zadania z klasówki z układów równań z odpowiedziami

Zadanie 1
Dla jakich wartości parametru p układ równań:
a) jest sprzeczny
b) ma dokładnie jedno rozwiązanie
c) ma nieskończenie wiele rozwiązań; podać w tym wypadku rozwiązanie bazowe względem
zmiennych x1, x2
Odp.
a)
—
b) dla
, x = [0 1 0]T
c)
Zadanie 2
Dana jest macierz
W zależności od parametru
podać rozwiązanie ogólne układu jednorodnego
.
Odp.
Dla
mamy:
Dla
mamy:
Zadanie 3
Dla następującego układu równań:
a) wyznaczyć rozwiązanie ogólne i wszystkie rozwiązania bazowe spełniające warunek
b) wyznaczyć rozwiązanie szczególne spełniające dodatkowo następujące równanie płaszczyzny
c) sprawdzić czy trzy wektory wyznaczone w punkcie a) oraz b) tworzą układ wektorów liniowo
niezależny.
Odp.
a)
, rozwiązania bazowe spełniające warunek
:
oraz
b)
c) Nie są liniowo niezależne
Zadanie 4
Dany jest układ równań:
Dla jakiej wartości parametru
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań? Podać rozwiązanie
ogólne układu w tym wypadku oraz wszystkie rozwiązania bazowe.
Odp.
Dla
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, mamy wtedy:
rozwiązania bazowe
,
,