xiii międzynarodowa szkoła komputerowego wspomagania
Transkrypt
xiii międzynarodowa szkoła komputerowego wspomagania
XIII MIĘDZYNARODOWA SZKOŁA KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA PROJEKTOWANIA, WYTWARZANIA I EKSPLOATACJI Jurata, 11-15 maja 2009 r. Warszawa 2009 Dr inŜ. Jacek WDOWICKI Dr inŜ. ElŜbieta WDOWICKA Politechnika Poznańska, Instytut Konstrukcji Budowlanych OBLICZENIA BUDYNKÓW ŚCIANOWYCH O ZMIENNEJ GRUBOŚCI METODĄ CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ Streszczenie: W pracy przedstawiono analizę ścianowych konstrukcji usztywniających o zmiennej grubości przy wykorzystaniu wariantu metody ciągłej. W metodzie tej pasma nadproŜy i podatne złącza pionowe zastępowane są przez ciągłe połączenia. Układy równań róŜniczkowych dla stref konstrukcji o stałej sztywności są rozdzielane przy pomocy wektorów własnych. Stałe całkowania są rozwiązaniami układu równań liniowych, zbudowanego na podstawie warunków brzegowych dla całego układu usztywniającego oraz warunków zgodności pomiędzy poszczególnymi strefami. Podczas testowania opracowanego na podstawie tej metody programu uzyskano dobrą zgodność z podanymi w literaturze wynikami obliczeń i badań modelowych. ANALYSIS OF SHEAR WALL STRUCTURES OF VARIABLE THICKNESS USING CONTINUOUS CONNECTION METHOD Abstract: The paper presents the analysis of shear wall structures of variable thickness using a variant of the continuum method. In the continuous approach the horizontal connecting beams, floor slabs and vertical joints are substituted by continuous connections. The differential equation systems for shear wall structure segments of constant cross-section are uncoupled by orthogonal eigenvectors. The boundary conditions for the whole structure yield the system of linear equations for the determination of all constants of integration. The results obtained by means of this method show good agreement with those available in literature. 1. WSTĘP Przy projektowaniu budynków wielokondygnacyjnych jako elementy przenoszące obciąŜenia poziome, powstałe na skutek działania wiatru oraz wpływów sejsmicznych, powszechnie wykorzystywane są Ŝelbetowe konstrukcje ścianowe z nadproŜami. Dla analizy tego typu konstrukcji szczególnie dogodne okazały się dwie metody: metoda ciągłych połączeń [7, 17, 20, 19, 1] i metoda pasm skończonych [12, 3]. Metody te umoŜliwiają uzyskanie wystarczająco dokładnych wyników przy znacznie mniejszej pracochłonności zarówno przygotowania danych, jak i realizacji obliczeń w porównaniu z metodami dyskretnymi. Metody ciągłe pozwalają, oprócz zmniejszenia wymiaru zadania i przyspieszenia obliczeń, na ominięcie w prosty sposób problemu złego uwarunkowania zadania, który staje się coraz bardziej istotny w miarę wzrostu smukłości konstrukcji. Z tego powodu są chętnie uŜywane w praktyce projektowej [10]. W budynkach wielokondygnacyjnych ściany usztywniające mogą mieć róŜną grubość wzdłuŜ wysokości budynku. W górnej części ściany występują znacznie mniejsze napręŜenia, niŜ w strefie połoŜonej blisko fundamentu. Stąd w praktyce projektowej jest powszechnie stosowane kilkakrotne zmniejszanie grubości ścian [2]. W literaturze moŜna znaleźć próby rozszerzenia zakresu zastosowania metod ciągłych na przypadek ścian usztywniających 399 o skokowo zmiennej sztywności. Zastosowanie metody ciągłej w analizie ścian usztywniających połączonych nadproŜami o skokowo zmiennym przekroju poprzecznym było rozwaŜane w pracach [16], [4], [5], [15], [14] przy wykorzystaniu analitycznej metody rozwiązywania równań róŜniczkowych. W pracach [11, 10] zastosowano metodę róŜnic skończonych. W pracach [6, 18] wykorzystano metodę macierzy przeniesienia, przy czym w literaturze była sygnalizowana niestabilność numeryczna, występująca przy analizie tą metodą. W pracy [9] przedstawiono iteracyjny sposób analizy, oparty na kombinacji metody pasm skończonych i metody ciągłych połączeń. W pracy [8] zaproponowano nowy makroelement, umoŜliwiający analizę ścian usztywniających, połączonych pasmami nadproŜy, przy czym przy budowie macierzy sztywności wykorzystano ścisłe rozwiązanie równań róŜniczkowych sformułowanych dla modelu ciągłego. Celem pracy jest przedstawienie efektywnego algorytmu analizy przestrzennych układów ścian usztywniających o skokowo zmiennej grubości przy wykorzystaniu metody ciągłych połączeń. 2. PODSTAWOWE RÓWNANIA Układy równań róŜniczkowych, opisujących pracę przestrzennych układów ścianowych z nadproŜami, usztywniających budynki wysokie, o stałym wzdłuŜ wysokości przekroju, zostały przedstawione w pracy [20]. Konstrukcja usztywniająca o zmiennej sztywności wzdłuŜ wysokości budynku, moŜe zostać podzielona na nh stref tak, aby kaŜda ze stref miała stały przekrój poprzeczny. Układy równań róŜniczkowych dla k-tej strefy o stałej sztywności moŜna zapisać w postaci z ∈ (hk −1 , hk > B ( k ) N N′′ ( k ) ( z ) − A ( k ) N N ( k ) ( z ) = f ( k ) ( z ), (1) gdzie: k – indeks strefy, k = 1, ... , nh, nh – liczba stref o stałej sztywności, nw – liczba pionowych połączeń (pasm nadproŜy i złączy podatnych), liczba równań róŜniczkowych w układzie (1), B(k) – jest macierzą diagonalną stopnia nw × nw , zawierającą podatności pasm nadproŜy i złączy podatnych, A(k) – jest symetryczną, dodatnio półokreśloną macierzą stopnia nw × nw, zaleŜną od konstrukcji, NN(k)(z) – jest wektorem zawierającym nieznane funkcje intensywności sił ścinających w ciągłych połączeniach, f(k)(z) – jest wektorem utworzonym na podstawie zadanych obciąŜeń dla k-tej strefy konstrukcji. Zakłada się przy tym, Ŝe miejsca zerowe momentu zginającego w pasmach nadproŜy w kolejnych strefach nie zmieniają swojego połoŜenia w rzucie budynku. Układom (1) odpowiadają następujące warunki brzegowe [7], [15], [18], [20]: N N (1) (0) = w, w = −B −1STE z 0, N N ( k ) (hk ) = B ( k +1) B (−k1) N N ( k +1) (hk ), N N′ ( k ) (hk ) = N ′N ( k +1) (hk ), N ′N ( n h ) ( H ) = 0, 400 (2) gdzie: SE – jest macierzą zero-jedynkową ne × nw , określającą przyleganie między elementami usztywniającymi i ciągłymi połączeniami, z0 – wektor zadanych osiadań elementów usztywniających, ne – liczba elementów usztywniających, hk – rzędna k-tej zmiany rzutu konstrukcji, H – wysokość konstrukcji. Po określeniu nieznanych funkcji intensywności siły ścinających w ciągłych połączeniach, moŜna wyznaczyć funkcje poziomych przemieszczeń konstrukcji i jej pochodne wykorzystując równania: z ∈ (hk −1 , hk > V('k'' ) ( z ) = VT ( k )TK ( k ) ( z ) − VN ( k ) N N ( k ) ( z ), (3) gdzie: k – jest indeksem strefy o stałym przekroju poprzecznym, V(z) – jest wektorem zawierającym funkcje poziomych przemieszczeń konstrukcji, mierzone w globalnym układzie współrzędnych 0XYZ, TK(z) – jest wektorem funkcji sił ścinających i momentu skręcającego, wynikającym z działania poziomych obciąŜeń. Macierze VT , VN występujące w powyŜszym wzorze są opisane przez następujące zaleŜności VT = (LT K Z L) −1 , VN = VT LT C N , gdzie: L – macierz stopnia 3ne×3, macierz transformacji współrzędnych z globalnego układu współrzędnych 0XYZ do lokalnych układów współrzędnych, to jest układów głównych osi bezwładności elementów usztywniających, KZ – macierz 3ne×3ne zawierająca sztywności na zginanie i skręcanie elementów usztywniających, CN – macierz 3ne×nw zawierająca współrzędne punktów zerowych momentów zginających w ciągłych połączeniach w lokalnych układach współrzędnych elementów. Warunki brzegowe dla równań (3) w miejscu utwierdzenia układu usztywniającego we fundamencie oraz na szczycie układu mają następującą postać: V(1) (0) = 0, V(1' ) (0) = 0, V('n' h ) ( H ) = 0. (4) Oprócz tego, dla miejsc występowania zmian przekroju poprzecznego moŜna zapisać dalsze warunki brzegowe, wynikające ze zgodności przemieszczeń V( k ) (hk ) = V( k +1) (hk ), V('k ) (hk ) = V('k +1) (hk ). (5) Ponadto dla elementów usztywniających zakłada się m E ( k ) (hk ) = m E ( k +1) (hk ), (6) gdzie: mE(z) jest wektorem momentów zginających w elementach usztywniających, opisanym przez zaleŜność: mE ( z ) = K Z L V '' ( z ). (7) Podstawiając związek (7) do równania (6) i następnie lewostronnie przemnaŜając przez VT(k)LT(k) , otrzymuje się następującą zaleŜność: V('k' ) (hk ) = SV ( k +1,k ) V('k' +1) (hk ) (8) gdzie: SV ( k +1,k ) = VT ( k ) LT( k ) K Z ( k +1) L ( k +1) . 401 3. ALGORYTM OBLICZANIA ROZWIĄZAŃ UKŁADÓW RÓWNAŃ RÓśNICZKOWYCH W proponowanej metodzie rozwiązywania układów równań róŜniczkowych algorytm opracowany dla układów o stałej sztywności [20] został rozszerzony w taki sposób, aby umoŜliwić rozwiązywanie układów równań dla konstrukcji o zmiennej sztywności. W celu rozdzielenia układów równań róŜniczkowych (1) zostały wprowadzone funkcje pomocnicze g(k)(z) , spełniające związki: N N ( k ) ( z ) = B (−k1)/ 2 Y( k ) g ( k ) ( z ), (9) -1/2 1/2 gdzie: Y(k) są kolumnami macierzy wektorów własnych macierzy P(k) = B(k) A(k) B(k) . W rezultacie otrzymano k układów po nw równań róŜniczkowych drugiego rzędu o następującej postaci: g i′′( k ) ( z ) − λi ( k ) g i ( k ) ( z ) = FBi ( k ) , z ∈ (hk −1 , hk > FBi ( k ) = YiT( k ) B (−k1)/ 2 f ( k ) ( z ) (10) gdzie: λi (k ) jest i-tą wartością własną macierzy P(k ) , oraz Yi (k ) jest wektorem własnym odpowiadającym i-tej wartości własnej. Wartości i wektory własne symetrycznej macierzy P(k ) są obliczane przy wykorzystaniu zestawu procedur realizujących trójdiagonalizację metodą Householdera oraz algorytm QL, które były zamieszczone w pracy [22] w języku Algol i później zostały przetłumaczone na język Pascal. Postać rozwiązań równań (10) jest następująca: g i ( k ) ( z ) = C1i ( k ) e λi ( k ) z + C 2i ( k ) e − λi ( k ) z + rSi ( k )WS ( z ), (11) gdzie: C1i(k) ,C2i(k) są stałymi całkowania , rSi(k) są współczynnikami rozwiązań szczególnych, wyliczanymi za pomocą metody współczynników nieoznaczonych, przy czym WS(z) = col (z0, z1, ... ,zs-1). Podstawiając rozwiązania (11) do zaleŜności (9) i następnie uwzględniając warunki brzegowe.(2) otrzymano układ równań dla wyznaczenia wszystkich stałych całkowania w postaci : RW C = PS , (12) gdzie: RW jest niesymetryczną macierzą stopnia 2 × nh × nw, C jest wektorem stałych całkowania oraz PS jest wektorem zaleŜnym od obciąŜeń. Wektor C zawiera kolejno po nw stałych C1, a następnie nw stałych C2, dla nh stref o stałej sztywności. Rozwiązania są wyznaczane przez zaczerpnięte z pracy [22] procedury bazujące na rozkładzie LU, gdzie L jest macierzą dolną trójkątną a U jest macierzą górną trójkątną. W następnym kroku obliczeniowym wyznacza się funkcje poziomych przemieszczeń konstrukcji oraz ich pochodne wymagane do wyliczenia sił przekrojowych i napręŜeń. Całkowanie funkcji V ''' ( z ) z uwzględnieniem warunków brzegowych V('n' h ) ( H ) = 0 i warunków zgodności (8), prowadzi do następujących wyraŜeń: z z ∈ (hnh −1 , H > ∫ V('n' h ) ( z ) = V('n'' h ) (t ) dt , H z z ∈ (hk −1 , hk > V ( z ) = ∫ V('k'' ) (t ) dt + SV ( k +1,k ) V('k' +1) (hk ). '' (k ) (13) hk Następnie, całkując powyŜsze funkcje z uwzględnieniem warunków brzegowych V(1) (0) = 0, V(1)’(0) = 0 oraz warunków zgodności (5), otrzymuje się: 402 z z ∈ (hk −1 , hk > V('k ) ( z ) = ∫V '' ( k ) (t ) dt + V('k −1) (hk −1 ) , hk −1 (14) z z ∈ (hk −1 , hk > V( k ) ( z ) = ∫V ' ( k ) (t ) dt + V( k −1) (hk −1 ) , hk −1 gdzie: k = 1,…,nh, h0 = 0. Na podstawie przedstawionego algorytmu zaprogramowano w środowisku Delphi 2006 moduły obliczeniowe, włączone do programu BW przeznaczonego dla analizy budynków wysokich usztywnionych konstrukcjami ścianowymi [20, 21] . 4. PRZYKŁADY OBLICZENIOWE W trakcie testowania programu uzyskano dobrą zgodność z wynikami obliczeń, zaprezentowanymi w pracach [16, 14, 15, 6, 12, 3, 8] oraz z wynikami badań doświadczalnych modelu z pleksiglasu, podanymi w pracy [6]. Aby zilustrować poprawność realizacji algorytmu, zaprezentowane zostanie porównanie wyników dla trzech przykładów ścian usztywniających z nadproŜami o zmiennej grubości. 4.1. Przykład 1: Symetryczny układ usztywniający z jedną zmianą grubości i stałym ciągłym połączeniem Pierwsze porównanie dotyczy symetrycznej konstrukcji usztywniającej o 22 kondygnacjach z jedną zmianą grubości, wcześniej analizowanej w pracy [15]. Wymiary konstrukcji są następujące: wysokości kondygnacji 2,69 m, szerokości ścian 6,50 m i długości nadproŜy 1,65 m. Grubość ścian najniŜszych dziesięciu kondygnacji jest równa 0,407 m oraz górnych dwunastu kondygnacji jest równa 0,288 m. Ciągłym połączeniem są płyty stropowe grubości 0,21 m i szerokości 6,50 m . Przyjęto moduł spręŜystości betonu: moduł spręŜystości podłuŜnej E = 2.1 105 kG/cm2, oraz moduł spręŜystości poprzecznej G = 3/7 E. Konstrukcja jest obciąŜona poziomym parciem wiatru o wartościach: kondygnacje dolne 1191 kG/m i kondygnacje górne 1489 kG/m. Na rysunku 1 przedstawiono wykresy poziomych przemieszczeń i intensywności sił ścinających w ciągłym połączeniu. Maksymalna wartość przemieszczenia i maksymalna wartość intensywności w ciągłym połączeniu, podane w pracy [Ros71b], są odpowiednio równe 0,0132 m i 5346 kG/m. Widoczna jest dobra zgodność wyników. 403 Rys. 1. Przykład 1 – Przemieszczenia poziome i intensywność siły ścinającej w paśmie nadproŜy 4.2. Przykład 2: Niesymetryczny układ usztywniający z jedną zmianą grubości W tym przykładzie, analizowanym poprzednio w pracach [2, 3], zmieniają grubość zarówno ściany jak i nadproŜa. Niesymetryczna, ścianowa konstrukcja usztywniająca ma 21 kondygnacji i dwie strefy sztywności, ze stałą wysokością kondygnacji równą 1.0. Wszystkie wymiary są podane w calach. Grubość ścian usztywniających dolnych jedenastu kondygnacji jest równa 0,625, a dziecięciu kondygnacji górnych 0,375. Szerokości lewej i prawej ściany są odpowiednio 3,0 i 2,5. Wysokość nadproŜy jest równa 0,25. Efektywną długość nadproŜy przyjęto jako 1,5 + 0,25 = 1,75. Modyfikacja długości obliczeniowej nadproŜy wynika z tego, Ŝe warunek całkowitego utwierdzenia nadproŜa w ścianie nie jest moŜliwy do spełnienia w miejscu połączenia nadproŜa i ściany [13]. Przyjęto, Ŝe ściany są wykonane z materiału izotropowego o współczynniku spręŜystości podłuŜnej E równym 463 000 lb/sq.in. i współczynniku Poissona 0.0. Układ usztywniający jest obciąŜony poziomym, jednostkowym obciąŜeniem równomiernie rozłoŜonym po lewej stronie. Na rys. 2 przedstawiono rzut układu usztywniającego i rozkład napręŜeń normalnych w przekroju poziomym na rzędnej z = 3,375. Otrzymane rozkłady poziomych przemieszczeń i intensywności sił ścinających w nadproŜach są pokazane na rys. 3. Uzyskane wyniki dobrze 404 zgadzają się z wynikami uzyskanymi na podstawie metody elementów skończonych oraz metody pasm skończonych które przedstawiono w pracach [2, 3]. Rys. 2. Przykład 2 – Rzut układu usztywniającego i napręŜenia normalne na rzędnej z = 3,375 Rys. 3. Przykład 2 – Przemieszczenia poziome i intensywność siły ścinającej w paśmie nadproŜy 405 4.3. Przykład 3: Niesymetryczny układ usztywniający z trzema strefami o róŜnej grubości Na rys. 4 pokazano rzut niesymetrycznego układu usztywniającego o 31 kondygnacjach z dwoma pasmami otworów, powstałego przez rozbudowę przykładu 2. W zmodyfikowanej konstrukcji dołoŜono po jej prawej stronie, ścianę o szerokości 2,5, połączoną przez takie same nadproŜa jak w przykładzie 2. Ponadto cały układ usztywniający podwyŜszono, przez umieszczenie na jego szczycie segmentu mającego 10 kondygnacji o grubości 0,25. Stałe materiałowe i obciąŜenia są takie same jak w przykładzie 2. Na rys. 4 przedstawiono rozkład napręŜeń normalnych w utwierdzeniu konstrukcji. Rys. 5 zawiera wykres przemieszczeń poziomych i wykresy intensywności sił ścinających w nadproŜach w dwóch pasmach nadproŜy. Krótki czas obliczeń dla tego przykładu potwierdza efektywność proponowanego algorytmu. 5. UWAGI KOŃCOWE W pracy przedstawiono algorytm dla analizy ścianowych konstrukcji usztywniających o zmiennym przekroju, przy wykorzystaniu metody ciągłych połączeń. Przeprowadzone testy potwierdziły poprawność komputerowej realizacji algorytmu. Wykazano, Ŝe proponowany algorytm jest efektywny i moŜe być przydatny podczas analiz projektowych budynków wysokich. Podziękowania Pracę powstała częściowo w ramach tematu badawczego Politechniki Poznańskiej DS-11-030/2009. Rys. 4. Przykład 3 – Rzut układu i napręŜenia normalne w utwierdzeniu konstrukcji usztywniającej 406 Rys. 5. Przykład 3 – Przemieszczenia poziome i intensywności sił ścinających w pasmach nadproŜy LITERATURA [1] Aksogan O., Arslan H.M. and Choo B.S.: Forced vibration analysis of stiffened coupled shear walls using continuous connection method, Engineering Structures, 25, pp. 499-506, 2003. [2] Chan H.C and Cheung Y.K.: Analysis of shear wall using higher order finite elements, Building and Environment, 14, pp. 217-224,1979. [3] Cheung Y.K., Au F.T.K. and Zheng D.Y.: Analysis of deep beams and shear walls by finite strip method with C0 continuous displacement functions, Thin-Walled Structures, 32, pp. 289-303, 1998. [4] Coull A. and Puri R.D.: Analysis of coupled shear walls of variable thickness, Build. Sci., 2, pp. 181-188, 1967. [5] Coull A. and Puri, R.D.: Analysis of coupled shear walls of variable cross-section, Build. Sci., 2, pp. 313-320, 1968. [6] Coull A., Puri R.D. and Tottenham H.: Numerical elastic analysis of coupled shear walls, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Part 2, 55, pp. 109-128, 1973. [7] Glück J. and Gellert M.: Three dimensional lateral load analysis of multistorey structures, Publications IABSE, (Mémoires Abhandlungen Publications), 32-I, pp.77-90, 1972. [8] Ha K.H. and Tan T.M.H.: An efficient analysis of continuum shear wall models, Canadian Journ. of Civ. Engineering, 26, pp. 425-433, 1999. [9] Ho D. and Liu C.H.: Shear-wall and shear-core assemblies with variable cross-section, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 81, pp.433-446, 1986. [10] Liang Q.: Recent development of 3-dimensional analysis of tall building structures by continuum method, Recent Developments and Future Trends of Computational Mechanics in Structural Engineering, Proceedings of Sino-US Joint Symposium, Beijing, China, Cheng F.Y. and Zizhi F. Eds, Elsevier, pp. 246-259, 1992. [11] Liauw T.-C. and Luk W.K.: Torsion of core walls of nonuniform section, Journal of the Structural Division, Proc. ASCE, 106, pp.1921-1931, 1980. [12] Lis Z.: Calculations of tall buildings braces with stepped characteristics, Archiwum InŜynierii Lądowej, 23, pp. 527-534, 1977 (in Polish). 407 [13] Michael D.: The effect of local deformations on the elastic interaction of cross walls coupled by beams, in: Tall Buildings, Pergamon Press, 1967, 253-270. [14] Pisanty A. and Traum E.E.: Simplified analysis of coupled shear walls of variable cross-section, Building Science, 5, pp.11-20, 1970. [15] Rosman R.: Analysis of coupled shear walls, Arkady, Warszawa 1971 (in Polish). [16] Traum E.E.: Multistorey pierced shear walls of variable cross-section, in: Tall Buildings, Pergamon Press, Oxford, London, pp. 181-206, 1967. [17] Tso W.K. and Biswas J.K.: General analysis of nonplanar coupled shear walls, J. of Struct. Div., Proc. ASCE, 99, pp. 365-380, 1973. [18] Tso W.K. and Chan P.C.K.: Static analysis of stepped coupled walls by transfer matrix method, Building Science, 8, pp. 167-177, 1973. [19] Wdowicka E.M., Wdowicki J.A. and Błaszczyński T.Z.: Seismic analysis of the "South Gate" tall building according to Eurocode 8, The Structural Design of Tall and Special Buildings, 14, pp. 59-67, 2005. [20] Wdowicki J. and Wdowicka E.: System of programs for analysis of three-dimensional shear wall structures, The Structural Design of Tall Buildings, 2, pp. 295- 305, 1993. [21] Wdowicki J.A., Wdowicka E.M. and Tomaszewski A.M.: Integrated System for multistorey buildings – use of software engineering rules, 2nd European Conference on Computational Mechanics: Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering, Cracow, Poland, Abstracts, Vol. 1, 408-409, full version on CD-ROM, minisymposium 10, pp. 1-20, 2001. [22] Wilkinson J.H. and Reinsch C.: Linear Algebra, Handbook for Automatic Computation, vol. II, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1971. 408