 4π2
λ
15. * Znaleźć ogólne rozwiązanie problemu oscylatora harmonicznego z tłumieniem, bez wymuszenia,
jeżeli częstość drgań własnych oscylatora wynosi ω0 , zaś współczynnik tłumienia a) γ > ω0 b) γ < ω0 .
Naszkicować przykładową zależność położenia oscylatora od czasu. Rozważyć układ RLC.
16. * Na nieważkiej sprężynie o stałej sprężystości k i długości swobodnej l0 wisi klocek częściowo zanurzony w cieczy o gęstości ρ. Górny koniec sprężyny zamocowany jest na wysokości H nad poziomem
cieczy. Klocek ma masę m, długość h i przekrój poprzeczny s. Znaleźć ruch klocka wychylonego z
położenia równowagi, jeśli podczas ruchu klocek jest zawsze częściowo zanurzony w cieczy. Pominąć
tarcie oraz zmianę poziomu cieczy podczas ruchu klocka.
Odp. x(t) = A cos(ωt + ϕ) +
mg+ρgs(H−h)+kl0
,
k+ρgs
gdzie ω =
q
ρgs+k
m
17. * Klocek o masie m spoczywający na stole zamocowano między dwiema sprężynami o takich samych
długościach swobodnych l0 o różnych współczynnikach sprężystości k1 i k2 . Szerokość klocka jest
zaniedbywalnie mała w porównaniu z odległością pomiędzy punktami zamocowania sprężyn, która
wynosi L > 2l0 . W pewnej chwili spoczywającemu klockowi nadano prędkość v. Znaleźć zależność
położenia klocka od czasu, jeżeli porusza się on bez tarcia.
Odp. x(t) =
v
ω
sin ωt +
(k1 −k2 )l0 +k2 L
,
k1 +k2
ω=
q
k1 +k2
m
18. * Dwie jednakowe kulki o masie m połączono sprężyną o stałej sprężystości k i długości swobodnej
l0 , a następnie każdą z kul naładowano takim samym ładunkiem q. Znaleźć zależność położenia kulek
od czasu, jeśli w chwili początkowej kulki znajdują się w odległości l0 jedna od drugiej i ich prędkości
są równe zeru. Założyć, że amplituda drgań jest dużo mniejsza od l0 .
µl0
Odp. r(t) = − 2(k+µ)
cos ωt + l0 +
µl0
2(k+µ) ,
ω=
q
2(k+µ)
m ,
µ=
q2
2πε0 l03
19. * Układ składa się z dwóch kul o masie m, naładowanych ładunkami +q i −q połączonych sprężyną o
stałej sprężystości k i długości swobodnej l0 . W przybliżeniu małych drgań znaleźć zależność położenia
kulek od czasu, jeśli w chwili t = 0 kulki spoczywały w odległości l0 od siebie.
Odp. x1,2 (t) =
± 2ωη 2
cos ωt ∓
η
2ω 2 ,
r
ω=
2k
m
+
q2
,
mπε0 l03
η=
q2
2πε0 l02 m
20. * Klocek o masie m zamocowany między dwiema sprężynami o współczynnikach sprężystości k może
ślizgać się po stole. Współczynnik tarcia wynosi f . Klocek wychylono z położenia równowagi na
odległość A0 i puszczono. Znaleźć amplitudę An na jaką klocek oddali się od położenia równowagi po
n-krotnym przejściu przez to położenie, oraz oszacować, ile razy klocek minie położenie równowagi
zanim się zatrzyma.
h
k
Odp. An = (−1)n A0 − n µmg
, nmax = A0 µmg
−
k
2
1
2
i