analiza dokładności wyniku pomiarów - IME

ĆWICZENIE 3
ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYNIKU POMIARÓW
3.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest nauczenie studentów określania błędów granicznych oraz
niepewności całkowitej w pomiarach bezpośrednich i pośrednich oraz poprawnego zapisu
wyniku pomiarów.
3.2. Wprowadzenie
3.2.1. Ogólne informacje o błędach pomiaru
Wynik pomiaru na ogół różni się od wartości prawdziwej (rzeczywistej) wielkości
mierzonej. Różnica między wynikiem a wartością prawdziwą nazywana jest błędem pomiaru.
W praktyce wartość prawdziwa nie jest znana i zastępowana jest wartością umownie
prawdziwą (poprawną) akceptowalną w danych okolicznościach.
W praktyce pomiarowej wyróżnia się trzy rodzaje błędów: błędy systematyczne,
przypadkowe oraz nadmierne.
Pod pojęciem błędu systematycznego rozumie się różnicę między średnią arytmetyczną
z nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w tzw.
1
warunkach powtarzalności a wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Natomiast różnicę
między wynikiem pomiaru a średnią z nieskończonej liczby wyników wykonanych
w powyższych warunkach uważa się za błąd przypadkowy. W praktyce nie mamy dostępu
ani do wartości prawdziwej, ani nie jest możliwe wykonanie nieskończonej liczby pomiarów
i dlatego możemy jedynie wyznaczyć przybliżone wartości (estymaty) tych błędów.
Nie miniemy się z prawdą, jeśli powiemy, że błędami systematycznymi są błędy, które
podczas pomiarów tej samej wartości pewnej wielkości, wykonywanych w tych samych
warunkach, pozostają stałe zarówno co do wartości bezwzględnej jak i co do znaku
lub
błędy zmieniające się według określonego prawa wraz ze zmianą warunków.
Źródłami błędów systematycznych sa metody i przyrządy pomiarowe, niezachowanie
wymaganych warunków pomiaru, obserwator.
Charakterystyczną cechą błędów systematycznych jest możliwość całkowitego lub
częściowego ich usunięcia z wyniku pomiaru.
Wśród błędów systematycznych wyróżnia się trzy ważne grupy:
• Błędy podstawowe - są to błędy przyrządów pomiarowych występujące podczas
stosowania ich w tzw. warunkach odniesienia (lub inaczej znamionowych) podanych
przez producenta. Głównymi ich przyczynami są: niedokładność wzorcowania
i niedokładności konstrukcyjne oraz technologiczne narzędzi
pomiarowych. Błędy
podstawowe są błędami stałymi i mogą być w czasie pomiaru kompensowane przez
stosowanie poprawek
do wskazań przyrządów. Poprawka jest równa wartości
oszacowanego błędu systematycznego ze znakiem przeciwnym.
• Błędy dodatkowe - są to błędy, których źródłem są zmiany właściwości przyrządów
pomiarowych i obiektu pomiaru pod wpływem zmian warunków pomiaru w stosunku do
przyjętych jako warunki odniesienia. Cechą charakterystyczną błędów dodatkowych jest
1 Warunki powtarzalności obejmują.: tę samą procedurę pomiarową, tego samego obserwatora, ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w tych samych
warunkach, to samo miejsce, powtarzanie w krótkich odstępach czasu
2
Laboratorium podstaw techniki eksperymentu
to, że ich wartości zmieniają się przy ustalonej wartości wielkości mierzonej, według
znanego prawa jako funkcje wielkości wpływowych. Normalne warunki wpływowe
i wartości błędów dodatkowych podawane sa przez producentów aparatury pomiarowej.
• Błędy metody wynikające głównie z oddziaływania przyrządow pomiarowych na
obiekt pomiaru, np. powodowane poborem energii przez przyrząd ze źródła sygnału
mierzonego. Wśród błędów metody ważną grupę stanowią błędy związane ze
stosowaniem przybliżonych modeli badanych zjawisk lub wzorów empirycznych. Błędy
metody można na ogół sprowadzić do wartości pomijalnych przez stosowanie
odpowiednich poprawek rachunkowych lub właściwy dobór warunków pomiaru.
Błędami przypadkowymi są błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany podczas
wykonywania dużej liczby pomiarów tej samej wielkości w warunkach praktycznie
niezmiennych. Główne przyczyny powstawania:
• niedoskonałość zmysłów obserwatora i brak dostatecznej koncentracji podczas pomiarów,
• rozrzut wskazań przyrządów pomiarowych powodowany niestałością ich właściwości
statycznych i dynamicznych,
• krótkotrwałe zmiany wielkości wpływowych.
Ograniczenie wpływu błędów przypadkowych uzyskuje się przez wielokrotny pomiar tej
samej wartości wielkości i przyjęcie średniej arytmetycznej jako wyniku ostatecznego.
Osobną grupą błędów są błędy nadmierne, zwane omyłkami lub błędami grubymi.
Powodują one jawne zniekształcenie wyniku pomiaru. Najczęstszymi przyczynami
pojawienia się tych błędów są:
• nieprawidłowy odczyt lub błędny zapis wyniku pomiaru,
• zastosowanie niewłaściwego przyrządu lub pomiar przyrządem uszkodzonym.
Istnieją odpowiednie procedury statystyczne umożliwiające ocenę uzyskanych wyników
i ewentualne ich unieważnienie z powodu błędów nadmiernych.
Wszelkie pomiary można podzielić na techniczne oraz dokładne. W pomiarach
technicznych stosuje się metody już wypróbowane, których błędy są zbadane i wiadomo
jest, że błędy systematyczne są znacznie większe od przypadkowych. Ponieważ błędem
dominującym jest błąd systematyczny, wykonuje się na ogół jeden pomiar wielkości i - po
usunięciu ewentualnych błędów metody - określa się jego dokładność zazwyczaj przez
wyznaczenie błędu granicznego systematycznego.
W pomiarach dokładnych głównym błędem jest błąd przypadkowy. Błędy systematyczne
natomiast powinny być eliminowane przez:
• dobór odpowiedniej metody pomiarowej i przyrządów,
• staranne zabezpieczenie układu przed wpływem wszelkich czynników zewnętrznych,
• stosowanie poprawek umożliwiających usunięcie błędów metody i błędów wskazań
przyrządów.
Mimo staranności wykonania pomiaru pozostają błędy powodowane ograniczoną
dokładnością wyznaczania poprawek oraz błędy, których przyczyny powstawania obserwator
nie zna. Pozostałości błędów systematycznych oraz błędy przypadkowe powinny znależć
odzwierciedlenie w zdefiniowanej niżej całkowitej niepewności pomiaru.
3.2.2. Błędy graniczne systematyczne w pomiarach bezpośrednich i pośrednich
W praktyce spotykamy się na ogół z pomiarami technicznymi. W pomiarach tych
dominują błędy systematyczne. W poprawnie wykonanym pomiarze należy liczyć się
z błędem podstawowymi ∆xp , dodatkowym ∆xd i ewentualnie z błędem metody ∆xm. Po
usunięciu tego ostatniego przez uwzględnienie poprawki
p = −∆x m
(3.1)
3
Ćwiczenie 3: Analiza dokładności wyniku pomiarów
do wyniku całkowity błąd pomiaru jest równy
∆x = ∆x p + ∆x d
(3.2)
Najczęściej nie są znane ani dokładne wartości ani też znaki błędów podstawowych
i dodatkowych, lecz ich graniczne wartości bezwzględne ∆xgp i ∆xgd. Wówczas możliwe jest
jedynie określenie błędu granicznego jako
∆xg = ∆xgp + ∆xgd
(3.3)
Jeśli przyrząd stosowany jest w warunkach zbliżonych do warunków normalnego
użytkowania i jeśli nie ma podstaw do wystąpienia błędu metody o istotnym poziomie, to
błąd systematyczny graniczny w pomiarze bezpośrednim można szacować na podstawie
błędu podstawowego (np. błędu klasy) przyrządu pomiarowego jako
∆xg = ∆xgp
(3.4)
W pomiarach pośrednich, gdzie wartość y wielkości mierzonej Y określana jest przy
zastosowaniu równania
Y = f ( X1 , X 2 ,... X J )
(3.5)
w którym X1 , X 2 ,... X J są wielkościami mierzonymi bezpośrednio, zaś f jest znaną
zależnością funkcyjną, błąd systematyczny graniczny można oszacować opierając się na
wzorze
J
∆y g = å ∂f ∆x gj
∂X j
j =1
(3.6)
gdzie ∆xgj jest błędem systematycznym granicznym wielkości Xj w punkcie xj (będącym
wynikiem jej pomiaru) , zaś pochodne cząstkowe względem X1 , X2 ,.., XJ oblicza się
w punkcie (x1 ,x2 ,...,xJ ).
Stosowanie metody różniczki zupełnej do oceny błędów systematycznych zgodnie
z (3.6) prowadzi do wyników zawyżonych, zwłaszcza gdy liczba zmiennnych J > 3 , dlatego
wielu specjalistów teorii pomiarów zaleca ocenę tych błędów metodami statystycznymi
opisanymi w rozdz. 2.4, 2.5 .
3.2.3. Zapis wyniku pomiaru
Zapis wyniku pomiaru powinien umożliwiać ocenę dokładności z jaką została
określona wartość wielkości mierzonej. W tym celu podaje się jednocześnie z wynikiem
pomiaru x wartość błędu ∆xg
xp = x ± ∆xg
(3.7)
gdzie xp jest poprawną wartością wielkości X. Zapis ten praktykowany w badaniach
eksperymentalnym jest równoznaczny z zapisem
x p ∈ x − ∆x g ; x + ∆x g
Obecnie
stosowanych
jest kilka zasad obliczania
3
(3.8)
i
podawania
błędu
∆xg. Na
4
Laboratorium podstaw techniki eksperymentu
szczególną uwage zasługuje propozycja obliczania błędu zgodnie z następującymi
zasadami:
• wartość liczbową błędu należy zaokrąglać "w górę" i zapisywać liczbą o jednym
miejscu znaczącym, np.:2, 0,02,
• zapis błędu pomiaru w postaci dwu cyfr znaczących jest zalecany w pomiarach
dokładnych oraz wówczas, gdy wskutek zaokrąglenia do jednej cyfry znaczącej
wartość błędu zwiększyłaby się więcej niż o 10% .
Wynik pomiaru oblicza się z jednym miejscem dziesiętnym więcej niż to, na którym
zaokrąglono błąd, po czym zaokrągla go się (zgodnie z regułą zaokrąglania liczb) tak, aby
ostatnia cyfra wyniku odpowiadała miejscem wartości liczbowej błędu, np.: (121±1) cm,
(19,45±0,13) mA.
3.2.4. Liczbowe miary i klasyfikacja niepewności pomiaru
Niepewność u pomiaru jest parametrem pozwalającym na wyznaczenie granic przedziału
zawierającego z założonym prawdopodobieństwem nieznaną wartość rzeczywistą
(prawdziwą) mierzonej wielkości. Zakłada się, że niepewność całkowita ma zawsze
wielokrotność kσ (gdzie σ jest odchyleniem standardowym całej populacji) lub kS (S - jest
estymatorem (oceną) σokreślonym na podstawie otrzymanych wyników z próby należącej
do populacji).
Rozróżnia się następujące pojęcia:
• niepewność standardową
u= σ
(3.9)
• niepewność standardową łączną
uł =
n
å σ i2
i =1
= σł
(3.10)
• niepewność całkowitą
u c = k (α ) ⋅ u ł
(3.11)
gdzie mnożnik k(α) jest wartością zmiennej standaryzowanej, dobieraną ze względu na
założone prawdopodobieństwo dla określonego rozkładu.
Niepewność pomiaru może zawierać wiele składowych niepewności. Niektóre z nich
można wyznaczyć na podstawie otrzymanego rozrzutu wyników serii pomiarów. Inne, na
przykład niepewności wynikające z niedoskonałości aparatury pomiarowej, ocenia się na
podstawie odchyleń standardowych, obliczonych na podstawie przewidywanych rozkładów
prawdopodobieństwa.
W
świetle najnowszych ustaleń organizacji międzynarodowych zajmujących się
pomiarami niepewność została podzielona na dwa typy:
• typ A - niepewność wyznaczana metodami statystycznymi,
• typ B - niepewność wyznaczana innymi metodami.
Można przyjąć, że niepewność typu A odpowiada niepewności powodowanej efektami
przypadkowym a niepewność typu B niepewności powodowanej efektami systematycznymi.
Podczas określania niepewności typu A nie ma istotnych problemów. Na ogół wykonuje
się serię pomiarów i wyznacza estymator (ocenę) odchylenia standardowego.
Oszacowanie niepewności typu B metodami statystycznymi nie jest łatwe, ponieważ nie
5
Ćwiczenie 3: Analiza dokładności wyniku pomiarów
dysponujemy serią wyników pomiarów. Ocena ta opiera się na innych mniej obiektywnych
metodach, które zostaną omówione niżej.
3.2.5. Ocena niepewności całkowitej typu A
3.2.5.1. Pomiary bezpośrednie
Niepewność standardową typu A oceniamy na podstawie serii n wyników pomiarów,
w których uwzględniono wszystkie poprawki. W tym celu określamy:
• wartość średnią z wyników (estymator wartości prawdziwej)
x=
1
n
n
å xi
(3.12)
i =1
• odchylenie standardowe wartości średniej, uważane za niepewność standardową typu A
u A = Sx =
1
n ( n −1)
n
å ( xi − x)
2
(3.13)
i =1
Niepewność całkowitą typu A określa się według wzoru
u Ac = k A (α ) ⋅ u A
(3.14)
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny i znamy odchylenie standardowe σtego
rozkładu albo jeżeli dysponujemy liczną serią wyników (przyjmuje się obecnie n > 30), to
mnożnik kA(α) przyjmuje wartości zmiennej standaryzowanej Z, odczytanej z tablic rozkładu
normalnego dla określonego prawdopodobieństwa αnazywanego poziomemufności.
Wybrane, najczęściej stosowane wartości mnożnika kA(α)=zαdla określonego poziomu
αzebrano w tabeli 3.1.
Tabela 3.1. Rozkład normalny Gaussa
(wartości z αw funkcji prawdopodobieństwa α)
α
z⋅α
0,6827
1,000
0,90
1,645
0,95
1,960
0,9545
2,000
0,99
2,576
0,9973
3,000
Jeśli rozkładem zmiennej losowej X jest rozkład normalny i nie znamy parametrów tego
rozkładu, a próba jest mało liczna (w praktyce n ≤ 30), to współczynnik kA(α) przyjmuje
wartości zmiennej standaryzowanej t Studenta i odczytujemy go z tablic rozkładu Studenta
dla założonego prawdopodobieństwa α(albo q = 1- α)oraz dla liczby stopni swobody
m = n − 1 . W tabeli 3.2. zebrano wybrane wartości t.
5
6
Laboratorium podstaw techniki eksperymentu
Tabela 3.2. Rozkład Studenta
(wartości tw funkcji liczby stopni swobody m i prawdopodobieństwa α)
t
m \ α 0,6827
1
1,84
2
1,32
3
1,20
4
1,14
5
1,11
6
1,09
7
1,08
8
1,07
9
1,06
10
1,06
11
1,05
12
1,04
13
1,04
14
1,03
15
1,03
16
1,03
17
1,03
18
1,03
19
1,03
20
1,03
25
1,02
30
1,02
35
1,01
40
1,01
45
1,01
50
1,01
100
1,005
1,000
∞
0,90
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
1,71
1,70
1,70
1,68
1,68
1,68
1,660
1,645
0,95
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,06
2,04
2,03
2,02
2,01
2,01
1,0984
1,960
0,9545
13,97
4,53
3,31
2,87
2,65
2,52
2,43
2,37
2,32
2,28
2,25
2,23
2,21
2,20
2,18
2,17
2,16
2,15
2,14
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,06
2,05
2,025
2,000
0,99
63,66
9.92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
2,79
2,75
2,72
2,70
2,69
2,68
2,626
2,576
0,9973
235,80
19,21
9,22
6,62
5,51
4,90
4,53
4,28
4,09
3,96
3,85
3,76
3,69
3,64
3,59
3,54
3,51
3,48
3,45
3,42
3,33
3,27
3,23
3,20
3,18
3,16
3,077
3,000
Końcowy wynik pomiaru zapisujemy w postaci
x p = x ± u Ac
dla α=...(3.15)
3.2.5.2. Pomiary pośrednie
W pomiarach pośrednich mierzona wielkość Y jest funkcją J wielkości Xj mierzonych
bezpośrednio (porównaj wzór (3.5)). Dla każdej wielkości Xj wykonujemy serię pomiarów
i na jej podstawie obliczamy wartość średnią x j i niepewność standardową uAj zgodnie
z (3.12) i (3.13). Następnie obliczamy
• wartość średnią wyniku jako
y = f ( x1 , x2 ,..., x J )
• niepewność standardową dla średniej y
(3.16)
7
Ćwiczenie 3: Analiza dokładności wyniku pomiarów
u
Ay
2
æ
ö
å ç ∂Y ÷ ⋅ u Aj
j = 1è ∂X j ø
J
=
(3.17)
Należy pamiętać, że określenie niepewności wg (3.17) jest słuszne jedynie wtedy, gdy
liniowość funkcji (3.5) jest wystarczająco dobra, zmienne X1, X2,...,XJ (a także ich oceny
x1 , x2 ,..., xJ ) są wzajemnie niezależne.
W przypadku nie spełnienia powyższych warunków analiza niepewności komplikuje się.
Pozostaje jeszcze oszacowanie niepewności całkowitej. Jeśli spełnione są warunki do
zastosowania rozkładu normalnego (np., gdy nj > 30 dla każdej wartości j), to do oceny
niepewności całkowitej stosujemy kA(α)=zα,gdy natomiast próby są mało liczne (nj ≤ 30), to
stosuje się - dla założonego prawdopodobieństwa α−rozkład Studenta o efektywnej liczbie
stopni swobody liczonej wg zależności Welcha-Satterwhite’a
me =
u 4Ay
æ
ö
ç ∂Y ÷
1
å ç
÷
j=1 n j çè ∂X j ÷ø
J
(3.18)
4
⋅ u 4Aj
W której nj jest liczbą wyników pomiarów wielkości Xj . Jeśli me nie jest liczbą naturalną, to
zaokrąglamy ją do najbliższej naturalnej zawsze w dół.
3.2.6. Ocena niepewności typu B
Niepewność wyniku pomiaru typu B określa się przy zastosowaniu jednego z dwóch
rozkładów prawdopodobieństwa: rozkładu normalnego lub rozkładu jednostajnego
(równomiernego).
Z rozkładu normalnego korzysta się zazwyczaj w przypadku, gdy z jakichkolwiek
wiarygodnych źródeł, na przykład świadectwa kalibracji, znana jest całkowita niepewność
typu B
u Bc = k B (α ) ⋅ u B
(3.19)
najczęściej określona dla tzw. trzysigmowego przedziału ufności, czyli dla poziomu ufności α
= 0,9973. Wówczas standardowa niepewność typu B jest równa
uB =
u Bc
k B (α )
(3.20)
Najczęstszą sytuacją, z jaką mamy do czynienia w praktyce pomiarowej, jest konieczność
oceny niepewności standardowej typu B wynikającej z błędów aparatury pomiarowej. Zwykle
jedyną dostępną informacją o błędzie aparatury pomiarowej jest wartość graniczna błędu
∆xg , określona najczęściej za pomocą wskaźnika klasy przyrządu analogowego lub podana
w postaci błędu podstawowego przyrządu cyfrowego. Niepewność standardową typu B
określa się wówczas przy założeniu, że rozkład błędu jest jednostajny w przedziale ±∆xg
zgodnie ze wzorem
uB =
∆xg
3
(3.21)
Wtedy niepewność całkowitą wyznaczamy zgodnie z zależnością
u Bc = k B (α ) ⋅ u B
(3.22)
Można wykazać, że dla przyjętego poziomu ufności α współczynnik k B (α ) = 3 ⋅ α .
Ocena niepewności standardowej typu B za pomocą powyższej procedury występuje
w praktyce rzadko. Na ogół poprzestajemy na ocenie niepewności granicznej, równej
błędowi granicznemu wnoszonemu przez przyrząd pomiarowy.
7
8
Laboratorium podstaw techniki eksperymentu
3.3. Program ćwiczenia
1. Korzystając z instrukcji do przyrządów, przeprowadzić ocenę błędów granicznych
wybranych wyników pomiarów uzyskanych podczas wykonywania ćw. 1 i 2. Zapisać
poprawnie wyniki uwzględniając błędy pomiarów.
2. Wykonać 5 serii po 5 pomiarów napięcia DC wygenerowanego (symulacja) za pomocą
programu Ime-Lab1. Dla każdej serii określić t , St oraz niepewność uAc na poziomie
ufności α = 0,6827; α = 0,9545; α = 0,9973. Wyniki zestawić w tabeli. Zaobserwować
rozrzut wartości średniej oraz estymatora odchylenia standardowego.
3. Powtórzyć pkt 2 dla 5 serii po 40 pomiarów.
4. Za pomocą programu Ime-Lab1 wygenerować 200 wyników pomiaru napięcia. Poza
laboratorium określić wartość średnią, estymator odchylenia standardowego oraz
przygotować histogram i zinterpretować wyniki badań.
5. Korzystając z programu Ime-Lab1 dokonać obserwacji i pomiaru napięcia na wyjściu
transformatora (rys. 3.1). Określić niepewność całkowitą typu A wynikającą z rozrzutu
wyników pomiarów oraz niepewność typu B, której źródłem jest błąd systematyczny
woltomierza. Przyjąć α = 0,95. Zinterpretowaæ wyniki badań.
Transformator
Woltomierz
cyfrowy
Komputer
Rys. 3.1. Układ do pomiaru napięcia na wyjściu transformatora.
3.4. Wskazówki do wykonania ćwiczenia i sprawozdania
Realizacja ćwiczenia odbywa się przy zastosowaniu programu komputerowego
ImeLab-1. Program ten umożliwia współpracę komputera z multimetrem f-my METEX
i – opcjonalnie - generację (opcja symulacja) wyników pomiaru. Na rys. 3.2 pokazany jest
panel główny programu podczas pracy w trybie symulacyjnym oraz współpracy
z woltomierzem. Program umożliwia gromadzenie wyników w plikach z rozszerzeniami *dat
oraz *csv. W trakcie badań na ekranie monitora odbywa się wizualizacja wyników.
Ćwiczenie 3: Analiza dokładności wyniku pomiarów
(a)
(b)
Rys.3.2. Panel główny programu ImeLab-1: a - podczas pracy w trybie symulacyjnym (demo),
b - podczas współpracy z woltomierzem f-my METEX.
9
9
10
Laboratorium podstaw techniki eksperymentu
5. Literatura
3.1. Mała encyklopedia metrologii. WNT, Warszawa 1989.
3.2. Międzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii. GUM 1996.
3.3. Turzeniecka D.: Ocena niepewności wyniku pomiarów. Wydawnictwo Politechniki
Poznańskiej. Poznań 1997