θ - Ekonometria

Uogólniona Metoda Momentów
• Momenty z próby daż
˛ a˛ do momentów teoretycznych (Prawo Wielkich
Liczb)
n
1X
yi = E (y)
plim
n i=1
• Klasyczna Metoda Momentów (M M ) polega na szacowaniu momentów
teoretycznych E (y), za pomoca˛ momentów z próby.
¡
¢
Przykład Załóżmy, że próba pochodzi z rozkładu normalnego N 0, σ .
Jeśli spełnione sa˛ założenia prawa wielkich liczb, to
2
n
1X
plim
yi = plim y = E (y) = µ
n i=1
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
1
n
X
£ 2
¤
1
2
2
sy = plim
(yi − y) = E y − E (y) = Var (y) = σ 2
n i=1
Za estymatory metody momentów µ można wiec
˛ przyjać
˛ y a σ 2 można
oszacować za pomoca˛ s2y .
• Uogólniona Metoda Momentów (GM M - Generalised Method of
Moments) rozszerza ta˛ metode˛ o dwa elementy.
• Wektor momentów teoretycznych jest funkcja˛ nieznanych wektora
parametrów θ taka,
˛ że
E [m (yi, xi, θ)] = 0
• m (yi, xi, θ) bedziemy
˛
oznaczać jako mi (θ).
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
2
• Jeśli spełnione sa˛ założenia prawa wielkich liczb, to
n
1X
mi (θ) = 0
plim
n i=1
• Estymator GM M rozwiazuj
˛ ac
˛ nastepuj
˛ acy
˛ układ równań:
³ ´
1X
b =0
mi θ
n i=1
n
• Bardzo cz˛esto warunki wynikajace
˛
z teorii maja˛ postać mometów
warunkowych:
E [f i (θ)| z i] = 0
gdzie z i może cz˛eściowo składać sie˛ z elementów wektora zmiennych
objaśniajacych
˛
xi
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
3
• Liczenie empirycznych momentów warunkowych w przypadku, kiedy z i
jest ciagłe
˛
jest sprawa˛ beznadziejna.
˛
• W zwiazku
˛
z tym staramy sie˛ zastapić
˛
momenty warunkowe momentami
bezwarunkowymi.
• Z prawa iterowanych wartości oczekiwanych dla mi (θ) = w0if i (θ) i wi =
w (z i) wynika, że
0
0
E [mi (θ)] = E [wif i (θ)] = Ezi [wi E (f i (θ)| z i)] = 0
• I ograniczenia narzucone na warunkowe wartości oczekiwane możemy
zastapić
˛ ograniczeniami narzuconymi na bezwarunkowe wartości oczekiwane
0
E [wif i (θ)] = 0.
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
4
• Elementy wektora wi nazywamy instrumentami
Przykład Wyprowadzenie estymatora MNK w Uogólnionej Metodzie
Momentów
Założenia KM RL można modyfikować w sposób nastepuj
˛ acy:
˛
1. yi = xiβ + εi
2. E (εi| xi) = 0
3. Var (ε) = σ 2I
Zauważmy, że założenia o tym, że xi jest deterministyczne i E (εi) =
0 zastapiło
˛
założenie, że E (εi| xi) = 0. Przyjmijmy za instrumenty w
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
5
tym modelu elementy xi. Otrzymujemy nastepuj
˛ acy
˛ warunek nałożony na
bezwarunkowa˛ wartość oczekiwana:
˛
0
0
E (xiεi) = E [xi (yi − xiβ)] = 0
Odpowiadajacy
˛ temu warunkowi warunek narzucony na momenty empiryczne
bedzie
˛
miał postać
n
´ 1³
´
1X 0³
0
0
b =
b =0
xi y i −xi β
X y − X Xβ
n i=1
n
¡ 0 ¢−1 0
b
Xβ
Co daje nam znany wzór β = X X
• Ogromna˛ zaleta˛ Uogólnionej Metody Momentów jest to, że niekiedy
możliwe jest wyprowadzenie postaci warunków narzuconych na momenty
bezpośrednio z teorii.
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
6
Identyfikacja i asymptotyczne własności estymatorów
GM M
• Załóżmy, że
³ ´
³ ´
³ ´
0
m θ̇ = plim mn θ̇ = M θ̇ l
³ ´
³ ´
Pn
0
1
gdzie mn θ̇ = n i=1 mi θ̇ , M = (m1, . . . , mn) a l jest wektorem
jedynek.
• Możliwe jest jednoznaczne znalezienie θ jeśli prawdziwe jest założenie, że
³ ´
m θ̇ = 0 dla θ̇ = θ
³ ´
m θ̇ 6= 0 dla θ̇ 6= θ
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
7
• Jeśli m (θ) nie spełnia tych warunków, to nie można jednoznacznie
wyznaczyć estymatora parametru θ. W takim przypadku mówimy, że
parametr θ jest nieidentyfikowalny.
• Jeśli wektor θ zawiera k parametrów, to ilość równań w musi być
conajmniej równa k, by θ było identyfikowalne
• Cz˛esta jest sytuacja, kiedy ilość równań w przekracza k. Parametr θ
przeidentyfikowany.
• Możemy wyznaczyć θ na postawie jakichkolwiek k równań
• Asymptotycznie równania te sa˛ niesprzeczne w małych próbach moga˛ być
sprzeczne
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
8
• Jeśli spełnione sa˛ założenia Centralnego Twierdzenia Granicznego, to
1
2
n mn (θ) −→ N (0, V (θ))
gdzie
1
V (θ) = plim M 0 (θ) M (θ) = plim V n (θ)
n
Przykład Dla rozkładu Poissona dla naturalnych yi:
e−λλyi
P (yi) =
yi !
W rozkładzie Poissona E (yi) = Var (yi) = λ. Załóżmy, że
λ = α + xi β
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
9
oraz, że xi jest nielosowe a x, x2 sa˛ zbieżne. Wynika z tego, że
E (yi) = λi
Var (yi) = λi
E (xiyi) = xiλi
Warunki narzucone na momenty implikuja,
˛ że
y = α + xβ
s2y = α + xβ
yx = αx + x2β
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
10
Z tego układu równań otrzymujemy dwa rozwiazania
˛
b = sxy
β
s2x
b
b = y − xβ
α
yx − s2y x
e=
β
s2x
e
e = y − xβ
α
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
11
Optymalna macierz wag
• Szukamy takiej średniej ważonej estymatorów dla przeidentyfikowanego θ
by wariancja była najmniejsza
• Problem szukania interesujacego
˛
nas estymatora można sprowadzić do
szukania minimum wzgledem
˛
θ formy kwadratowej:
Q (θ) = m0n (θ) Anmn (θ)
gdzie An jest pewna˛ dodatnio określona˛ macierza,
˛ która spełnia
plim An = A.
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
12
b które minimalizuje funkcje˛ Q (θ):
• Estymatorem θ jest teraz takie θ,
³ ´
³ ´
b Anmn θ
b
b = arg minm0 θ
θ
n
b
θ
• Estymator ten bedzie
˛
estymatorem zgodnym ponieważ spełnione sa˛
założenia konieczne dla zgodności estymatora M
• Rzeczywiście dla dodatnio określonej An, q (θ) = m0n (θ) Anmn (θ) daje
najmniejsza˛ wartość (równa˛ 0) dla θ = θ 0.
• Można pokazać, że estymator GM M bedzie
˛
miał najniższa˛ wariancje˛ jeśli
A = V −1.
• Za An przyjmujemy wiec
˛ zwykle An = V n (θ)
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
13
• Ponieważ w momencie wyliczania estymatora nie znamy θ wiec
˛ zazwyczaj
estymacja nastepuje
˛
w dwóch krkocach
b z użyciem jakiejkolwiek An (zwykle An = I),
1. najpierw znajdujemy θ
³ ´
b
zanjdujemy oszacowanie V n θ
³ ´
b
b za pomoca˛ efektywnego GM M używajac
bn = V n θ
2. znajdujemy θ
˛ A
• Przy tak dobranej macierz An asymptotyczna rozkład estymatora GM M
bedzie
˛
dany wzorem
n
¡
0
gdzie Σ = D V
−1
D
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
¢−1
1
2
³
´
D
b − θ −→
θ
N (0, Σ)
i D n (θ) =
∂mn (θ)
∂θ .
14
Wybór instrumentów
• Generalnie im wiecej
˛
instrumentów tym lepiej
• Trzeba jednak uważać, by nie używać intrumentów słabo skorelowanych
ze zmiennymi objaśniajacymi
˛
– przyjecie
˛
takich intrumentów może doprowdzić do tego, że nawet
niewielka korelacja intrumentu z zaburzeniem losowym doprowadzi do
dużego obciażenia.
˛
• Przy warunku
E [f i (θ)| z i] = 0
• Każda funkcja z i jest nieskorelowana z f i (θ) - potencjalnie nieskończenie
wiele instrumentów
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
15
• Można pokazać, że wariancja bedzie
˛
najniższa dla instrumentów danych
wzorem:

³ ´ ¯¯ 
b ¯
∂f
θ
i

¯ 
Ji = E 
¯ z i
0
∂θ ¯
¯
• Intrumenty takie nazywamy optymalnymi intrumentami
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
16
Testowanie hipotez w GM M
• Testowanie w GM M daje proste
³ ´wzory dla przypadku, kiedy macierz
b . Najważniejszym testem jest test na
wag jest optymalna An = V −1
θ
n
przeidentyfikowujace
˛ ograniczenia
−1
D
b
c −→ χ2g
nc
mV m
0
gdzie g jest ilościa˛ przeidentyfikowujacych
˛
ograniczeń.
ograniczenia ponad te konieczne do identyfikacji.
Testuje on
• Dla hipotezy h (θ) = 0 i H (θ) = ∂h(θ)
mamy odpowiednik GM M testu
∂θ 0
Walda:
¸−1
· ³
´
−1
0
0
0 −1
D
b −→
b
c
b
b
b
c
h
χ2g
H
W = nh H D V D
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
17
b Vb sa˛ odpowiednimi macierzami policzonymi dla θ:
b
c D,
b h,
gdzie H,
estymatora GM M w modelu bez ograniczeń.
• Odpowiednik testu LM ma postać
LM =
−1
0
eR
nc
mRVb R D
³
´−1 0 −1
0
−1
b Vb D
bR
b Vb m
D
D
R R
R R cR
D
−→ χ2g
bR :
b R, Vb R sa˛ odpowiednimi macierzami policzonymi dla θ
cR , D
gdzie m
estymatora GM M w modelu z ograniczeniami.
• Odpowiednikiem testu LR jest Quasi LR
³
´
−1
−1
0
cR
cVb m
c−m
cRVb R m
QLR = n m
³ ³ ´
³ ´´
D
b −Q θ
bR −→
=n Q θ
χ2g
Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW
18