algorytmy geometryczne w wizualizacji fraktali układów

P R A C E N A U K O W E P O L I T E C H N I K I WA R S Z AW S K I E J
z. 178
Elektronika
2011
Tomasz Martyn
Instytut Informatyki Politechniki Warszawskiej
ALGORYTMY GEOMETRYCZNE
W WIZUALIZACJI FRAKTALI
UKŁADÓW ODWZOROWAŃ ITEROWANYCH
Rękopis dostarczono 16.03.2011 r.
W pracy przedstawiono i przeanalizowano algorytmy rozwiązywania podstawowych problemów geometrycznych pojawiających się w wizualizacji komputerowej obiektów fraktalnych
opisywanych przy użyciu układów odwzorowań iterowanych (IFS) – atraktorów IFS oraz miar
niezmienniczych IFSP. Przedstawiono również – wykorzystujące te algorytmy – metody obrazowania wymienionych obiektów. Zagadnienia omawiane w pracy obejmują: aproksymację
tych obiektów, w tym ich aproksymowanie na równomiernych siatkach dyskretnych; wyznaczanie wypukłych zbiorów o zadanej geometrii zawierających atraktory IFS, w tym kół i kul
oraz wielokątów i wielościanów wypukłych; wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem
oraz obliczanie odległości punktu przestrzeni od atraktora; szacowanie wektorów normalnych
w punktach atraktora; metody obrazowania rozważanych obiektów zlokalizowanych przestrzeni
dwu- i trójwymiarowej. Większość z omawianych algorytmów zaprezentowano w formie pseudokodu, który powinien być zrozumiały dla każdego czytelnika znającego dowolny język programowania proceduralnego.
Efektywne algorytmy rozwiązywania wymienionych problemów umożliwiają m.in. dokonywanie realistycznej wizualizacji atraktorów IFS oraz miar niezmienniczych IFSP w czasie rzeczywistym przy wykorzystaniu współczesnego sprzętu graficznego. Nadto, po dokonaniu implementacji odpowiednich algorytmów rozwiązujących te problemy, obrazowanie może być dokonywane
za pomocą istniejących aplikacji graficznych. Implementacje te mogą również posłużyć jako niezbędny element do wizualizowania omawianych obiektów przy użyciu powszechnie stosowanych
API graficznych, takich jak OpenGL lub Direct3D. W szczególności implementacje te mogą zostać
zastosowane jako moduły rozszerzające funkcjonalność istniejących silników graficznych i fizycznych o możliwość przetwarzania modeli opartych na specyfikacjach IFS. Potencjalny zakres zastosowań problematyki podjętej w pracy jest bardzo szeroki i rozciąga się od wizualizacji naukowej,
poprzez rozrywkę (gry komputerowe i wideo), do sztuki nowoczesnej.
Celem pracy jest zebranie i usystematyzowanie rozwiązań do tej pory rozproszonych w literaturze dotyczącej zarówno grafiki komputerowej, jak i stricte fraktali oraz matematycznej, w tym rezultatów wieloletnich badań przedstawianych przez autora w jego indywidualnych publikacjach.
Niektóre z rezultatów, zarówno tych uzyskanych poprzednio przez autora, jak i przez innych ba-
6
Stosowane oznaczenia
daczy, zostały w niniejszej pracy rozszerzone i zaktualizowane, pewne zaś zostały przedstawione
w formie zawężonej do kontekstu tematu pracy.
Słowa kluczowe: fraktal, atraktor IFS, układ odwzorowań iterowanych, algorytmy geometryczne, grafika komputerowa, wizualizacja
STOSOWANE OZNACZENIA

N
N0
Z
R
R+
Rn
Rm×n
2X
min
max
inf
sup
. , .
|| x ||
|| x ||E , || x || , || x || p
|| M ||E , || M || , || M ||F
| A|
A
A
(X ,d)
diam( A)
B ( x, r )
B ( x, r )
N ( A,  )
conv( A)
f ( A)
f 1 ( A)
id , id X
f g
f k
f|A
Lip( f ), Lip d ( f )
d e
d E , d
d ( x, A)
h( A, B )
spt
f #
– zbiór pusty
– zbiór liczb naturalnych
– zbiór liczb naturalnych z zerem
– zbiór liczb całkowitych
– zbiór liczb rzeczywistych
– zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
– przestrzeń n-elementowych wektorów liczb rzeczywistych
– przestrzeń macierzy m×n nad ciałem liczb rzeczywistych
– zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X
– minimum zbioru
– maksimum zbioru
– kres dolny zbioru
– kres górny zbioru
– zaokrąglenie liczby w dół, zaokrąglenie liczby w górę
– norma wektora
– norma euklidesowa, norma maksimum, norma p wektora
– norma spektralna, norma maksimum, norma Frobeniusa macierzy
– moc (liczność) zbioru
– brzeg zbioru
– domknięcie zbioru
– przestrzeń metryczna z metryką d
– średnica zbioru
– kula otwarta o środku w punkcie x i promieniu r
– kula domknięta o środku w punkcie x i promieniu r
– otoczenie epsilonowe (otwarte) zbioru
– otoczka wypukła zbioru A
– obraz zbioru przy odwzorowaniu f
– przeciwobraz zbioru przy odwzorowaniu f
– odwzorowanie identycznościowe, odwzorowanie identycznościowe na
przestrzeni X
– złożenie odwzorowań
– k-krotne złożenie odwzorowania
– restrykcja odwzorowania do zbioru A
– stała Lipschitza odwzorowania, stała Lipschitza odwzorowania względem metryki d
– równoważność metryk
– metryka euklidesowa, metryka maksimum
– kres dolny odległości punktu od punktów zbioru
– odległość Hausdorffa zbiorów
– nośnik miary 
– obraz miary  przy odwzorowaniu f