spis treści

SPIS TREŚCI
Stosowane oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1. Wstęp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Geometria fraktalna a wizualizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Układy odwzorowań iterowanych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Cel, zakres i teza pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Układ pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Podstawy teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Zupełność, zwartość i twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym . . . . . . . . . . .
2.3. Układ odwzorowań iterowanych i atraktor IFS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Układ odwzorowań iterowanych z prawdopodobieństwami i miara niezmiennicza . . . .
2.5. Momenty zwykłe pierwszego i drugiego rzędu miary niezmienniczej IFSP . . . . . . . . . .
2.6. Elementy teorii łańcuchów Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
17
20
26
29
32
3. Aproksymacja – algorytmy ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Iterowanie operatora Hutchinsona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Algorytm adaptacyjnych odcięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Opis i analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Wyznaczanie stałych Lipschitza odwzorowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Gra w chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Opis algorytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Analiza w przypadku nieskończonej liczby iteracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Analiza w przypadku skończonej liczby iteracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Alternatywny dowód poprawności algorytmu w przypadku nieskończonej liczby
iteracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
39
40
45
58
58
59
67
81
83
4. Aproksymacja na  -siatkach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1. Czas ucieczki i funkcja charakterystyczna atraktora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2. Zmodyfikowany algorytm adaptacyjnych odcięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3. Układ  -IFSP i dyskretna gra w chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4. Algorytm minimalnego rysowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5. Wyznaczanie maksymalnego zbioru niezmiennicznego dyskretnego operatora Hutchinsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.1. Uwagi wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.2. Iterowanie dyskretnego operatora Hutchinsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5.3. Usuwanie tła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5. Figury ograniczające – kule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1. Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2. Algorytm iteracyjny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3. Optymalizacja środka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4. Wyważanie atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5. Koperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6. Podejście adaptacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.7. Punkty rozpinające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.8. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
280
Spis treści
6. Figury ograniczające – wielokąty i wielościany wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1. Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2. Prostopadłościany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2.1. Algorytmy pośrednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.2. Algorytmy bezpośrednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3. Wielokąty i wielościany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.1. Programowanie liniowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.2. Odcinanie wierzchołków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.3.3. Owijanie atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7. Wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem i odległości punktu od atraktora . . . . 178
7.1. Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.2. Wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2.1. Hierarchia figur ograniczających. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2.2. Drzewo figur ograniczających podzbiory atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.2.3. Adaptacyjne wyznaczanie przecięcia – algorytmy wzorcowe . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.2.4. Adaptacyjne wyznaczanie przecięcia a geometria figur ograniczających. . . . . . . . 189
7.3. Wyznaczanie odległości punktu od atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8. Estymacja wektorów normalnych w punktach atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.1. Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2. Wygładzanie atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.2.1. Metody bezpośrednie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.2.2. Metody hierarchiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3. Wykorzystanie z-bufora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.4. Metoda gradientu funkcji odległości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5. Regresja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.6. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9. Wizualizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.1. Atraktory w przestrzeni 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.1.1. Operator Hutchinsona a wizualizacja atraktorów i miar niezmienniczych . . . . . . . 210
9.1.2. Gra w chaos a metody wizualizacji – kolorowanie IFS i wykradanie kolorów . . . 213
9.1.3. Wykorzystanie algorytmu adaptacyjnych odcięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.1.4. Inne metody wizualizacji geometrii atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.1.5. Wizualizacja funkcji odległości. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.1.6. Wizualizacja czasu ucieczki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.7. Wizualizacja funkcji potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.2. Atraktory w przestrzeni 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2.1. Uwagi wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2.2. Zastosowanie metody śledzenia promieni do wizualizacji geometrii atraktorów
IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.2.3. Obrazowanie miar niezmienniczych IFSP przy użyciu wizualizacji wolumetrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.2.4. Realistyczna wizualizacja geometrii atraktorów IFS w czasie rzeczywistym . . . 249
10. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Dodatki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Summary. Geometric algorithms for visualization of fractals of iterated function systems . . . . . 277