System GPS i jego modelowanie

Temat: Wiadomości o konstelacji satelitów GPS
Mirosław Kwiatek
Stosowany aktualnie w Polsce Global Positioning System (GPS NavStar) jest utrzymywany i
zarządzany przez siły zbrojne USA. Jest to system określania pozycji na Ziemi oparty o kilkadziesiąt
satelitów wojskowych udostępnionych bezpłatnie też i (prawie) wszystkim cywilom – również spoza
USA.
Odbiornik (satelitarnych sygnałów radiowych) GPS może podad użytkownikowi: szerokośd i długośd
geograficzną, ewentualną wysokośd n. p.m., aktualny czas i ewentualną prędkośd swego poruszania
się z użytkownikiem i inne wynikające stąd, pochodne wielkości (np. jakieś planowane kierunki czy
odległości mierzone po powierzchni Ziemi). Aby odbiornik obliczył przede wszystkim szerokośd i
długośd geograficzną to musi jednocześnie widzied min 3 satelity systemu. Aby dodatkowo obliczył
wysokośd (Czyli aby określid pozycję w czasoprzestrzeni) to musi widzied min 4 satelity systemowe.
Aby odbiornik GPS widział jakieś 4 satelity z praktycznie każdego punktu globu ziemskiego to system
musi mied min 24 satelity. Satelity te krążą na 6 orbitach obróconych co 60 stopni; Na każdej orbicie,
co 90 stopni, znajdują się po 4 satelity (Gdy jeden zachodzi to inny wschodzi ponad lokalny horyzont).
Satelity tworzą więc konstelację. Sfera na której się ona znajduje ma promieo około dwukrotnie
mniejszy, ok. 20 tysięcy km (dokładnie 20162 km < 35803) niż promieo równikowej orbity któregoś z
setek już satelitów geostacjonarnych (TV-sat); Bo też okres obiegu satelitów GPS jest prawie równy
połowie (czyli wynosi 12 godzin) okresu obiegu satelity geostacjonarnego.
Aby system GPS lepiej działał to jego liczba satelitów wynosi 30 czyli więcej niż minimum. Z tego
aktywnych jest 28 a pozostałe służą np. dla celów testowych. Zwykle na orbitach znajduje się więcej
satelitów niż 24 gdyż włączane są nowe, które mają zastąpid stare (żywotnośd satelity wynosi ok. 11
lat).
Dokładnośd standardowa określania położenia wynosi kilka metrów; Niestety jest ona ok. 3 razy
mniejsza przy określaniu wysokości n. p. m. (dokładniejsza, alternatywna metoda barometryczna
opiera się na pomiarze manometrem ciśnienia, które jak wiadomo spada ze wzrostem wysokości).
Ta dokładnośd była przez władze wojskowe USA przed 2000 r. celowo zmniejszana (blokowana, do 100 m) dla użytkowników spoza
amerykaoskiej armii w trosce o bezpieczeostwo Stanów Zjednoczonych (aby zmniejszyd ryzyko trafienia do celu wrogim paostwom czy
terrorystom); Było też ograniczenie na prędkośd poruszania się odbiornika GPS (160 km/h). Do dziś pozostały pewne ograniczenia np. na
prędkośd poruszania się odbiornika GPS (1665 km/h) czy pomiar wysokości (18 km). Jak widad ograniczenia te mają nie dopuścid np. do
(nieamerykaoskich) zastosowao rakietowych systemu GPS. Poza tym istnieje jeszcze blokada dokładności pozycjonowania nad krajami
niestabilnymi politycznie lub takimi, w których toczy się wojna.
Różne paostwa obawiają się, że USA może przestad udostępniad system GPS w ogóle albo na powrót wprowadzid blokadę dokładnego
pozycjonowania albo wprowadzid odpłatnośd za korzystanie z systemu. Dlatego obok systemu GPS istnieją już bądź są budowane inne
systemy. Istnieje już np. system rosyjski GLONASS ; wdrażany jest system chioski (Beidou) . Przede wszystkim interesująca dla Polaków jest
budowa systemu europejskiego GALILEO (do 2012 r). Również w Indiach budują swój system. Niektóre z powyższych systemów (chioski w I
etapie czy hinduski) mają obsługiwad tylko terytorium jednego kraju z okolicami.
System rosyjski (GLObalnaja NAwigacjonnaja Satelitarnaja Sistemma) ma tylko minimum (24) satelitów (na 3 orbitach, o T = 11:16 < 11:58
godz.). O ile w amerykaoskim GPS sygnał cywilny jest wymieszany z (zakodowanym oczywiście) wojskowym tak w systemie rosyjskim są 2
kanały oddzielne; Dokładnośd pozycjonowania cywilnego wynosi 60 m. System GLONASS ma niższą też żywotnośd satelitów (4 lata).
System GALILEO (do którego też należą … Chiny) ma mied komercyjną dokładnośd pozycjonowania 50 m. (przy 30 satelitach)
Odbiornik GPS może tylko odbierad sygnały; Nie ma (w odróżnieniu od telefonu komórkowego)
części nadawczej. Komputer (mikroprocesor) odbiornika GPS oblicza swoją pozycję na podstawie
różnic (zmierzonego) czasu w jakim docierają do odbiornika (analogiczne) sygnały z satelitów; Bo
mając takie różnice czasu oraz mając prędkośd rozchodzenia się sygnałów radiowych (równą
oczywiście prędkości światła ‘c’) elektronika odbiornika oblicza (różnice) drogi (droga = prędkośd x
czas). Odległości do satelitów i współrzędne tych satelitów są wystarczającymi danymi do
wyznaczenia swego położenia przez odbiornik GPS. Identyfikacja satelitów jest możliwa dzięki temu,
że (co prawda wszystkie satelity nadają sygnały na tej samej częstotliwości ale te) sygnały są
modulowane odpowiednio – różnymi kodami.
Pomiar odległości jest więc bierny
(Różnice) drogi obliczane są z centymetrową dokładnością! (Długości fal sygnałów radiowych są
rzędu 20 cm bo częstotliwości są rzędu kilkunastu setek MHz). Jest to możliwe dzięki pomiarowi
czasu z najwyższą dokładnością. W tym celu na każdym satelicie pracują aż 4 zegary zwane
atomowymi (2 cezowe czyli z izotopem Cs 133 i 2 rubidowe) charakteryzujące się zasadą działania
generującą najwyższą dokładnośd, znacznie (1000 razy, 0,1 ns / dzieo czyli 1 s na 300 lat) wyższą od
dokładności powszechnie noszonych tzw. zegarków kwarcowych. Zegary satelitów są
zsynchronizowane ze sobą.
Pomiar czasu jest tak dokładny, że uwzględnia nawet spowolnienie upływu czasu (w polu
grawitacyjnym Ziemi)
O zegar atomowy oparta jest definicja sekundy.
Znana odległośd od (jednego) satelity lokuje odbiornik GPS na sferze (przecinającej Ziemię lub
stycznej do niej – jak byłoby najlepiej) o promieniu równym zmierzonej odległości między tym satelitą
a odbiornikiem. Znana odległośd od dwóch satelitów lokuje odbiornik na okręgu (stycznym do Ziemi)
będącym przecięciem dwóch sfer. A kiedy odbiornik zmierzy odległośd od trzech satelitów to istnieją
już tylko 2 punkty (przecięcie się powyższego okręgu z trzecią sferą) w których może się znajdowad
ten odbiornik. Jeden z tych punktów można wykluczyd jako znajdujący się zbyt wysoko.
Można tu wspomnied, że wojskowe odbiorniki GPS pozycjonują z dokładnością kilku milimetrów!
Typowy odbiornik GPS może widzied do 12 satelitów. Największa dokładnośd pozycjonowania jest
gdy widzi jak najwięcej ale też gdy satelity nie są w jednej linii (i są m.in. jak najdalej siebie położone)
Sygnały docierające do odbiornika z poszczególnych satelitów są bardzo małej mocy, poniżej poziomu szumów (więc do ich dekodowania
stosowane są wyszukane techniki demodulacji; Nawet najprostszy odbiornik GPS ma dużą moc obliczeniową). Jest tak oczywiście z powodu
olbrzymiej odległości od satelitów a nie można przecież zastosowad anten ‘czaszowych’ jak do odbioru sygnałów z satelitów
geostacjonarnych (podwójnie dalej odległych). Kierunkowośd takich anten pozwala wyłapad lepiej słaby sygnał satelitarny ale ta sama
kierunkowośd jest też wadą – antena taka nie może byd zastosowana w (małych) urządzeniach mobilnych jakimi są odbiorniki GPS.
Odbiornik GPS tym bardziej nie może emitowad sygnałów w kierunku satelitów – takie zresztą było założenie twórców wojskowego przecież
GPS (położenie odbiorników nie może byd wykrywalne – nie mogą byd więc one aktywnymi)
Telefony komórkowe mogą komunikowad się w obie strony bo mają blisko do stacji przekaźnikowych (nawet od kilkuset metrów w
miastach!)
Wiad. o telefonii satelitarnej
W przeciwieostwie do komórkowej nie ma charakteru powszechnego ze względów ekonomicznych.
Stanowi więc uzupełnienie komórkowej na obszarach pustyo, oceanów, itp. Jest kilka systemów;
Częśd z nich ma satelity geostacjonarne a częśd – orbity niskie, do 2 tys. km. , m.in. systemy Irydium
(od 1985 r przez Motorolę) i Globalstar. W (globalnym) systemie Irydium satelity obiegają Ziemię
od bieguna do bieguna. Tylko telefonia oparta o satelity niskoorbitalne pozwoliła na zmniejszenie
mocy elektrycznej telefonu satelitarnego, który wielkością przypomina dzięki temu telefon
komórkowy.
Spośród systemów opartych o satelity geostacjonarne tylko jeden jest globalny.
12 gru 2008
Modelowanie systemu nawigacji satelitarnej („GPS”)
Każdy satelita GPS m. in. co 1 ms rozsyła ciąg ok. 1000 impulsów (bitów) zwany ramką kodu C/A. W
ramce zapisane (zakodowane) są m. in. informacje identyfikujące satelitę (jest ich w systemie ponad 24),
podające położenie satelity (Aktualne i póżniejsze bo droga każdego w ciągu jednej sek. to ok. 8 km!) a przede wszystkim:
(bardzo dokładny) czas wysłania ramki (zapisany na jej początku). Każdy odbiornik GPS na Ziemi,
który odbierze impulsy mierzy czas otrzymania ramki i porównując go z czasem (wysłania) zapisanym
w danych ramki oblicza różnicę Δt czasów. Ta różnica jest oczywiście czasem biegnięcia sygnałów od
satelity do odbiornika GPS. Na podstawie tego czasu odbiornik oblicza odległośd do satelity: d = cΔt
gdzie c jest prędkością sygnału (światła). W ułamku sekundy odbiornik GPS powtarza te czynności w
stosunku do wszystkich widzianych przez siebie satelitów. A potem dokonuje skomplikowanych
obliczeo trygonometrycznych z użyciem tych odległości i (poszukiwanych) swojej szerokości i długości
geograficznej. Na koniec często przelicza kąty tej szerokości i długości na pozycję na mapie.
Pomiar szer. i dł. geograf. z użyciem 2 (?) satelitów można sobie tak wyobrazid (oszacowanie!):
Zakładamy, że odbiorniki GPS są tylko na oceanach (dla potrzeb żeglugi), aby wys. n.p.m. nie
utrudniała (I – że Ziemia jest kulą a nie geoidą ani nawet elipsoidą). Dane:
μ1, μ2 = Kąty szerokości geograficznych satelitów,
ω1, ω2 =kąty długości geograficznych satelitów,
τ1, τ2 = czasy wysłania sygnałów z satelitów (zapisane w tych sygnałach), (Założenie: τ1>τ2)
c = prędkośd sygnałów radiowych rozchodzących się z satelitów – ok. 300 tys km/s,
R = orbity satelitów GPS ( od środka Ziemi) – ok. 20 tys km,
r = promieo Ziemi – ok. 6370 (6371?) km.
1. Zmierzenie (momentów) czasów t2 i t1, w których na Ziemię dotarły zapisy czasów τ2 i τ1
2. Obliczenie czasów dotarcia sygnałów: Δt2 = t2-τ2 oraz Δt1 = t1-τ1
3. Obliczenie odległości od odbiornika GPS do satelitów:
a = cΔt2, b = cΔt1
4. Obliczenie składowej południkowej (na równoleżniku sfery orbity) odległości między
satelitami:
z twierdzenia kosinusów:
MS22 = R2 + R2 – 2RRcos(ω2-ω1)
stąd MS2 = 2R2 – 2R2cos(ω2-ω1) = 2R2[1 – cos(ω2-ω1)] = R 2[1 – cos(ω2-ω1)]
MS2/2
(a po łuku: R*2arcsin R )
5. Obliczenie składowej równoleżnikowej (na południku sfery orbitalnej) odległości między
satelitami
MS12 = R2 + R2 – 2RRcos(μ2-μ1)
6. Obliczenie odległości między satelitami:
stąd: …
MS1 = R 2[1 – cos(μ2-μ1)]
z twierdzenia Pitagorasa: S1S2 = p = MS22 + MS12 = 2R2{[1-cos(ω2-ω1)]+[1-cos(μ2-μ1)]}
p/2
= 2R2[2-cos(ω2-ω1)-cos(μ2-μ1)] (a po łuku: R*2arcsin R ) Jak widać – wzory stają się coraz dłuższe …
7. Trzeba teraz zrzutowad trójkąt abp (abS1S2, S1S2G) na Ziemię; Nie będzie to rzutowanie
prostokątne bo z jednoczesnym zmniejszeniem.
Odległośd p między satelitami przejdzie w odległośd k po wykorzystaniu twierdzenia Talesa:
k r
r
r
2
=
stąd
k
=
p
=
2R
[2-cos(ω2-ω1)-cos(μ2-μ1)]
p R
R
R = 2Rr[2-cos(ω2-ω1)-cos(μ2-μ1)]
k/2
(po łuku krzywizny Ziemi: k = r*2arcsin r )
8. Obliczenie (łuku) długości „e” rzutu odległości „a” do satelity na Ziemię:
R2 + r2 - a2
Z trójkąta Rar: a2 = R2 + r2 – 2Rrcosδ2 stąd 2Rrcosδ2 = R2 + r2 – a2 , cosδ2 =
=…
2Rr
R2 + r2 - a2
δ2
δ2 = arccos
= … stąd łuk e = 2π r = … ,
δ = kąt między promieniami: Ziemi
2Rr
δ2
pod odbiornikiem GPS i orbity satelity,
(cięciwa e byłaby równa 2(rsin 2 ) = …)
9. Obliczenie (łuku) długości „f” rzutu odległości „b” do satelity na Ziemię:
R2 + r2 - b2
δ1
Z trójkąta Rbr: … δ1 = arccos
=
…
stąd
łuk
f
=
2Rr
2π r = …
δ1
(cięciwa f byłaby równa 2(rsin 2 ) = …)
10. Obliczenie (rozwartego) kąta γ między jednym z rzutów (krótszym „e” ) a rzutem k odległości
między satelitami w utworzonym powyżej trójkącie kef na Ziemi (już):.
e2 + k2 - f2
f2 = e2 + k2 – 2ekcos(γ) stąd 2ekcosγ = e2 + k2 – f2 , cosγ =
=…
2ek
e2 + k2 - f2
γ = arccos 2ek = …
11. Obliczenie kąta φ między rzutem na Ziemię odległości p łączącej satelity a rzutem składowej
południkowej (po równoleżniku sfery orbit) MS2 tej odległości; Ten kąt φ będzie taki sam jak
MS2
MS2
na orbicie czyli: cosφ = p
stąd φ = arccos p = …
12. Obliczenie kąta ε między rzutem „e” a południkiem, na którym leży wierzchołek kąta γ:
ε = γ - φ - 90 = …
13. Obliczenie składowej południkowej m (po równoleżniku) rzutu e:
m = esinε = …
14. Obliczenie kąta β na jakim rozpięta jest na powierzchni Ziemi odległośd m (składowa
południkowa …) czyli obl. długości geogr. odbiornika GPS (ale jeszcze) względem satelity (S2)
(a nie: południka zerowego):
2r2 - m2
m2
2r2 - m2
m2 = 2r2 – 2r2cosβ stąd 2r2cosβ = 2r2 - m2 , cosβ = 2r2 = 1 - 2r2 , β = arccos 2r2 = …
15. I ostatecznie obliczenie długości geograficznej α odbiornika GPS: α = ω2 + β = …
16. Obliczenie składowej równoleżnikowej … (po południku) (wg. punktu 13)
17. Obliczenie kąta … na jakim rozpięta jest na powierzchni Ziemi odległośd … składowa
równoleżnikowa … (wg. punktu 14)
18. Obliczenie szerokości geograficznej … odbiornika GPS
Ѳ = μ2 ± β’ = …
Są 2 rozwiązania („powierzchniowe”) – po obu stronach odcinka k; aby jedno wyeliminowad
to trzeba trzeciego satelitę …
To była tylko próba oszacowania mająca na celu pokazad złożonośd obliczeniową (~10 trójkątów!). W
rzeczywistości jest trudniej bo trzeba zastosowad trygonometrię sferyczną dla trójkątów
(krzywoliniowych i to) elipsoidalnych. Obliczyliśmy co prawda 3 łuki trójkąta sferycznego kef czyli
jakby przygotowaliśmy grunt do trygonometrii sferycznej na Ziemi ale dalej (przy obliczaniu kątów)
przyjmowaliśmy, że trójkąty są płaskie, np. „niebiaoski” S1S2M …
MK, 2013
Aby GPS działał z „jaką taką” dokładnością i na lądzie to we wszystkich dotychczasowych
wzorach gdzie występuje promieo Ziemi r trzeba go zwiększyd o H = wysokośd nad poziomem
morza odbiornika GPS. Wtedy otrzymamy wzór na długośd geograficzną α zależną od H α(H)
i analogiczny wzór na szerokośd geograficzną μ(H) czyli trzeba mied jeszcze jedno równanie
bo mamy w tej chwili 2 równania a 3 niewiadome.
Ale mamy do dyspozycji dużo satelitów (5 – 6 z 12!) Przeprowadźmy dokładnie takie samo
rozumowanie jak wyżej dla jakiejś następnej pary satelitów! Przesyłają one w tym samym
ułamku sekundy co satelity pierwszej pary też swoje współrzędne geograficzne oraz czas ich
wysłania do naszego odbiornika GPS a odbiornik liczy odległości do nich. Będziemy mieli więc
już 4 równania na 3 niewiadome stąd wszystkie 3 współrzędne przestrzenne czyli obie
współrzędne geograficzne i wysokośd odbiornik GPS wyliczy.
Można też dla 3 satelity przyrównad jego odległośd do odbiornika GPS wyliczoną na
podstawie pomiaru czasu do odległości wyliczonej trygonometrycznie na podstawie
długości i szerokości geograficznych satelity i odbiornika GPS:
S3G = cΔt3
Oznaczmy długośd geograficzną trzeciego satelity przez ω3 a szerokośd geograficzną przez
μ3. Kąt będący różnicą rozpatrywanych tu długości geograficznych wyniesie α(H) – ω3 a kąt
będący różnicą rozpatrywanych tu szerokości geograficznych wyniesie Ѳ(H) – μ3. W ten
sposób S3G będzie funkcją szukanych współrzędnych: H, α(H) oraz Ѳ(H). Mamy z rys:
S3G = WS32 + WG2
WS3 = j’ + i’ = …
WG = g2 + (i+j)2
μ3-Ѳ(H)
j’ = Rsin 2
μ3-Ѳ(H)
i’ = (r+H)sin 2
μ3-Ѳ(H)
μ3-Ѳ(H)
g = {[R-(r+H)]cos 2
} cos 2
μ3-Ѳ(H)
ω3-α(H)
i = [(r+H)]cos 2
] sin 2
μ3-Ѳ(H)
ω3-α(H)
j = [Rcos 2
] sin 2
…
… http://www.navi.pl/katalog/34/112/podstawy_gps.html