optymalizacja wartości pola magnetycznego w pobliżu linii

optymalizacja wartości pola magnetycznego w pobliżu linii

P O Z N A N UN I VE RS I T Y O F T E C HN O L O G Y ACA D E MI C J O URN A L S
No 81
Electrical Engineering
2015
Mikołaj KSIĄŻKIEWICZ*
OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO
W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ
Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO
Praca przedstawia program napisany w języku C++, w którym zaimplementowano
procedury do obliczania pola magnetycznego generowanego przez linię napowietrzną
oraz algorytm genetyczny do optymalizacji parametrów układu redukującego wartość
pola magnetycznego w obszarze zainteresowania. Model matematyczny został
uproszczony do układu dwuwymiarowego. Zmianę rozkładu pola uzyskano
wprowadzając do układu pętlę przewodzącą, której położenie oraz stopień kompensacji
podlega optymalizacji. Przykłady działania programu podano dla linii jednotorowej o
układzie poziomym oraz trzech różnych konfiguracji pętli ekranujących.
SŁOWA KLUCZOWE: algorytm genetyczny, linia napowietrzna, optymalizacja, pole
magnetyczne
1. WPROWADZENIE
Wzrost zainteresowania wpływem pół elektromagnetycznych generowanych
przez urządzenia elektryczne (w tym elektroenergetyczne) na organizmy żywe,
w szczególności na człowieka, doprowadził do intensyfikacji badań w tym
obszarze. Dotyczą one głównie metod obliczania rozkładu pola
elektromagnetycznego generowanego przez urządzenia elektryczne oraz
sposobów na redukcję ich wartości. Bezpośrednio z tym związane są również
zagadnienia optymalizacji parametrów instalacji ekranujących w celu
maksymalizacji ich skuteczności, lub redukcji kosztów takich rozwiązań.
Wpływ na wartość pola magnetycznego generowanego przez napowietrzną
linię elektroenergetyczną mają takie czynniki jak:
 natężenie prądu płynącego przez przewody fazowe,
 odległość przewodów fazowych od ziemi,
 odległości pomiędzy przewodami różnych faz lub wiązkami przewodów,
jeżeli stosowane są przewody wiązkowe,
 geometryczne rozmieszczenie przewodów (w liniach dwu- i wielotorowych
wzajemne usytuowanie przewodów lub wiązek tej samej fazy) [3].
__________________________________________
* Politechnika Poznańska.
88
Mikołaj Książkiewicz
Parametry te są zależne od konstrukcji linii (poza wartością prądu) i późniejsze
zmiany są praktycznie niemożliwe. W celu dalszej redukcji natężenia pola można
stosować układy dodatkowe, takie jak na przykład przewodzące pętle ekranujące.
Jest to szczególnie istotne jeśli występuje potrzeba modyfikacji istniejącej instalacji.
Optymalizacja w tym zakresie miałaby na celu uzyskanie maksymalnej
efektywności przy modyfikacji kilku zadanych parametrów ekranu magnetycznego.
Celem pracy jest przedstawienie programu, który pozwala na wyznaczanie
wartości natężenia pola magnetycznego w dowolnym punkcie w przestrzeni wokół
linii napowietrznej, w przypadku braku układów ekranujących jak i gdy są one
obecne. Drugą częścią jest zaimplementowany algorytm optymalizacji utworzony w
formie algorytmu genetycznego, który dobiera optymalne położenie pętli
ekranujących. Przykłady działania programu podano dla linii jednotorowej o
układzie poziomym, oraz trzech różnych konfiguracji ramek ekranujących.
2. OBLICZANIE POLA MAGNETYCZNEGO WOKÓŁ LINII
NAPOWIETRZNEJ
W badaniach obliczano wartości pola magnetycznego w przestrzeni wokół
linii napowietrznej, której przykładowy układ geometryczny przedstawiono na
rysunku 1. Analizie podlegała wartość indukcji magnetycznej wyznaczona
w punktach a1,…, a4, które reprezentują obszar zainteresowania.
Rys. 1. Przewody fazowe i pętle ekranujące umieszczone w pobliżu obszaru zainteresowania (Ii,
Ik – prądy i-tej i k-tej pętli; Ip1…Ip3 – prądy fazowe linii; si, sk – szerokości pętli i-tej i k-tej;
d(k2,p1) – odległość drugiego odcinka pętli k-tej od pierwszej fazy)
Przyjęte założenia:
 przewody fazowe są proste i nieskończenie długie, umieszczone na
wysokości dopowiadającej najniższemu punktowi zwisu przewodnika
(zadania sprowadza się do dwóch wymiarów),
 równoległe odcinki ramki są proste i dostatecznie długie, aby można było je
traktować jako nieskończenie długie,
Optymalizacja wartości pola magnetycznego w pobliżu linii napowietrznej…



89
wszystkie fazy są równomiernie obciążone,
wpływ prądów indukowanych w przewodach fazowych jest pomijalny,
wpływ prądów indukowanych w ziemi jest pomijalny.
2.1. Pole magnetyczne pochodzące od przewodów fazowych
Dla pojedynczego, nieskończenie długiego przewodnika, umieszczonego
ponad powierzchnią ziemi (rysunek 2), przewodzącego prąd I, wartości
składowych y i z wektora indukcji magnetycznej wyrażone są następującymi
zależnościami [1]:
0 I
z  hk
2  z  hk 2   y  y k 2
 I
y  yk
B z  y, z   0
2  z  hk 2   y  y k 2
B y  y, z   
(1)
(2)
Rys. 2. Nieskończenie długi przewodnik przewodzący prąd I umieszczony
nad powierzchnią ziemi
Wypadkową wartość indukcji magnetycznej pochodzącą od m przewodów
fazowych wyznaczono stosując zasadę superpozycji. Wartości składowych y i z
wynoszą odpowiednio:
m
B yp  y , z    B yk
(3)
B zp  y, z    Bzk
(4)
k 1
m
k 1
2.2. Pole magnetyczne pochodzące od prądu indukowanego w pętli
Wartość prądu wyindukowanego w pętli można wyznaczyć z zależności [2]:
I 
X lp  I p
Z
(5)
90
Mikołaj Książkiewicz
gdzie Z – impedancja wypadkowa, opisana jest wzorem:
Z  Z ii  Z ik
(6)
gdzie Zii – impedancja własna pętli, opisana jest wzorem:
Z ii  Ri  jX Li  jX Ci  ti Ri  jti2 X ti  jc f ti2 X ti
(7)
Rti jest rezystancją, Xti reaktancją własną każdego zwoju i-tej pętli, po
uwzględnieniu liczby zwojów (wyrażoną przez ti) tworzą razem impedancje
własną pętli Zii. Xti wyrażaną w [ m ] obliczano z zależności:
X ti  
0
si
ln
 GMRi
(8)
GMRi jest średnim geometrycznym promieniem przewodników i-tej pętli. Stała
cfi jest współczynnikiem kompensacji danej pętli, może przyjmować wartości od
0 do 1 (0 oznacza brak kondensatora, 1 oznacza pełną kompensacje).
Jednostkowa
impedancja
wzajemna pomiędzy dwoma
pętlami
oraz jednostkowa reaktancja wzajemna pomiędzy i-tą pętlą a k-tą fazą opisane są
zależnościami:
 0 d (i1 , k 2 )d (i2 , k1 )
ln
2 d (i1 , k1 )d (i2 , k 2 )
i, k  1,..., n, i  k

d (i2 , pk )
X lpik  jti 0 ln
2 d (i1 , pk )
i  1,..., n, k  1,..., m
Z ik  jt i t k 
(9)
(10)
Pole magnetyczne generowane przez pętlę obliczano analogicznie jak dla
przewodów fazowych stosując zależności (1) i (2). Całkowite pole magnetyczne
w punktach zainteresowania obliczano dodając w zależnościach (3) i (4)
odpowiednio sumy składowych y i z wektora indukcji magnetycznej
pochodzących od równoległych odcinków pętli ekranujących.
m
n
Bs   B pk   Blj
k 1
(11)
j 1
2.3. Pętle z gałęzią wspólną
Rozważania przedstawione w punkcie 2.2 dotyczyły układu pętli
niezależnych. W przypadku dwóch pętli z jedną gałęzią wspólną zmiany dotyczą
obliczania impedancji wzajemnej [2] (ti, tk – liczba zwojów pętli i-tej oraz k-tej):
Z ik 
R
 jX Lik
2
(12)
Optymalizacja wartości pola magnetycznego w pobliżu linii napowietrznej…
X Lik  
 0 2 d (i1 , i2 )d (k1 , k 2 )
tik ln
2
d (i1 , k1 )GMR
tik  ti  tk
91
(13)
3. OPTYMALIZACJA WARTOŚCI INDUKCJI MAGNETYCZNEJ
W OBSZARZE ZAINTERESOWANIA
3.1. Kryterium oceny rozwiązania (funkcja celu)
Funkcja celu określona jako współczynnik redukcji RF (reduction factor),
który odwzorowuje skuteczność ograniczania wartości pola magnetycznego
w danym punkcie określa zależność:
RF ( y, z ) 
Bp
(14)
Bs
Funkcja ta powinna uwzględniać ograniczenia odnośnie dopuszczalnych
wartości parametrów, takich jak np. zakres wysokości położenia pętli,
minimalną odległość pętli od przewodów fazowych itp. Ponadto obszar
zainteresowania reprezentowany jest przez cztery punkty w przestrzeni, jako
ostateczna wartość funkcji celu wybierana jest najmniejsza z obliczonych dla
poszczególnych punktów. Ostatecznie zadanie optymalizacji sprowadza się do
znalezienia takiego rozwiązania, dla którego wartość współczynnika redukcji
w najsłabiej ekranowanym punkcie jest największa:
maxmin  RF ( yak , z ak )
(15)
k  1,...,4
3.2. Wybór metody optymalizacji
Zastosowano metodę stochastyczną w postaci algorytmu genetycznego ze
względu na wielomodalność funkcji celu oraz łatwość implementacji.
3.3. Charakterystyka algorytmu genetycznego
Populacja początkowa składa się ze 150 losowo wybranych osobników.
Każdy osobnik określony jest za pomocą wektora liczb rzeczywistych, który
przedstawia zestaw parametrów podlegających optymalizacji. Liczba zmiennych
zawiera się w zakresie od 4 do 10, w zależności od rozpatrywanego układu.
Generacja osobników w obszarze dopuszczalnym nie jest zagwarantowana.
Rozdzielczość parametrów wynosi 1 cm dla wielkości geometrycznych oraz 1 %
92
Mikołaj Książkiewicz
dla współczynników kompensacji. Osobniki oceniane są na podstawie
zależności (14) oraz sprawdzenia czy spełnione są ograniczenia odnośnie
poszczególnych parametrów.
Do selekcji osobników, które mają zostać poddane operacją krzyżowania
i mutacji wykorzystano dwie metody. Osobniki dla operacji krzyżowania
wybierane są z użyciem metody turniejowej. Z populacji losowanych jest sześć
osobników, z których dwa najlepsze zostaną skrzyżowane i dodane do populacji.
Ilość możliwych operacji krzyżowania w danym czasie jest losowana po każdym
nowym pokoleniu. Osobniki, które mają zostać poddane mutacji wybierane są
losowo bez dodatkowych warunków. Tak powstałe osobniki również dodawane
są do populacji (zachowany jest oryginał). Ilość możliwych operacji mutacji
także jest losowana przy każdym pokoleniu. Ostatecznie uzyskujemy większą
populacje niż bazowa. Osobniki są sortowane według wartości funkcji celu i 150
najlepiej przystosowanych tworzy nowe pokolenie.
Krzyżowanie przebiega na podstawie algorytmu podanego w [4] (Linear
Crossover), w którym wartości parametrów potomków obliczane są na
podstawie kombinacji liniowej parametrów rodziców. Każdy zmienna
traktowana jest oddzielnie. Mutacja została zaimplementowana w ten sposób, że
losowany jest numer parametru, który ma zostać zmieniony, następnie wartość
mnożona jest przez liczbę wygenerowaną losowo o rozkładzie normalnym, dla
wartości średniej równej 1 i odchyleniu standardowemu 0,2.
Kryterium stopu jest osiągnięcie określonej liczby pokoleń.
4. PRZYKŁADOWE WYNIKI OBLICZEŃ
Obliczenia przeprowadzono z wykorzystaniem autorskiego programu
napisanego w języku C++, w którym zaimplementowano moduł do obliczania
wartości indukcji magnetycznej zgodnie z modelem przedstawionym
w rozdziale 3 oraz algorytm genetyczny do optymalizacji współrzędnych
położenia pętli ekranującej(-ych) oraz wartości współczynnika(-ów)
kompensacji. Rysunki 3 do 5 przedstawiają uzyskane rezultaty optymalizacji.
Kolejno zostały przedstawione przypadki: pojedynczej pętli, podwójnej pętli z
jedną gałęzią wspólną oraz dwóch pętli niezależnych. Wartości numeryczne
zestawiono w tabeli 1.
Rys. 3. Pojedyncza pętla ekranująca (Loop2C, Loop2C+kond.)
Optymalizacja wartości pola magnetycznego w pobliżu linii napowietrznej…
93
Rys. 4. Podwójna pętla z jedną gałęzią wspólną (Loop3C, Loop3C+kond.)
Rys. 5. Dwie pętle niezależne (Loop4C, Loop4C+kond.)
Tabela 1. Wyniki optymalizacji (FC – wartość funkcji celu)
Pętla 1
y1
Pętla 2
z1
y2
z2
y3
z3
y4
z4
-
-
-
-
-
-
-
-
Loop2C; FC = 2,22
-25,77
7,22
13,90
10,00
Loop2C + kond.; cf = 0,67; FC = 16,39
13,97
10,42
-14,31
10,05
13,99
10,63
Loop3C; FC = 2,96
-25,94
5,00
9,95
13,99
10,63
Loop3C + kond.; cf1 = 1,10; cf2 = 0,88; FC = 23,88
-15,43
12,00
15,20
10,02
-11,68
6,55
15,20
10,02
11,93
-71,32
5,01
Loop4C + kond.; cf1 = 0,71; cf2 = 0,58; FC = 48,40
-17,43
11,85
22,49
6,68
-9,99
6,08
36,07
8,56
Loop4C; FC = 6,02
-20,82
6,88
16,47
5,65
-26,64
-24,04
5. UWAGI KOŃCOWE
Otrzymane wyniki pokazują, że najlepszym z proponowanych rozwiązań
redukcji pola magnetycznego pochodzącego od linii napowietrznej jest układ
dwóch ramek niezależnych. Zarówno wśród wersji bez kompensacji jak
i z dołączonym kondensatorem(-ami) uzyskują najlepsze rezultaty.
94
Mikołaj Książkiewicz
Analizując pracę samego algorytmu genetycznego można stwierdzić, że jego
parametry (prawdopodobieństwo krzyżowania, mutacji, liczebność populacji
itd.) nie były optymalnie dobrane. Należało wykonać kilka cykli algorytmu,
gdyż dochodziło do zbyt wczesnego zbiegania się do optimum lokalnego.
Dalsze prace dotyczyć będą próby rozwiązania tego problemu poprzez
kaskadowe połączenie dwóch algorytmów genetycznych oraz alternatywnego
zastosowania sztucznej sieci neuronowej do dobrania optymalnych parametrów
pracy algorytmu.
LITERATURA
[1]
[2]
[3]
[4]
Budnik K., Machczyński W.: Reduction of magnetic field from a power line using
a passive loop conductor, Computer Application in Electrical Engineering, Vol.
11, Poznań 2013.
Cruz P., Riquelme J.M., de la Villa A., Martinez J.L.: Ga-based passive loop
optimization for magnetic field mitigation of transmission lines, Neurocomputing,
Vol. 70, Issues 16-18, October 2007, pages 2679-2686.
Jaworski M., Wróblewski Z.: Pole elektromagnetyczne w otoczeniu
napowietrznych linii elektroenergetycznych. W: Pola elektromagnetyczne w
środowisku – problemy zdrowotne, ekologiczne, pomiarowe i administracyjne:
XXII Szkoła Jesienna [PTBR]: materiały konferencyjne, Zakopane, 20-24
października 2008, ss. 187-200,
http://polaelektromagnetyczne.glorytest.pl/files/JSE08_MJaw_ZWr_pem_el.pdf
(dostęp lipiec 2014).
Wright A.H.: Genetic Algorithms for Real Parameter Optimization, Foundations
of Genetic Algorithms, Morgan Kaufman, ss. 205-218.
OPTIMIZATION OF THE VALUE
OF MAGNETIC FIELD AROUND THE OVERHEAD LINE USING
A GENETIC ALGORITHM
Examined issue relates to the distribution of the magnetic field generated by the
overhead line, and it’s reduction in the area of interest using a conductive loop placed in
the space near the line. The paper presents a program written in C ++, which implements
the procedure for calculating the magnetic field generated by overhead line and a genetic
algorithm used to optimize the location and loop compensation factor. Examples of the
program are presented for horizontal single-track line and three different shielding loop
configurations. The first relates to a single loop (4 to 5 parameters to optimize - 4
position coordinates (y, z) and the compensation factor), the second case involves two
loops with one common conductor (6 to 8 parameters - 6 coordinates (y, z) and 0 to 2
compensation factors), the third case concerns two independent loops (8 to 10
parameters - 8 coordinates (y, z) and 0 to 2 of the compensation factors).