Analiza stabilności przekształtników DC/DC

ANALIZA STABILNOŚCI PRZEKSZTAŁTNIKÓW DC/DC
STABILITY ANALYSIS OF THE DC/DC CONVERTERS
Igor Korotyeyev, Paweł Szcześniak
Instytut InŜynierii Elektrycznej
Uniwersytet Zielonogórski
Streszczenie
W artykule przedstawiono metody badania
stabilności układów energoelektronicznych, na
przykładzie
przekształtnika
DC/DC
podwyŜszającego napięcie. Omówione zostały
podstawowe zaleŜności metody dokładnej i dwóch
metod uśrednionych. Ponadto pokazano wyniki
badań stabilności układu przekształtnika z ujemną
pętlą sprzęŜenia zwrotnego, dla zmiany
współczynnika wzmocnienia błędu.
1. WSTĘP
Układy
energoelektroniczne
objęte
pętlą
sprzęŜenia
zwrotnego
charakteryzują
się
moŜliwością występowania róŜnych stanów pracy.
Stany te są ściśle zaleŜne od budowy układu
sterowania oraz parametrów i elementów samej
topologii. Przy złym doborze parametrów pętli
sprzęŜenia zwrotnego obwód moŜe stać się
niestabilny, lub mogą zachodzić procesy
chaotyczne.
W literaturze moŜna spotkać wiele publikacji na
temat metod badań stabilności układów
energoelektronicznych. Są to między innymi:
metody dokładne [1, 2, 5], metoda uśrednienia
[3, 4] oraz metoda uśrednienia z estymacją pulsacji
napięcia [4]. Prezentowane metody uśrednienia są
niedokładne ze względu na róŜnicę między
wartościami rzeczywistymi zmiennych stanu a ich
wartościami uśrednionymi.
W tym artykule zostały omówione podstawowe
załoŜenia i właściwości niektórych ze wcześniej
prezentowanych metod, jak równieŜ przedstawiono
nową metodę z uwzględnieniem błędów
wynikających z uśrednienia. Analiza właściwości
prezentowanych sposobów badania stabilności
układów energoelektronicznych, została omówiona
na przykładzie modelu przekształtnika DC-DC
typu boost. Przedstawione metody badań opierają
się o analizę rozwiązań równań przybliŜenia
liniowego w stanie ustalonym. Badanie stabilności
bazuje na twierdzeniu Lapunowa o stabilności
układów w punkcie.
2.
MODEL
PRZEKSZTAŁTNIKA
MATEMATYCZNY
Do celów badawczych stabilności układów
energoelektronicznych,
przyjęto
model
przekształtnika DC-DC podwyŜszającego napięcie,
którego schemat pokazany jest na rys. 1. Jest to
model uproszczony z idealnymi łącznikami, w
których nie występują straty mocy podczas
przełączania. Układ sterowania składa się z
regulatora proporcjonalnego o wzmocnieniu k oraz
modulatora PWM, którego impulsy wyjściowe
sterują łącznikiem tranzystorowym. Procesy
zachodzące w układzie sterowania ilustruje rys. 2.
L
i
D
C
R
Sterownik
E
u
kr
ur
uc
uref
komparator
Rys.1.Schemat badanego przekształtnika
u
ur
uc
t
S
1
t1
T
t2
2T
Rys.2. Sygnały w układzie sterowania
t
Procesy dynamiczne zachodzące w tym
przekształtniku moŜna zapisać za pomocą równań
stanu przedstawionych w postaci macierzowej:
dX
= A( s ) X + B ( s )
dt
(1)
i 
gdzie: X =   jest wektorem zmiennych stanu,
u 
 r
−
A( s ) =  L
1− s

 C
1− s
L ,
1 
−

RC 
−
∂uˆcom
t →τ − 0
∂t
uˆtcom (τ ) = lim
d1 (τ ) 
1
N (τ ) = 
;
0 1 + d 2 (τ )
d1 (τ ) =
− kk r uˆ (τ )
;
uˆtcom (τ ) L
d1 (τ ) =
− kk r − iˆ(τ )
uˆtcom (τ ) C
(2)
gdzie: ucom –napięcie komparacji, uc –sygnał błędu,
uref – napięcie referencyjne, k – współczynnik
wzmocnienia sygnału błędu, kr – współczynnik
proporcjonalności, ur – napięcie generatora
piłokształtnego.
Równania (1) i (2) słuŜą do opisania procesów
dynamicznych
zachodzących
w
układzie
przekształtnika DC-DC podwyŜszającego napięcie,
objętego pętlą ujemnego sprzęŜenia zwrotnego.
3. METODA LINEARYZACJI OPARTA NA
RÓWNANIACH RÓśNICZKOWYCH
Stabilność lokalną układu moŜna zweryfikować na
podstawie linearyzacji równań (1) i (2)
w otoczeniu punktu pracy przekształtnika w stanie
ustalonym. Równanie przybliŜenia liniowego dla
nieliniowego układu równań przyjmuje postać [5]:
τ – czas wyłączenia łącznika w stanie ustalonym,
uˆ (τ ) , iˆ(τ ) – wartości napięcia i prądu w stanie
ustalonym
podczas wyłączenia
A 1= A( s ) s =1 , A 2 = A( s ) s =0
tranzystora,
PoniewaŜ w naszym przypadku zastosowano
generator piłokształtny, to zmiana szerokości
impulsu, czyli zmiana zmiennych stanu odbywa się
tylko w punktach mT + τ . Wówczas funkcja
Diraca jest nieobecna na początku okresu
w punktach mT.
Badanie stabilności polega na sprawdzeniu
wartości
pierwiastków
λi
równania
charakterystycznego macierzy H. JeŜeli λ i < 1 to
układ jest stabilny.
4. METODA UŚREDNIENIA ZMIENNYCH
STANU
= A( s ) X ξ +
As ( s ) Xˆ (tm ) + Bs ( s )
uξcom δ (t − tm )
∑
uˆtcom (tm )
m
(3)
gdzie Xξ – przyrost wektora zmiennych stanu X,
Xˆ (tm ) – wartość wektora stanu w stanie ustalonym
w chwili przełączania, tm – cza przełączania,
As(s), Bs(s) – są pochodnymi macierzy A(s) i B(s)
po zmiennej s i wynoszą odpowiednio:

 0
As ( s ) = 
1
−
 C
(4)
H = e A2(T −τ ) N (τ ) e A1τ ;
s = s(ucom )
1
L ;

0

lewostronna
gdzie:
u c = k (uref − k r u )
dt
to
pochodna napięcia komparacji w stanie ustalonym
w chwili przełączania, δ (t − tm ) – funkcja Diraca,
ûcom – napięcie komparacji w stanie ustalonym.
Rozwiązując równanie (3) w okresie funkcji
generatora napięcia piłokształtnego otrzymujemy
równanie róŜnicowe:
gdzie: s - funkcja Heaviside'a, r - rezystancja
przewodzenia tranzystora oraz diody.
Układ sterowania moŜna opisać za pomocą
następujących równań:
dX ξ
jest
X ξ ((m + 1)T ) = HX ξ (mT )
E
B( s ) =  L 
0
 
ucom = uc − ur
–
Metoda ta polega na wyznaczeniu wartości
średnich zmiennych stanu w okresie przełączania
[3]. UŜywając wartości uśrednionych równanie
(1) moŜemy zapisać:
dX
= A(d ) X + B (d )
dt
i 
u 
(5)
gdzie: X =   – wartość uśredniona wektora
0 
Bs (s ) =  
0 
zmiennych stanu X,
A( d ) = A 1d + A 2(1 − d ) ;
B(d ) = B 1+ B 2(1 − d ) ;
B 1= B ( s ) s =1 ; B 2 = B( s ) s=0 .
Współczynnik d zaleŜy od układu sterowania i jest
określony jako:
d=
k (uref − k r u )
Ur
(7)
wyznaczamy wartość średnią wektora stanu oraz
współczynnik D w stanie ustalonym.
Po linearyzacji równania (5) i (6) otrzymujemy:
dX ξ
dt
T
uśr =
(6)
gdzie: Ur – amplituda napięcia generatora
piłokształtnego.
W stanie ustalonym współczynnik d = D.
Wówczas rozwiązując układ równań składający się
z równania (6) oraz równania (7) określającego
wartość uśrednioną zmiennych stanu w stanie
ustalonym:
Xˆ = − A( D ) −1 B ( D ) ,
celu z równania (1) wyznaczamy wartości umin
i wartość średnią uśr, napięcia na kondensatorze dla
róŜnych wartości τ. Wartość umin jest to napięcie
kondensatora podczas wyłączenia tranzystora,
natomiast uśr jest określone jako:
1
u dt
T ∫0
Dla tak określonych wartości napięć równanie (6)
przyjmuje postać:
D=
k (u ref − k r (u − ub ))
(10)
Ur
Rozwiązując układ równań (7), (10), i przyjmując
w pierwszym kroku ub = 0 , sprawdzamy czy jest
spełnione równanie (10), dla nowo wyznaczonej
wartości ub. Czynność tą powtarzamy tak długo, aŜ
zastanie spełnione to równanie z przyjętą
tolerancją.
u
u śr
= A( d ) X ξ + [( A1 − A2 ) Xˆ + ( B1 − B2 )]d ξ
(8)
gdzie: d ξ = −k e uξ ;
Stąd:
dX ξ
dt
ke =
ub
kk r
Ur
= FX ξ
(9)
gdzie:
D
F = A( D ) − k e [( A1 − A2 ) Xˆ + ( B1 + B2 )][0 1]
τ
Rys. 3. Wartość błędu uśrednienia
Badanie stabilności polega na sprawdzeniu
wartości własnych macierzy F. Układ jest stabilny
gdy pierwiastki równania charakterystycznego
macierzy F leŜą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej,
czyli
wartości
rzeczywiste
pierwiastków muszą być mniejsze od zera
Re(λ i ) < 0 .
5. METODA UŚREDNIENIA ZMIENNYCH
STANU Z UWZGLĘDNIENIEM WARTOŚCI
BŁĘDU
W metodzie uśrednionych zmiennych stanu
występuje róŜnica między wartością średnią
a rzeczywistą wektora zmiennych stanu podczas
przełączania układu oraz występują błędy podczas
linearyzacji równania (6). Dlatego metoda ta jest
niedokładna.
W celu zwiększenia dokładności odwzorowania
rzeczywistych
wartości
zmiennych
stanu
występujących w układzie podczas przełączania
uwzględniamy powstałą róŜnicę ub (rys. 3). W tym
Przyrost współczynnika wypełnienia impulsów
d znajdujemy w sposób następujący. ZaleŜność
(10) przedstawiamy w formie równania
niejawnego:
F (t , u śr ) =
Ur
t − k (u ref − k r u (t , u śr ) ) . (11)
T
Obliczając pochodną tej funkcji otrzymujemy:
kk r k dop
∂t
=−
Ur
∂uśr
+ kk r ut'
T
(12)
gdzie:
k dop
dumin
= dt ,
duśr
dt
ut' = 0 1 ( A 1 Xˆ + B 1) – pochodna napięcia po
czasie.
z uwzględnieniem błędów osiąga lepszą
dokładność od klasycznej metody uśrednienia.
NaleŜy podkreślić, Ŝe algorytm ten pracuje dobrze
przy dostatecznie małych tętnieniach zmiennych
stanu. Przy zbyt duŜych zmianach wartości
napięcia na kondensatorze i prądu cewki, w okresie
przełączania, mogą wystąpić błędne wyniki
analizy.
Wyniki badań pokazują równieŜ, Ŝe przy
zwiększeniu częstotliwości przełączania, analizę
stabilności metodą dokładną moŜna zastąpić
analizą metodą z uwzględnieniem napięcia błędu.
Wówczas współczynnik ke przyjmie postać:
ke =
kk r k dop
Ur
+ kk r ut'
T
(13)
Badanie stabilności podobnie jak w poprzedniej
metodzie polega na sprawdzeniu wartości
własnych macierzy F.
6. WYNIKI BADANIA STABILNOŚCI
Analizę stabilności badanego przekształtnika
przeprowadzono przy zmianie współczynnika
wzmocnienia sygnału błędu, dla obwodu
o następujących parametrach: E = 4 ÷ 8V,
r = 0.005 Ω, L = 40 µ H, C = 1 µ F, kr = 0.01,
Ur = 1 V , T = 10 µs, uref = 0.6 V. R = 20 Ω.
Wyniki prezentowanych metod przedstawione są
na rysunku 5. Krzywa 1 określa stabilność dla
metody dokładnej, krzywa 2 dla metody
uśrednionej, natomiast krzywa 3 dla metody
uśrednionej z uwzględnieniem wartości błędu.
Abstract
The paper presents stability analysis of converters.
There is describes of DC/DC converters stability
analysis methods in this paper. The accurate state
space method, and two averaged state space
methods are presented. For the closed loop system
with boost topologies the comparison results of the
gain stability limits obtained by means of
discussed methods are also presented.
LITERATURA
1,7
2
1,65
3
1,6
k
1
1,55
1,5
4
5
6
7
E [V]
Rys.5. Stabilność układu na zmianę współczynnika
wzmocnienia sygnału błędu
Jak widać z rys. 5, wyniki obliczeń dla metody
uśrednionej z uwzględnieniem błędów wykazują
większą dokładność od metody uśrednionej.
7. PODSUMOWANIE
W artykule przeprowadzono analizę i pokazano
podstawowe zaleŜności trzech metod badania
stabilności
układów
energoelektronicznych.
Wszystkie te algorytmy sprawdzono na
przykładzie przekształtnika DC/DC o strukturze
podwyŜszającej napięcie.
Wyniki obliczeń pokazały, iŜ prezentowana
w artykule metoda uśrednienia charakteryzuje się
duŜą niedokładnością w porównaniu do metod
dokładnych. Wprowadzona metoda uśrednienia
8
[1] I. Korotyeyev, M. Klytta, Stability analysis of
DC/DC converters Technicna Elektrodinamika
Silova elektronika ta energoefektivnist' .- 2002,
nr 1, s. 51-54
[2] I. Korotyeyev, Z. Fedyczak, The DC/DC
converters stability - a comparison of analysis
methods, 10th European Conference on Power
Electronics and Applications - EPE 2003.
Toulouse, Francja, 2003
[3] R. D. Middlebrook, A. Ćuk. A general unified
approach to modeling switching converter
power stages, IEEE Power Electronic Spec.
Conf. Rec., 1979, pp 18-34
[4] B. Lehman, R. M. Bass, Switching frequency
dependent averaged models for dc-dc
converters, IEEE Transactions on Power
Electronics. Vol.11, No 1, January, 1996,
pp 89-98
[5] I. Korotyeyev, R. Strzelecki, V. Zujkov,
Chaoticeskie processy v sistemach silovoj
elektroniki, Wydawnictwo Aвepc, Kijów 2001
Adresy słuŜbowe Autorów:
prof. dr hab. inŜ. Igor Y. Korotyeyev
mgr. inŜ. Paweł Szcześniak
Uniwersytet Zielonogórski, Instytut InŜynierii
Elektrycznej, Ul. Podgórna 50, 65-246 Zielona
Góra, telefony: +48 68 3282626; +48 68 3282253,
e-mail: [email protected];
[email protected].