Dokładność pomiaru: Rozumny człowiek nie dąży do osiągnięcia w

Dokładność pomiaru:
Rozumny człowiek nie dąży do osiągnięcia w określonej dziedzinie większej
dokładności niż ta, którą dopuszcza istota przedmiotu jego badań. (Arystoteles)
Nie można wykonać bezbłędnego wyznaczenia wielkości fizycznej tzw.
pomiaru absolutnie dokładnego.
Ogólne informacje o błędach pomiaru
Wynik pomiaru na ogół różni się od wartości prawdziwej (rzeczywistej) wielkości
mierzonej. Różnica między wynikiem a wartością prawdziwą nazywana jest
błędem pomiaru.
W praktyce wartość prawdziwa nie jest znana i zastępowana jest wartością
umownie prawdziwą (poprawną) akceptowalną w danych okolicznościach.
W praktyce pomiarowej wyróżnia się trzy rodzaje błędów: błędy systematyczne,
przypadkowe oraz nadmierne.
Błędami systematycznymi są błędy, które podczas pomiarów tej samej wartości pewnej
wielkości, wykonywanych w tych samych warunkach, pozostają stałe zarówno co do wartości
bezwzględnej jak i co do znaku lub błędy zmieniające się według określonego prawa wraz ze
zmianą warunków.
Źródłami błędów systematycznych są metody i przyrządy pomiarowe, niezachowanie
wymaganych warunków pomiaru, obserwator.
Charakterystyczną cechą błędów systematycznych jest możliwość całkowitego lub częściowego
ich usunięcia z wyniku pomiaru.
Wśród błędów systematycznych wyróżnia się trzy ważne grupy:
• Błędy podstawowe - są to błędy przyrządów pomiarowych występujące podczas stosowania
ich w tzw. warunkach odniesienia (lub inaczej znamionowych) podanych przez producenta.
Głównymi ich przyczynami są: niedokładność wzorcowania i niedokładności konstrukcyjne oraz
technologiczne narzędzi pomiarowych. Błędy podstawowe są błędami stałymi i mogą być w
czasie pomiaru kompensowane przez stosowanie poprawek do wskazań przyrządów. Poprawka
jest równa wartości oszacowanego błędu systematycznego ze znakiem przeciwnym.
• Błędy dodatkowe - są to błędy, których źródłem są zmiany właściwości przyrządów
pomiarowych i obiektu pomiaru pod wpływem zmian warunków pomiaru w stosunku do
przyjętych jako warunki odniesienia. Cechą charakterystyczną błędów dodatkowych jest to, że
ich wartości zmieniają się przy ustalonej wartości wielkości mierzonej, według znanego prawa
jako funkcje wielkości wpływowych. Normalne warunki wpływowe i wartości błędów dodatkowych
podawane sa przez producentów aparatury pomiarowej.
• Błędy metody wynikające głównie z oddziaływania przyrządów pomiarowych na obiekt
pomiaru, np. powodowane poborem energii przez przyrząd ze źródła sygnału mierzonego.
Wśród błędów metody ważną grupę stanowią błędy związane ze stosowaniem przybliżonych
modeli badanych zjawisk lub wzorów empirycznych. Błędy metody można na ogół sprowadzić do
wartości pomijalnych przez stosowanie odpowiednich poprawek rachunkowych lub właściwy
dobór warunków pomiaru.
Przykład błędu systematycznego związanego z metodą pomiarową
Pomiar prądu w obwodzie elektrycznym złożonym ze źródła napięcia i obciążenia:
a) obwód pierwotny; b) obwód pomiarowy po włączeniu amperomierza
Włączenie do obwodu amperomierza powoduje zmianę warunków pracy obwodu
i prądu płynącego w obwodzie
gdzie:
Spowoduje to powstanie błędu względnego
Błąd ten będzie mało istotny przy spełnieniu warunku Ra<<Ro+Rz
Można również wyznaczyć odpowiednią poprawkę i skorygować wynik
Błędami przypadkowymi są błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany podczas
wykonywania dużej liczby pomiarów tej samej wielkości w warunkach praktycznie
niezmiennych. Główne przyczyny powstawania:
• niedoskonałość zmysłów obserwatora i brak dostatecznej koncentracji podczas pomiarów,
• rozrzut wskazań przyrządów pomiarowych powodowany niestałością ich właściwości
statycznych i dynamicznych,
• krótkotrwałe zmiany wielkości wpływowych.
Ograniczenie wpływu błędów przypadkowych uzyskuje się przez wielokrotny pomiar tej
samej wartości wielkości i przyjęcie średniej arytmetycznej jako wyniku ostatecznego.
Osobną grupą błędów są błędy nadmierne, zwane omyłkami lub błędami grubymi.
Powodują one jawne zniekształcenie wyniku pomiaru. Najczęstszymi przyczynami
pojawienia się tych błędów są:
• nieprawidłowy odczyt lub błędny zapis wyniku pomiaru,
• zastosowanie niewłaściwego przyrządu lub pomiar przyrządem uszkodzonym.
Rozróżniamy następujące rodzaje błędów pomiarowych ze względu na źródła
ich powstania:
a) błędy powodowane przez przyrządy pomiarowe, np. skończona rezystancja
wewnętrzna woltomierzy, nieliniowość wskazań przyrządów pomiarowych lub
niedoskonałość ich wzorcowania,
b) błędy powodowane przez metody pomiarowe,
c) błędy powodowane przez mierzącego, np. brak doświadczenia, zmęczenie,
skłonności, nawyki,
d) błędy powodowane przez obliczenia to błędy przy niewłaściwym zaokrągleniu,
niewłaściwe metody wyrównywania błędów,
e) błędy powodowane przez wpływ otoczenia na mierzącego, na przyrządy i na
mierzoną wielkość. Czynnikami wywołującymi te błędy to temperatura ciśnienie,
wilgotność powietrza, zakłócenia elektromagnetyczne.
Zapis wyniku pomiaru powinien umożliwiać ocenę dokładności z jaką
została określona wartość wielkości mierzonej. W tym celu podaje się
jednocześnie z wynikiem pomiaru x wartość błędu ∆xg
xp = x ± ∆xg gdzie xp jest poprawną wartością wielkości x.
Zaleca się obliczania błędu zgodnie z następującymi zasadami:
• wartość liczbową błędu należy zaokrąglać "w górę" i zapisywać liczbą o
jednym miejscu znaczącym, np.: 2; 0,02;
• zapis błędu pomiaru w postaci dwu cyfr znaczących jest zalecany w
pomiarach dokładnych oraz wówczas, gdy wskutek zaokrąglenia do jednej
cyfry znaczącej wartość błędu zwiększyłaby się więcej niż o 10% .
Wynik pomiaru oblicza się z jednym miejscem dziesiętnym więcej niż to,
na którym zaokrąglono błąd, po czym zaokrągla go się (zgodnie z regułą
zaokrąglania liczb) tak, aby ostatnia cyfra wyniku odpowiadała miejscem
wartości liczbowej błędu, np.: (121±1) cm, (19,45±0,13) mA.
Błąd bezwzględny definiowany jest jako różnica wyniku pomiaru X i wartości rzeczywistej XR
Niedokładność pomiaru wynika głównie z istnienia dopuszczalnego błędu systematycznego
narzędzia pomiarowego określonego jego klasą dokładności.
Błąd względny definiowany jest jako stosunek błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej
Wyniki pomiarów w serii rozkładają się wokół wartości średniej
Histogram
Miarą rozproszenia wyników jest odchylenie standardowe
Rozkład pomiarów w serii wokół wartości średniej X jest rozkładem Gaussa.
Prawdopodobieństwem, z jakim w zadanym przedziale znajdzie się dowolny pomiar z serii,
nazywa się poziomem ufności, a przedział przedziałem ufności.
W przedziale <X-σ, X+σ> mieści się 68,26% wyników z serii.
W przedziale <X-2σ, X+2σ> mieści się 95,45% wyników z serii.
W przedziale <X-3σ, X+3σ> mieści się 99,73% wyników z serii.
Średni błąd kwadratowy wartości średniej
wyraża się wzorem:
Niepewność pomiaru jest parametrem związanym z wynikiem pomiaru
charakteryzującym rozrzut wartości, które można w sposób uzasadniony przypisać
wielkości mierzonej.
Wielkości mierzone są szczególnymi wielkościami, których wartość należy
określić poprzez pomiar. Przy wzorcowaniu mamy zwykle do czynienia tylko z
jedną wielkością mierzoną, nazywaną również wielkością wyjściową Y, która jest
związana z wielkościami wejściowymi Xi (i = 1, 2,..., N) funkcją
Y = f (X1, X2, ..., XN)
Funkcja pomiaru f opisuje zarówno metodę pomiarową jak i metodę obliczeniową.
Podaje ona, jak z wartości wielkości wejściowych Xi otrzymuje się wartość wielkości
wyjściowej Y.
Niepewność pomiaru związana z estymatami wielkości wejściowych jest obliczana
metodą typu A lub typu B.
Metoda typu A obliczania niepewności standardowej
jest metodą, w której niepewność jest obliczana za pomocą analizy statystycznej
serii obserwacji. Niepewność standardowa jest w tym przypadku odchyleniem
standardowym eksperymentalnym średniej otrzymanej metodą uśredniania lub
odpowiednią analizą regresji.
Metoda typu B obliczania niepewności standardowej jest metodą, w której
niepewność jest obliczana innym sposobem niż analiza statystyczna serii
obserwacji. W takim przypadku obliczanie niepewności oparte jest na innego
rodzaju przesłankach naukowych.
Metodę typu A obliczania niepewności standardowej stosuje się wtedy, gdy
istnieje możliwość przeprowadzenia w identycznych warunkach pomiarowych
wielu niezależnych obserwacji jednej z wielkości wejściowych. Jeżeli rozdzielczość
procesu pomiarowego jest wystarczająca, otrzymane wyniki charakteryzuje
zauważalny rozrzut.
Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B jest obliczaniem
niepewności związanej z estymatą xi wielkości wejściowej Xi inną metodą niż
analiza statystyczna serii obserwacji. Niepewność standardowa u(xi) jest określana
za pomocą analizy naukowej opartej na wszystkich dostępnych informacjach nt.
możliwej zmienności Xi.
W tej kategorii informacji mogą znajdować się:
• dane uzyskane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów,
• posiadane doświadczenie lub ogólna znajomość zachowania się i właściwości
odpowiednich materiałów i przyrządów pomiarowych,
• specyfikacje producenta,
• dane uzyskane ze świadectw wzorcowania i z innych certyfikatów,
• niepewności związane z danymi odniesienia, uzyskane z podręczników.
W praktyce istnieje wiele możliwych źródeł niepewności pomiaru, są to m.in.:
(a) niepełna definicja wielkości mierzonej,
(b) niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej,
(c) niereprezentatywne pobieranie próbek, tzn. mierzona próbka nie jest
reprezentatywna dla definiowanej wielkości mierzonej,
(d) niepełna znajomość wpływu warunków środowiskowych na procedurę
pomiarową lub niedoskonały pomiar parametrów charakteryzujących te warunki,
(e) subiektywne błędy w odczytywaniu wskazań przyrządów analogowych,
(f) skończona rozdzielczość lub próg pobudliwości przyrządu,
(g) niedokładnie znane wartości przypisane wzorcom i materiałom odniesienia,
(h) niedokładnie znane wartości stałych i innych parametrów, otrzymanych ze
źródeł zewnętrznych i stosowanych w procedurach przetwarzania danych,
(i) upraszczające przybliżenia i założenia stosowane w metodach i procedurach
pomiarowych,
(j) rozrzut wartości wielkości mierzonej uzyskanych podczas obserwacji
powtarzanych w warunkach pozornie identycznych.
Analiza dokładności pomiarów bezpośrednich
W charakterze najlepszej oceny wartości rzeczywistej X przyjmuje się średnią arytmetyczną
Za miarę niepewności pojedynczego pomiaru z próby {x1, x2,,…, xn } przyjmujemy
odchyleniem standardowym pojedynczego pomiaru
Niepewnością pomiarową sx, zwaną niepewnością standardową, obarczona jest również
wartość średnia x
√¯
„Jeśli chcesz zwiększyć dokładność
dwukrotnie, liczność próbki musisz
zwiększyć cztery razy”
Jeśli dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru lub wyniki pomiarów nie wykazują
rozrzutu, to w charakterze niepewności wartości średniej przyjmujemy
gdzie ∆d.e. jest wartością działki elementarnej przyrządu.
W przypadkach, gdy w pomiarach uwzględniamy niepewność statystyczną i niepewność
przyrządu pomiarowego, to należy wyznaczyć oszacowanie całkowitej niepewności
standardowej wartości średniej ze wzoru
Błędy przypadkowe w pomiarach pośrednich
Niech wynik pomiaru y będzie funkcją N różnych pomiarów xi , których
niepewności ui potrafimy oszacować
Złożona niepewność standardowa
Jeżeli zmienne losowe x1,x2,… są parami
niezależne to drugi człon jest równy zeru
i wzór uproszczony nazywany jest
metodą różniczki zupełnej.
Podane prawa propagacji niepewności obowiązują, gdy niepewności cząstkowe
są małe (pominięcie mniej znaczących wyrazów szeregu Taylora).
Oszacowanie niepewności metodą najgorszego przypadku
Przykład:
Obliczanie przyspieszenia grawitacyjnego za pomocą wahadła matematycznego.
Okres drgań wahadła matematycznego dany jest wzorem:
stąd:
Obliczamy pochodne cząstkowe
i podstawiamy do wzoru:
otrzymując