Kalibracja - Ekonometria

Kalibracja
• Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu
oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na
wyznaczeniu 0C◦ i 100C◦ tak by oznaczały punkt zamarzania i wrzenia
wody) - od kiedy instrument jest wykalibrowany może być używany nawet
wtedy, gdy nie dysponujemy obiektem według którego kalibrowaliśmy
instrument (w przypadku termometru woda)
˛
• W ekonomii w wiekszości
˛
zastosowań kalibracja jest używana w
kontekście badania własności modeli równowagi ogólnej badź
˛ własności
dynamicznych modeli makroekonomicznych
• W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowage:
˛
równowage˛ ogólna˛ lub ścieżk˛e zrównoważonego wzrostu.
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
1
• Kalibracja modeli ekonomicznych: wybierz porównawczego zbiór danych
(benchmark data set) i znaleźć takie parametry, które umożliwiaja˛
replikacje˛ zbioru porównawczego zbioru danych
• W momencie, kiedy model został skalibrowany może być używany do
analizy polityki gospodarczej - uzyskujac
˛ reakcje˛ modelu na zmiany
wielkości zmiennych można oszacować reakcje˛ gospodarki na zmiany
polityki gospodarczej.
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
2
Dlaczego kalibracja?
• Modelom ekonomicznym brakuje elementu ilościowego: mamy teorie˛ ale
nie mamy liczb
• Analiza skutków polityki gospodarczej wymaga oszacowań ilościowych
• Ekonomiści uważaja,
˛ że takie oszacowania ilościowe sa˛ niemożliwe beż
spójnej teorii
• Skalibrowane modele ekonomiczne sa˛ nazywane "teoria˛ z liczbami" model teoretyczny jest uzupełniony o wartości parametrów
• Parametry modelu powinny być tak skalibrowane, by model był w stanie
zreplikować dane empiryczne i by same parametry zgadzały sie˛ z danymi
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
3
• Podstawowy cel kalibracji jest podobny jak estymacji - znaleźć model, który
najlepiej pasowałby do danych
• Ekonometria jest skoncentrowana na testowaniu zgodności modeli
teoretycznych z danymi i badaniu, który model jest najlepiej dopasowany
do danych
• Jedynym kryterium doboru modelu teoretycznego do kalibracji jest jego
rozpowszechnienie w literaturze
• Głównym celem kalibracji jest oszacowanie ilościowych implikacji założeń
przyjetych
˛
w modelach teoretycznych
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
4
Dlaczego nie używać metod ekonometrycznych?
• Modele ekonometryczne sa˛ cz˛esto niepełne lub nadmiernie uproszczone
• Wiekszość
˛
badań w ekonometrii koncentruje sie˛ na teorii estymacji a nie
pytaniu jak zbliżyć szacowane modele do teorii ekonomii
• W modelach równowagi ogólnej, cz˛esta jest sytuacja, że liczba
parametrów jest wieksza
˛
niż liczba dostepnych
˛
obserwacji - w tym
przypadku estymacja jest niemożliwa
• Konstrukcja zbioru porównawczego jest tak trudna, że w praktyce
niemożliwe jest zbudowanie kilku takich zbiorów celem przeprowadzenia
estymacji metodami statystycznymi
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
5
• W dynamicznych modelach ekonometrycznych farma funkcyjna jest
cz˛esto tak skomplikowana, że niemożliwe jest szacowanie jej parametrów
za pomoca˛ współczesnych metod ekonometrycznych
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
6
Modele skalibrowane - jak można ich używać?
• Modele skalibrowane można używać do oszacowania wielkości reakcji
gospodarki na zmiany w polityce gospodarczej
• Uważa sie,
˛ że modele skalibrowane nie moga˛ być używane do
prognozowania
• Modele skalibrowane nie moga˛ być używane do testowania zgodności
modelu z danymi: kalibracja jest dokonywana w ten sposób, by model
zgadzał sie˛ z danymi
• Modele skalibrowane moga˛ być używane do sprawdzania wystepowania
˛
"nieintuicyjnych" efektów implikowanych przez niektóre modele teoretyczne
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
7
• jeśli sa˛ jakieś przewidywania teorii, które nie zgadzaja˛ sie˛ z danymi, wtedy
normalna˛ reakcja˛ jest rozbudowanie modelu o dodatkowe elementy
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
8
Zbiór porównawczy
• Zbiór porównawczy jest traktowany jako zaobserwowane rozwiazanie
˛
modelu
• W zwiazku
˛
z tym musi on spełniać warunki równowagi w modelu
• Ponieważ dane sa˛ zbierane z kilku źródeł, wiec
˛ cz˛esto jedynym
sposobem by uzyskać spójność danych na poziomie mikro jest dokonanie
odpowiednich poprawek
• Przez spójność danych na poziomie mikro rozumiemy spełnianie przez
danych identyczności zwiazanych
˛
z sumowaniem sie˛ kategorii oraz
spełnianie warunków równowagi modelu
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
9
• Proces wprowadzania poprawek do danych nazywamy tworzeniem zbioru
danych porównawczych (benchmarking)
• Taka procedura jest głównie stosowana w modelach równowagi ogólnej
• W kalibrowanych dynamicznych modelach makroekonomicznych nie
wprowadzamy zazwyczaj żadnych poprawek do zbioru danych
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
10
Ustalanie wielkości parametrów
• Istnieja˛ dwa sposoby ustalania wielkości parametrów w przypadku modeli
kalibrowanych
1. parametry sa˛ ustalane na podstawie oszacowań uzyskanych z literatury
– cz˛esto watpliwe
˛
ponieważ modele estymowane w literaturze różnia˛ sie˛
założeniami od modelu kalibrowanego
– dodatkowa trudność zwiazana
˛
jest z rozbieżnościa˛ oszacowań, które
można znaleźć w literaturze
2. rozwiazywanie
˛
modelu ze wzgledu
˛
na parametry - warunki równowagi
sa˛ używane po to by znaleźć nieznane parametry takie, że zbiór
porównawczy jest rozwiazaniem
˛
warunków równowagi
– drugie rozwiazanie
˛
daje tak zwane dokładne rozwiazanie
˛
modeli zbiór danych musi być dokładnie zreplikowany przez model, ponieważ
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
11
parametry modelu sa˛ wybierane tak by zbiór danych był rozwiazaniem
˛
modelu.
• Drugie rozwiazanie
˛
można zastosować tylko wtedy, gdy zignorujemy
element losowy w gospodarce
• Zwykle w dynamicznych modelach makroekonomicznych element ten nie
można zignorować
• W zwiazku
˛
z tym wielkości parametrów nie można znaleźć jako dokładne
rozwiazanie
˛
problemu optymalizacyjnego
• Zamiast tego staramy sie˛ zreplikować własności stochastyczne zbioru
danych
• Parametry sa˛ wybierane w ten sposób, by ścieżka równowagi generowana
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
12
przez model z uwzglednieniem
˛
zaburzeń losowych miała ta˛ sama˛
dystrybuante˛ co dane zaobserwowane w zbiorze danych
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
13
Przykłady
• Cooley i Prescott(1995)
• Maksymalizacja nieskończenie długo żyjace
˛ konsumentów, których liczba
rośnie według stopy η, a γ jest stopa˛ wzrostu technologicznego
zwiekszaj
˛
acego
˛
wydajność pracy
• Preferencje i technologia sa˛ dane funkcja˛ Cobba-Douglasa
max E
"∞
X
#
t
β t (1 + η) [(1 − α) log ct + α log (1 − ht)]
i=1
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
14
przy ograniczeniu
ct + xt = ezt (1 − γ)
t(1−θ)
ktθ h1−θ
t
(1 + γ) (1 + η) kt+1 = (1 − δ) kt + xt
zt+t = ρzt + εt
gdzie β jest współczynnikiem preferencji czasowych, α i 1 − α sa˛ udziałami
w konsumpcji, xt sa˛ inwestycjami w czasie t na głowe,
˛ ct jest konsumpcja˛
na głowe˛ w czasie t, kt jest kapitałem na jednostk˛e efektywnej pracy, zt jest
losowych parametrem produktywności, ht jest liczba˛ godzin dostarczanych w
czasie t, θ i 1−θ sa˛ parametrami udziału w funkcji produkcji Cobba-Douglasa,
δ jest stopa˛ deprecjacji a εt jest błedem
˛
losowym w
• Wstawiajac
˛ ograniczenia do funkcji celu umożliwia znalezienie warunków
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
15
pierwszego rz˛edu postaci:
£ θ−1 1−θ
¤
(1 + γ) (1 + η) β (1 + η) θkt+1 ht+1 + (1 − δ)
=
ct
ct+1
• Na ścieżce zrównoważonego wzrostu kt, ct i yt rosna˛ z ta˛ sama˛ szybkościa˛
a wiec:
˛
1+γ
y
+δ =θ
(1)
β
k
• Z danych waiadomo że udział wynagrodzenia kapitału w dochodzie wynosi
θ = 0.4, a udział pracy 1 − θ = 0.6
• W wzdłuż ścieżki zrównoważonego wzrostu:
(1 − θ)
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
y
α
h
=
c 1 − α1 − h
(2)
16
• Przyjete
˛ równanie wzrostu kapitału implikuje, że
(1 + γ) (1 + η)
lub
k
k x
= (1 − δ) +
y
y y
x
δ = + 1 − (1 + γ) (1 + η)
k
• stopa deprecjacji może być znaleziona na podstawie łatwych do ustalenia
na podstawie literatury parametrów γ i η oraz wielkości xk
• w momencie, kiedy ustalimy δ, możemy użyć równania 1 aby ustalić β przy
danym obliczonym wcześniej θ
• równanie 2 może nam z kolei posłużyć do znalezienia α, skoro wiemy
na podstawie danych empirycznych, że przecietnie
˛
udział czasu pracy w
ogóle czasu wynosi 0.31
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
17
• ρ został ustalony na poziomie 0, 95 a Var (εt) = 0.007, tak by replikować
strukture˛ korelacji i wariancje˛ GDP w Stanach Zjednoczonych.
Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW
18