n - WikiZMSI

Elementy Sztucznej Inteligencji
Logika rozmyta
wykład 9
1
Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Co to jest my lenie rozmyte?
Teoria zbiorów rozmytych.
Zmienne lingwistyczne.
Reguły rozmyte.
Wnioskowanie rozmyte:
1. typu Mamdani,
2. typu Sugeno.
2
Co to takiego my lenie rozmyte?
Nawet eksperci u ywaj sformułowa : „Metoda X jest
znacznie bardziej efektywna ni metoda Y”.
Ocen stanów, rzeczy wykonuje si w pewnej skali
stopniowania: mały, du y, wielki, niski, wysoki,
bardzo wysoki, wolny, rednio wolny, szybki, itd...
Trudno jest zatem odró ni element danej klasy od
innych.
Logika rozmyta to logika u yta by opisywa rozmycie,
a nie logika, która jest rozmyta (m tna).
3
Uwaga!
4
My lenie według logiki
konwencjonalnej
Logika boolowska u ywa ostrego
rozró niania: albo co jest elementem klasy,
albo nie jest, np.:
kabel jest długi > 300 m, albo kabel krótki <=300m
Tomek jest wysoki, bo ma 181cm (wysoki >
180cm)
Michał jest niski (nie wysoki), bo mierzy 179cm
5
6
Zakresy warto ci
0 – fałsz
1 – prawda
Klasyczna logika jest specyficznym przypadkiem
logiki wielowarto ciowej jak jest logika rozmyta.
7
Zbiory w uj ciu klasycznym
Zbiór - podstawowe poj cie w matematyce.
X - zbiór klasyczny, x element zbioru X.
(x ∈ X) – x jest elementem zbioru X. Ka dy
element, który przynale y do zbioru ma
ustawian warto 1.
(x ∉ X) – x nie nale y zbioru X. Ka dy
element, który nie jest elementem zbioru ma
ustawian warto 0.
8
Główna idea zbiorów rozmytych
Element nale y do zbioru rozmytego z
pewnym stopniem przynale no ci.
Zatem stwierdzenie mo e by cz ciowo
prawdziwe lub cz ciowo fałszywe.
Przynale no jest liczb rzeczywist z
przedziału 0 do 1.
9
Klasyczny przykład
S to pie
przyna le no ci
Imi
Wyso ko
Lo g ika kla syczna Ro zmyta
Krzy
208
1
1,00
Marek
205
1
1,00
Jan
198
1
0,98
Tomek
181
1
0,82
Dawid
179
0
0,78
Michał
172
0
0,24
Bartek
167
0
0,15
S ta
158
0
0,06
P iotr
155
0
0,01
P aweł
152
0
0,00
10
!"
#
$# % !
!"
#
$# % !
Przynale no klasyczna kontra
rozmyta do zbioru „wysoki m czyzna”
&
11
Zbiór rozmyty
X – uniwersum, zbiór uniwersalny, przestrze .
x – element uniwersum.
Klasyczna logika definiuje funkcj charakterystyczn zbioru A:
fA(x) X →0,1, gdzie:
f A ( x) =
1, if x ∈ X
0, if x ∉ X
Logika rozmyta definiuje funkcj przynale no ci zbioru A z
uniwersum X: µA(x) X →[0,1], gdzie:
µ A ( x) = 1 if x na pewno jest w A
µ A ( x) = 0 if x nie jest w A
0 < µ A ( x ) < 1if x czesciowo jest w A
12
Sk d wiadomo jakie stosowa funkcje
przynale no ci?
Od pojedynczego eksperta.
Zbieraj c dane od wielu ekspertów.
Sztuczne sieci neuronowe ucz si na
dost pnych dla systemu danych i okre laj
zbiór rozmyty.
13
Typy funkcji przynale no ci
14
'
#
$# % !
Przykład – funkcja przynale no ci
%
#!
!
$# % !
!"
#! !
&
!"
#
'
#! !
%
#!
!
(
!
#!
!
#!
#
&
$# %)
*
15
Definicje
Support (baza) zbioru rozmytego A: supp(A) = { x ∈ X : µ A(x) > 0 }
Core (j dro) zbioru rozmytego A: core(A) = { x ∈ X : µ A(x) =1 }
α-cut (α-ci cie) zbioru rozmytego A: Aα = { x ∈ X : µ A(x) > α }
Wysoko
= max x µ A(x) ≤ 1 Zbiór rozmyty normalny: sup x ∈ X µ A(x) = 1
MF
1
.5
α
0
www.phys.uni.torun.pl/~duch/Wyklady/CI/CIZ-2.ppt
J dro
Punkty przegi cia
α - ci cie
Baza
X
16
Reprezentacja zbioru rozmytego
Niech X jest to zbiór par: {xi, µA(x) } {element , jego funkcja
przynale no ci}.
A jest podzbiorem X.
Sposoby reprezentowania podzbioru A:
A = {x1 , µ A ( x1 )}, {x2 , µ A ( x2 )},
, {xn , µ A ( xn )}
A = {µ A ( x1 ) / x1 }, {µ A ( x2 ) / x2 },
, {µ A ( xn ) / xn }
Przykład:
wysoki m czyzna=(0/180, 1/190)
niski m czyzna=(1/160, 0/170)
redniego wzrostu m czyzna=(0/165, 1/175, 0/185)
17
Zmienne lingwistyczne
Zmienne lingwistyczne:
Jan jest wysoki. Jan przyjmuje lingwistyczna warto
wysoki. [Wzrost jest zmienn lingwistyczn ]
(term)
Przykłady reguł rozmytych:
IF wiatr jest silny
THEN aglowanie jest dobre
IF czas projektu jest długi
THEN ryzyko uko czenia wysokie
IF pr dko wolna
THEN droga hamowania krótka
18
&
Operacje na zmiennych
lingwistycznych
Przykład zbioru zmiennych lingwistycznych dla zmiennej
pr dko : {wolno, rednio, szybko}
Operacje mo na podzieli na grupy:
uniwersalne: bardzo, całkiem, ekstremalnie;
dla warto ci prawda, fałsz: prawie prawdziwe, w wi kszo ci
fałszywe;
prawdopodobie stwo: prawdopodobnie, niezbyt prawdopodobnie;
typu: wi kszo , kilka, niewiele;
mo liwo ci: prawie niemo liwe, całkiem mo liwe.
Ich zadanie to koncentracja lub rozszerzanie warto ci funkcji
przynale no ci (np. mniej wi cej wysoki m czyzna ma szersze
znaczenie ni wysoki m czyzna).
19
Przykład
#! !
#
$# % !
!
%
!
#!
!"
#! !
&
Osoba o wzro cie 184cm przynale y do zbioru wysoki w stopniu
0.4, natomiast do zbioru bardzo wysoki w stopniu 0.1.
20
o pe ra cja
w yra e nie ma te ma tyczne
re pre ze nta cja g ra ficzna
[ µ A ( x)]
1.3
mało
[ µ A ( x)]1.7
niewiele
[ µ A ( x)]2
bardzo
[ µ A ( x)]3
nadzwyczaj
bardzo bardzo
mniej wi cej
troch
is totnie
[ µ A ( x)]4
µ A (x)
µ A (x)
2[ µ A ( x)]2
1 − 2[1 − µ A ( x)]2
if 0 ≤ µ A ≤ 0.5
if 0.5 ≤ µ A ≤ 1
21
Przykład
Tomek nale y do zbioru
o pe ra cja
m czyzna wysoki w
mało
niewiele
stopniu 0,86.
bardzo
W tabeli zaprezentowano nadzwyczaj
bardzo bardzo
odpowiednie warto ci
mniej wi cej
przynale no ci do
troch
zaw onych lub
is totnie
rozszerzonych zbiorów.
Przykła d
0,82
0,77
0,74
0,64
0,55
0,93
0,93
0,96
22
Operacje i cechy zbiorów
rozmytych
Operacje:
dopełnienie,
zawieranie si ,
przeci cie,
unia.
Cechy:
przemienno ,
ł czno ,
rozdzielno OR wzgl dem AND i AND wzgl dem OR,
podwójne zaprzeczenie,
przechodnio ,
prawo de Morgana.
23
Operacje na zbiorach klasycznych
+,-.
B
A
A
B
A
A
B
24
Dopełnienie
Zbiór klasyczny: Kto/co nie nale y do zbioru?
Zbiór rozmyty: Jak bardzo element nie przynale y do zbioru?
µ ¬A ( x ) = 1 − µ A ( x )
Przykład:
wysoki m czyzna = (0/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 0.75/187, 1/190)
NOT wysoki m czyzna = (1/180. 0.75/182.5, 0.5/185, 0.25/187,
0/190)
1
1
µA(x)
µA(x)
+,-.
.
0
0
x
x
25
Zawieranie si
Zbiór klasyczny: Który zbiór nale y do innych
zbiorów?
Zbiór rozmyty: Który zbiór rozmyty nale y do innych
zbiorów rozmytych?
Przykład:
wysoki m czyzna = (0/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 0.75/187,
1/190)
bardzo wysoki m czyzna = (0/180, 0.06/182.5, 0.25/185,
0.56/187, 1/190)
1
µ(x)
/
.
0
x
26
Iloczyn
Zbiór klasyczny: Który element nale y do obu zbiorów?
Zbiór rozmyty: Jak bardzo element przynale y do obu zbiorów
rozmytych?
µ A∩ B ( x) = min[ µ A ( x), µ B ( x)] = µ A ( x) ∩ µ B ( x)
Przykład:
wysoki m czyzna = (0/165, 0/175, 0/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 1/190)
redni m czyzna = (0/165, 1/175, 0.5/180, 0.25/182.5, 0/185, 0/190)
wysoki m czyzna∩ redni m czyzna = (0/180, 0.25/182.5, 0/185)
1
1
µ (x)
µ(x)
.
/
0
.
∩/
0
x
x
27
Suma
Zbiór klasyczny: Który element nale y do jednego z, lub obu zbiorów?
Zbiór rozmyty: Jak bardzo element przynale y do jednego z, lub obu
zbiorów?
Przykład:
µ A∩ B ( x) = max[ µ A ( x), µ B ( x)] = µ A ( x) ∪ µ B ( x)
wysoki m czyzna = (0/165, 0/175, 0/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 1/190)
redni m czyzna = (0/165, 1/175, 0.5/180, 0.25/182.5, 0/185, 0/190)
wysoki m czyzna∪ redni m czyzna = (0/165, 1/175, 0.5/180,
0.25/182.5, 0.5/185, 1/190 )
1
1
µ (x)
µ(x)
.
0
/
x
.
0
∪/
x
28
Cechy zbiorów rozmytych
Przemienno
:
wysoki OR niski = niski OR wysoki
Ł czno :
A∪ B = B ∪ A
A∩ B = B ∩ A
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C
wysoki OR (niski OR redni) = (wysoki OR niski) OR redni
Rozdzielno
:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
29
Cechy zbiorów rozmytych cd.
Inne:
A∪ A = A
A∩ A = A
A∪0 = A
A∩ X = A
A∩0 = 0
A∪ X = X
gdzie X – zbiór ze stałym stopniem przynale no ci 1
gdzie 0 – zbiór pusty
30
Cechy zbiorów rozmytych cd.
Podwójne zaprzeczenie:
¬ (¬ A ) = A
Przechodnio :
( A ⊂ B )( B ⊂ C ) = A ⊂ C
Prawo de Morgana
¬( A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B
¬( A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B
31
Reguły rozmyte
IF pr dko du a (logika klasyczna: >100km/h)
THEN droga hamowania długa
IF pr dko mała (logika klasyczna: <40km/h)
THEN droga hamowania krótka
IF x jest A
THEN y jest B
x,y – zmienne lingwistyczne,
A,B – warto ci lingwistyczne (termy),
X,Y – uniwersa
32
Wnioskowanie z reguł
Logika klasyczna: Je eli przesłanka (IF) jest
prawd to i implikacja jest prawdziwa.
Logika rozmyta: Je eli przesłanka jest w
pewnym stopniu prawdziwa, to i
konsekwencja jest w pewnym stopni
prawdziwa.
33
Przykład działania reguły
#
!"
$# % !
#
!"
$# % !
IF wzrost wysoki
THEN waga ci ka
'
&
0
0
34
'
Reguły zło one
Wiele przesłanek:
IF czas projektu długi
AND liczba pracowników du a
AND fundusze s nieodpowiednie
THEN ryzyko du e
IF jedzenie dobre
OR obsługa miła
THEN napiwek wysoki
Wielokrotna konsekwencja:
IF temperatura powietrza wysoka
THEN temperatura wody jest obni ona;
zwi kszana jest zimna woda.
35
Wnioskowanie rozmyte
36
Etapy w modelu rozmytym
(Wnioskowanie rozmyte)
1. Czynno ci wst pne:
1. Okre lenie reguł rozmytych.
2. Okre lenie funkcji przynale no ci do warto ci wej
wyj .
i
2. Główne kroki:
1. Rozmycie wej poprzez u ycie funkcji przynale no ci
(fuzyfikacja).
2. Ł czenie rozmytych przesłanek (wej ) poprzez rozmyte
reguły by uzyska rozmyte konsekwencje (z wielu reguł).
3. Ł czenie wniosków (konsekwencji), by otrzyma
ostateczny rozkład wyj cia.
4. Defuzyfikacja wyj cia (wyostrzenie) – tylko, gdy musimy
uzyska jednoznaczn odpowied .
37
Przykład
Cel: zbudowa rozmyty system ekspertowy
wspomagaj cy wnioskowanie o operacjach
wydobycia na podstawie:
cen ropy i
wykazanych rezerw korporacji.
Dane s :
zbiory rozmyte dla cen ropy (wej cie 1),
zbiory rozmyte dla wykazanych rezerw korporacji (wej cie
2),
Zbiory rozmyte zaanga owania w operacj wydobycia
(wyj cie).
Reguły post powania przy zadanych wej ciach.
1
2
!
#
#!
3
!
0#
!# !
#
38
&
Przykład cd.
39
Przykład cd.
40
Przykład cd.
41
Przykład cd. – reguły rozmyte
Reguła 1:
IF cena ropy jest wysoka
AND wykazane rezerwy s niskie
THEN zwi kszenie operacji wydobycia wysoce wskazane.
42
Cechy wnioskowania rozmytego
W procesie wnioskowania kilka reguł jest
odpalanych jednocze nie, co bardziej
przypomina sposób analizy prowadzony
przez człowieka.
Informacje wykorzystywane s w pełni
symultanicznie.
43
Fuzyfikacja
Podane s jednoznaczne (liczbowe, ostre)
wej cia do systemu wnioskowania.
Dane mog mie ró ne pochodzenie i st d
warto ci.
Ka de wej cie jest zamieniane na warto
rozmyt poprzez funkcj przynale no ci.
Przykład: Cena ropy $20.00 za baryłk i zapasy
korporacji wielko ci 9 MMBBLs (million barrels).
44
45
Odpalenie reguł
Wykorzystuje si , w zale no ci od reguły, operatory
zdefiniowane dla zbiorów rozmytych takie jak: suma
(MAX), iloczyn (MIN) do składania wej . W wyniku
oblicze powstaje zbiór rozmyty, tzw. konsekwencja.
Ró norodno operatorów sum i iloczynów prowadzi
do ró nych rozwi za .
46
47
Agregacja reguł (akumulacja)
Jest to proces ł czenia wszystkich reguł
wyj ciowych w jeden zbiór rozmyty.
Najcz ciej wykorzystuje si operator max.
48
Defuzyfikacja
Proces uzyskiwania jednoznacznej (ostrej)
warto ci jako wyniku wnioskowania.
Metody defuzyfikacji:
metoda rodka ci ko ci (Center of Gravity) –
najpopularniejsza,
metoda rodka maximum (Mean Of Maximum) ,
metoda pierwszego maximum (First of Maxima).
49
COG
Dla funkcji ci głej:
b
YCOG =
a
µ A ( x) xdx
b
a
µ A ( x)dx
$# % !
Dla próbkowanego przedziału zmiennej:
b
!"
#
YCOG =
.
x =a
b
µ A ( x) x
x =a
µ A ( x)
50
!"
#
$# % !
COG – przykład
'
(0 + 10 + 20) × 0.1 + (30 + 40 + 50 + 60) × 0.2 + (70 + 80 + 90 + 100) × 0.5
= 67.4
0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5
51
MOM
Wyj cie przyjmuje warto
:
#
$# % !
YMOM = Y ( µ max term )
!"
YCOG =
&
.
52
Ró ne wej cia - liczbowe
#0 4
5 #
678
9:;;<
=>'>
53
Ró ne wej cia - rozmyte
54
#0 4
5 #
678
9:;;<
=>'>
'
Wnioskowanie typu Segueno
Wnioskowanie typu Mamdani nie jest
korzystne obliczeniowe, poniewa nale y
wyznacza centra dwuwymiarowych figur.
Wnioskowanie typu Segueno stosuje
pojedyncze warto ci (singletony) jako funkcje
przynale no ci znalezionych konsekwencji.
Maj one warto ci ró ne od zera tylko w
jednym punkcie.
55
?
#!
56
@0 #
'
57
Zalety
Segueno
Efektywny obliczeniowo
Pracuje poprawnie z
technikami liniowymi
Jest wydajny dla technik
optymalizacji i adaptacji.
Gwarantuje ci gło
płaszczyzny wyj ciowej.
Dopasowany do analiz
matematycznych.
Mamdani
Jest intuicyjny.
Metoda szeroko
wykorzystywana i
akceptowana.
Dobrze dopasowana do
wej opisywanych
przez człowieka.
58
&
Zastosowanie
Wsz dzie tam, gdzie trudno jest utworzy
matematyczny model, ale daje si opisa sytuacj w
sposób jako ciowy, za pomoc reguł rozmytych.
Kontrolery rozmyte. Cz sto w przemy le – kontrola
procesów.
Inteligentne lodówki, pralki, windy, opiekacze do
grzanek, aparaty fotograficzne.
Zastosowania medyczne: nieprecyzyjny j zyk daje
si przeło y na reguły rozmyte.
59
Zastosowania techniczne
Synteza j drowa.
Ustalanie drogi przelotu samolotu.
Sterowanie procesem spalania paliw w
elektrowniach.
Kontrola pr dko ci ci arówki.
Sterowanie procesem produkcji penicyliny.
Kontrola ruchu ulicznego.
Mikrokontrolery (68HC12 MCU ).
60
Przykład 1
Sterowanie d wigiem dopasowuj c ci
by elementy nie hu tały si na linach.
ar i drog , tak
61
Przykład 2
ABS (Antilock-Bracking System)
Dynamika pojazdu i hamowanie jest zło onym
systemem i zachowuje si silnie nieliniowo. Logika
rozmyta jest zatem wietnym rozwi zaniem.
Główne komponenty ABS:
Electronic control units (ECUs) – przetwarza informacj z
sensora i reguluje odpowiednio hamulcami;
sensor pr dko ci kół – wysyła impulsy do ECU z
cz stotliwo ci proporcjonaln do pr dko ci kół;
modulator hamulców.
62
Zastosowanie w biznesie i
finansach
Inwestycje bankowe.
Ocena ryzyka kredytowego.
Ocena ryzyka ubezpieczenia.
Okre lenie strategii inwestycyjnych.
Okre lenie profilu klienta.
Kontroler jako ci.
Przewidywanie długo ci pobytu w szpitalu.
Wyszukiwanie powtarzaj cych si danych w bazach.
Prognozowanie giełdowe.
Wyznaczanie ramówek dla reklam telewizyjnych.
63