Zasady dynamiki Newtona na przykładzie równi pochyłej

Zasady dynamiki Newtona na przykładzie równi pochyłej
Andrzej P. Kądzielawa
(Dated: 12 września 2013)
Ze względu na trudności ze zrozumieniem zasad dynamiki Newtona (w szczególności pierwszej i
trzeciej ) poniższy problem opracowany jest w możliwie jasny sposób.
Zadanie
Próbka o masie m = 2t wydobywana jest ze stałą prędkością, pod kątem 30◦ do poziomu. Podaj
wartość siły naciągu liny podtrzymującej próbkę,
jeśli wartość siły tarcia wynosi T = 30kN .
Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły
wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie
same wartości, taki sam kierunek, przeciwne
zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa
na inne ciało).
Pomocniczo rozbijamy Q = F + D, gdzie F to
składowa siły ciężkości równoległa do kierunku ruchu, a D jej prostopadła składowa. Na mocy III
zasady dynamiki:
Rozwiązanie
R = −D,
(2)
równanie (1) upraszcza się więc do formy:
R
N
F + N + T = 0,
o
30
(3)
F
zaś odejmując stronami F + T otrzymujemy:
T Q D
N = −F − T.
o
30
(4)
Są to wektory o tym samym kierunku, prawdziwe jest więc równanie dla ich długości (wartości):
Rysunek 1: Bilans sił
N = F + T.
Ponieważ ruch odbywa się ze stałą prędkością,
spełniona musi być I zasada dynamiki Newtona:
W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało
nie działa żadna siła lub siły działające
równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Oznacza to, że siły działające na próbkę muszą
się równoważyć:
Q + N + T + R = 0,
(5)
Wartość T jest dana w treści zadania T =
30kN = 30000N .
Wartość F wyliczamy z definicji funkcji sinus dla
kąta prostokątnego:
F
1
= sin 30◦ → F = Q sin 30◦ = Q.
Q
2
(6)
Wiedząc, że Q = mg ≈ 2000[kg] × 10[m/s2 ] =
20000N , otrzymujemy:
(1)
gdzie Q to ciężar (Uwaga: przyjęto konwencję,
w której wektor oznaczamy pogrubieniem czcionki
~v ≡ v i v = |~v | = |v|), N naciąg linki, T tarcie,
R siła reakcji podłoża wynikająca z III zasady
dynamiki Newtona:
N = F +T =
1
1
Q + T = 20kN + 30kN = 40kN.
2
2
(7)
Odpowiedź: Siła naciągu ma wartość 40kN .