Analiza matematyczna - upper

1 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
To zebranie twierdze i definicji zostało wykonane na
podstawie podr cznika akademickiego W. akowskiego i
innych, bez zgody autora (i mo liwe, e przy jego
sprzeciwie, poniewa została wykonana w celu stworzenia
wygodnej ci gi na egzamin :-) (w ka dym razie na pewno
pan Henryk Sampławski byłby nie zadowolony, ale pono
jest lepy i nie widzi jak si ci ga :-) ).
Jako elektroniczny skryba pracował:
Marcin Okraszewski
[email protected]. http://www.vlo.ids.gda.pl/~okrasz/
Ten ukłon w stron braci w niedoli zaj ł mi „tylko” 1190
minut.
Miłego ci gania :-))) Wszyscy s upowa nieni do
rozpowszechniania tego dokumentu, coby studentom było
l ej :-)))
•
•
•
Szczególne podzi kowania
dr Henrykowi Sampławskiemu - bo gdyby nie egzamin, to
nie chciałoby mi si tworzy tego dokumentu ;-)
mojemu komputerowi, a wszczególno ci:
−
klawiaturze - za wytrzymanie wkepywania tylu
znaków.
−
myszce - za współprac z bardzo topornym
edytorem równa
−
monitorowi - za wy wietlanie tych bzdur
−
procesorowi - e mimo wielkiego obci enia tekstem
tył wstanie mi jeszcze umila czas muzyk mp3.
−
dyskowi twardemu - e nie padł i nie zgin ły
wszystkie dane.
moim oczom - ze wytrzymały patrzy na ten kijowy ekran,
chocia pod koniec ju dawały o sobie zna .
2 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Spis tre ci:
RACHUNEK RÓ NICZKOWY I CAŁKOWY .................................................................................................3
GRANICA CI GU ............................................................................................................................................................................................3
TWIERDZENIA O CI GACH..............................................................................................................................................................................3
GRANICA FUNKCJI .........................................................................................................................................................................................4
CI GŁO FUNKCJI LICZBOWYCH ..................................................................................................................................................................5
WŁASNO CI FUNKCJI CI GŁYCH ....................................................................................................................................................................5
POCHODNA FUNKCJI ......................................................................................................................................................................................6
RÓ NICZKA FUNKCJI .....................................................................................................................................................................................6
OBLICZANIE POCHODNYCH ............................................................................................................................................................................6
TWIERDZENIE ROLLE’A .................................................................................................................................................................................6
TWIERDZENIE L’HOSPITALA ..........................................................................................................................................................................7
TWIERDZENIE O PRZYROSTACH .....................................................................................................................................................................7
EKSTREMUM FUNKCJI ....................................................................................................................................................................................7
TWIERDZENIE I WZÓR TAYLORA ....................................................................................................................................................................7
WYPUKŁO I WKL SŁO WYKRESU FUNKCJI. PUNKT PRZEGI CIA..............................................................................................................7
RACHUNEK CAŁKOWY JEDNEJ ZMIENNEJ ..............................................................................................8
WARUNKI R-CAŁKOWALNO CI ......................................................................................................................................................................8
WŁASNO CI CAŁKI OZNACZONEJ ...................................................................................................................................................................8
TWIERDZENIA PODSTAWOWE RACHUNKU CAŁKOWEGO.................................................................................................................................9
ZASTOSOWANIE CAŁKI OZNACZONEJ ...........................................................................................................................................................10
CAŁKA NIEWŁA CIWA W PRZEDZIALE NIESKO CZONYM .............................................................................................................................10
CAŁKA NIEWŁA CIWA FUNKCJI NIEOGRANICZONEJ .....................................................................................................................................11
CAŁKI NIEWŁA CIWE ZALE NE OD PARAMETRU ..........................................................................................................................................11
SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE. ..........................................................................................................12
SZEREG LICZBOWY ......................................................................................................................................................................................12
SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH .........................................................................................................................................................12
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH ...........................................................................................................................................................13
SZEREGI FUNKCYJNE ...................................................................................................................................................................................13
SZEREGI POT GOWE ....................................................................................................................................................................................15
SZEREG TAYLORA .......................................................................................................................................................................................15
TWIERDZENIA BANACHA .............................................................................................................................................................................16
RACHUNEK RÓ NICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH .............................................................17
ZBIORY W PRZESTRZENI RN .........................................................................................................................................................................17
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH .......................................................................................................................................................................18
GRANICA I CI GŁO FUNKCJI .....................................................................................................................................................................18
CI GŁO FUNKCJI N ZMIENNYCH...............................................................................................................................................................18
POCHODNE CZ STKOWE ..............................................................................................................................................................................19
FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ............................................................................................................20
PŁASZCZYZNA ZESPOLONA OTWARTA I DOMKNI TA....................................................................................................................................20
CI GI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH ............................................................................................................................20
FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ ..........................................................................................................................................20
FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ ZESPOLONEJ ..............................................................................................................................................20
POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ ................................................................................................................................................21
FUNKCJA HOLOMORFICZNA .........................................................................................................................................................................21
CI GI I SZEREGI FUNKCJI ZESPOLONYCH ......................................................................................................................................................21
FUNKCJE WIELOZNACZNE ............................................................................................................................................................................22
CAŁKA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ ......................................................................................................................................................22
TWIERDZENIE PODSTAWOWE CAUCHY’EGO ................................................................................................................................................22
WZÓR CAŁKOWY CAUCHY’EGO ..................................................................................................................................................................23
SZEREG TAYLORA .......................................................................................................................................................................................23
SZEREG LAURENTA .....................................................................................................................................................................................24
PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE ..............................................................................................................................................................24
RESIDUUM FUNKCJI .....................................................................................................................................................................................24
PRZEKSZTAŁCENIA CAŁKOWE ..................................................................................................................26
WZÓR CAŁKOWY FOURIERA ........................................................................................................................................................................26
PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A....................................................................................................................................................................26
RACHUNEK OPERATOROWY .........................................................................................................................................................................26
WŁASNO CI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A ................................................................................................................................................27
3 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Relacje
Def. Produktem kartezja skim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par
uporz dkowanych <x, y>, gdzie x ∈ X i y ∈ Y. [<x, y> ∈ XxY] ⇔ [(x ∈ X) ∧ (y ∈ Y)]
Def. Relacja binarna w zb. X jest:
1. refleksyjna (zwrotna) je eli ∀x x ϕ x
2. symetryczna je eli ∀x, y ∈ X (x ϕ y y ϕ x)
3. tranzytywna (przechodnia) je eli ∀x, y, z ∈ X ( x ϕ y oraz y ϕ z x ϕ z )
4. słabo antysymetryczna je eli ( x ϕ y oraz y ϕ x
x=y)
gdy spełnione 1 - 3 to relacja jest relacj równowa no ci w X.
Def. Relacj (≤) w X, która jest refleksyjna, tranzytywna oraz słabo antysymetryczna
nazywamy porz dkiem. Porz dek spójny nazywamy porz dkiem liniowym.
Def. (Tw. Dirichleta) Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, je eli istnieje bijekcja f: A → B
| A ~ B.
Def. Mówimy, e zbiory równoliczne, A i B maj t sam moc.
Tw. Je eli (R, +, *, 0, 1, ≤) jest ciałem uporz dkowanym i ma własno ci kresu, to systemy (R,
+, *, 0, 1) i (R, +, *, 0, 1, ≤) s izomorficzne, tzn. istnieje bijekcja f: R → R, który zachowuje
wszystkie działania strukturalne.
Lemat Adama Ka da liczba x ∈ R mo e by granic pewnego ci gu liczb wymiernych.
Rachunek ró niczkowy i całkowy
Granica ci gu
Def. Liczb g nazywamy granic ci gu (an), je eli dla ka dego ε > 0 istnieje taka liczba δ, e
dla ka dego n > δ spełniona jest nierówno |an - g| < ε. Piszemy przy tym lim an = g.
lim an = g ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ |an - g| < ε
Def. Liczb g nazywamy granic ci gu (an), je eli w dowolnym otoczeniu punktu g na osi
liczbowej le prawie wszystkie wyrazy tego ci gu.
Def. Mówimy, e ci g (an) jest rozbie ny do plus (minus) niesko czono ci wtwg ∀M ∃δ ∀n>δ
an > (<) M i piszemy lim an = +(-)∞
Twierdzenia o ci gach
Tw. Ci g zbie ny jest ograniczony.
Tw. (Bolzano-Weierstrass) Ka dy ci g ograniczony zawiera podci g zbie ny.
Tw. (o trzech ci gach) Je eli lim an = lim cn = g, a ponadto istnieje taka liczba δ0, e dla
ka dego n > δ0 spełniona jest nierówno an ≤ bn ≤ cn, to lim bn = g.
Tw. (o zachowaniu nierówno ci słabej) Je eli lim a n = a i lim b n = b oraz istnieje taka
n →∞
n →∞
liczba δ0, e dla ka dego n > δ0 spełniona jest nierówno an ≤ bn, to a ≤ b.
Tw. (Warunek Cauchy’ego zbie no ci ci gu) Ci g (an) jest zbie ny wtedy i tylko wtedy, gdy
dla ka dej liczby ε > 0 istnieje liczba δ taka, e dla ka dych dwóch liczb naturalnych r i s
wi kszych od δ spełniona jest nierówno |ar - as| < ε. (an) zb. ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀r,s>δ |ar - as| < ε
Tw. Ci g monotoniczny i ograniczony jest zbie ny.
Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach ci gów zbie nych) Je eli ci gi (an) i (bn) s
zbie ne, lim an = a, lim bn = b, to ci gi (an ± bn), (an * bn), (an / bn) s tak e zbie ne, przy
czym: lim (an ± bn) = a ± b, lim (an * bn) = a * b, lim (an / bn) = a / b (bn i b ≠ 0).
Def. Mówimy, e ci g (an) punktów przestrzeni metrycznej Xd jest zbie ny do elementu g
przestrzeni Xd wtwg ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ d(<an, g>) < ε.
4 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Granica funkcji
Def. Zbiór Q(x0; r) = {x ∈ X: d(<x0, x>) < r} nazywamy otoczeniem punktu x0. Liczb r
nazywamy promieniem otoczenia.
Def. Zbiór S(x0; r) = Q(x0; r) - {x0} nazywamy s siedztwem punktu x0 ∈ X.
Def. Punkt x0 ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtwg do ka dego otoczenia
Q(x0; r) nale y co najmniej jeden ró ny od x0 punkt x ∈ A. ∀ε>0 ∃x ∈ A x ∈ S(x0; ε).
Tw. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtwg istnieje
ci g (xn) o wyrazach nale cych do zbioru A - {x0} i taki, e.
Def. Punkt X0 przestrzeni metrycznej Xd nazywamy punktem izolowanym zbioru A ⊂ X wtwg
x0 ∈ A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbioru A.
Def. (Heinego) Mówimy, e funkcja f ma w punkcie x0 g granic g i piszemy lim f ( x) = g
x→ x 0
wtwg dla ka dego ci gu (xn) o wyrazach ze zbioru Df - {x0} i zbie nego do punktu x0 ci g
(f(xn)) jest zbie ny do punktu g.
Def. (Cauchy’ego) Mówimy, e funkcja f ma w punkcie x0 granic g i piszemy lim f ( x) = g
x→ x 0
wtwg ∀ε>0 ∃δ ∀x ∈ Df 0 < dx(<x, x0>) < δ dy(<f(x), g>) < ε.
Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji) Je eli lim f ( x) = g , lim h( x) = p i
x→ x 0
x→ x 0
x0 jest punktem skupienia Df ∩ Dh, to lim [f(x)±h(x)]=g±p, lim [f(x)*h(x)]=g*p,
lim [f(x)/h(x)]=g/p (p ≠ 0)
Tw. (o granicy funkcji zło onej). Je eli lim f ( x) = g , przy czym g jest punktem skupienia
x→ x 0
zbioru f(X) i g nie nale y do zbioru f(X-{x0}), oraz lim h( y) = p , to lim h[ f ( x) ] = p .
y→g
x→ x 0
granice niewła ciwe.
Def. (Heinego) Mówimy, e funkcja f posiada w punkcie x0 granic niewła ciw +(-)∞ i
piszemy lim f ( x) = + ( − ) ∞ wtwg dla ka dego ci gu (xn) o wyrazach ze zbioru Df - {x0} i
x→ x 0
zbie nego do punktu x0 ci g (f(xn)) jest zbie ny do +(-)∞.
Def. (Cauchy) lim f ( x) = + ( − ) ∞ ⇔ ∀M ∃δ ∀x ∈ Df 0 < dx(<x, x0>) < δ
x→ x 0
f(x) <(>) M.
granice w niesko czono ci
Def. (Heinego) Funkcja f posiada w +[-]∞ granic g / granic niewła ciw -(+)∞, je eli dla
ka dego ci gu (xn) rozbie nego do +[-]∞, ci g (f(xn)) jest zbie ny do g / rozbie ny do -(+)∞.
Piszemy wtedy lim f ( x) = g / −( + ) ∞ .
x →+[ − ]∞
Def. (Cauchy)
lim f ( x) = g ⇔ ∀ε>0 ∃δ ∀x ∈ Df x >[<] δ
x →+[ − ] ∞
(|f(x) - g| < ε)
lim f ( x) = + ( −) ∞ ⇔ ∀M ∃δ ∀x ∈ Df x >[<] δ
x →+[ − ]∞
f(x) <(>) M.
Niesko czenie małe.
Def. Funkcj f(x) nazywamy niesko czenie mał w danym przej ciu granicznym, je eli
lim f(x) = 0.
Def. Niesko czenie małe f(x) i h(x) nazywamy niesko czenie małymi tego samego rz du w
f ( x)
danym przej ciu granicznym, je eli istnieje granica wła ciwa lim
= k ≠ 0.
h( x)
Def. Z dwóch niesko czenie małych f(x) i h(x), f(x) nazywamy niesko czenie mał wy szego
f ( x)
= 0.
rz du w danym przej ciu granicznym, je eli lim
h( x )
5 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Def. Funkcj f(x) nazywamy niesko czenie mał rz du n (n ∈ N), gdy x → x0, je eli funkcje:
f(x) i (x-x0)n s niesko czenie małymi tego samego rz du, gdy x → x0.
Def. Dwie niesko czenie małe f(x) i h(x) nazywamy równowa nymi w danym przej ciu
f ( x)
= 1.
granicznym i piszemy f(x) ~ h(x), gdy lim
h ( x)
Def. Funkcj f(x) nazywamy niesko czenie wielk w danym przej ciu granicznym, je eli
lim |f(x)| = ∞.
Ci gło funkcji liczbowych
Def. (Heinego) Mówimy, e funkcja f jest ci gła w punkcie x0 wtwg dla ka dego ci gu (xn) o
wyrazach ze zbioru Df i zbie nego do punktu x0 ci g (f(xn)) jest zbie ny do punktu f(x0).’
Tw. Funkcja f jest ci gła w punkcie x0 b d cym punktem skupienia dziedziny Df wtwg
lim f ( x) = f ( x 0 )
x→ x 0
Def. (Cauchy’ego) Mówimy, e funkcja f jest ci gła w punkcie x0 wtwg
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∈ Df | x - x0| < δ | f(x) - f(x0)| < ε.
Def. Mówimy, e funkcja jest ci gła wtwg jest ci gła w ka dym punkcie swej dziedziny.
Def. Mówimy, e funkcja jest ci gła na zbiorze A ⊂ Df, A ≠ ∅, wtwg f|A jest funkcj ci gł .
Def. Punkt x0 ∈ Df, w którym funkcja f nie jest ci gła nazywamy punktem nieci gło ci tej
funkcji.
Własno ci funkcji ci głych
Tw. 1. (o ci gło ci funkcji odwrotnej) Je eli funkcja f jest ci gła i rosn ca (malej ca) na
przedziale A ⊂ R, to f(A) jest przedziałem oraz funkcja f-1 jest ci gła i rosn ca (albo
odpowiednio malej ca) na przedziale f(A).
Tw. 2. (o ci gło ci funkcji zło onej) Je eli funkcja wewn trzna f jest ci gła w punkcie x0 i
funkcja zewn trzna h jest ci gła w punkcie u0 = f(x0), to funkcja zło ona h°f jest ci gła w
punkcie x0.
Tw. 3. (o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ci głej). Je eli istnieje granica
wła ciwa lim f ( x) = g i funkcja h jest ci gła w punkcie u0 = g, to
x→ x 0
lim h[ f ( x)] = h lim f ( x) = h(g) .
x→ x 0
x→ x 0
Tw. 4. (o lokalnym zachowaniu znaku) Je eli funkcja f jest ci gła w punkcie x0 oraz f(x0) > 0
albo f(x0) < 0 to istnieje takie otoczenie Q punktu x0, e dla ka dego x ∈ Q∩Df spełniona jest
nierówno f(x) > 0 albo odpowiednio f(x) < 0.
Tw. (Weierstrassa) Je eli funkcja f jest ci gła na przedziale domkni tym <a; b>, to
1. f jest ograniczona na przedziale <a; b>
2. istniej takie liczby c1, c2, e f (c 1 ) = inf f ( x) , f (c 2 ) = sup f ( x)
a ≤ x≤ b
a≤x≤b
Tw. (Cantora) Je eli funkcja f jest ci gła na przedziale domkni tym <a; b>, to dla ka dego
ε > 0 istnieje takie δ > 0, e dla ka dych dwóch liczb x1 i x2 z tego przedziału, spełniaj cych
warunek |x1 - x2| < δ, spełniona jest nierówno |f(x1) - f(x2)| < ε.
Def. Funkcja f jest jednostajnie ci gła na przedziale X wtwg ∀ε>0 ∀x1∈X ∃δ>0 ∀x2∈X
(|x1 - x2|) (|f(x1) - f(x2)| < ε).
Tw. (Darboux) Je eli funkcja f jest ci gła na przedziale domkni tym <a; b>, f(a) ≠ f(b) oraz
liczba q jest zawarta mi dzy f(a) i f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), e f(c) = q.
Def. (war. Lipschitz) Funkcja f: X→ Y spełnia warunek Lipschitza je eli ∃L>0 ∀x1, x2 ∈ D
ρ(f(x1), f(x2)) ≤ L d(x1, x2); L - stała Lipschitza.
6 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Tw. (Cantor, Haine, Dini ?) Funkcja ci gła w dziedzinie zwartej jest ci gła jednostajnie.
Pochodna funkcji
Def. Iloraz ró nicowy funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej niezale nej jest to
f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
stosunek
∆x
Def. Granic wła ciw ilorazu ró nicowego, gdy ∆x → 0, nazywamy pochodn funkcji f w
def
f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
punkcie x0 i oznaczamy symbolem f’(x0). f '(x) = lim
∆x → 0
∆x
Ró niczka funkcji
Tw. (o przedstawieniu przyrostu funkcji) je eli dziedzina funkcji f zawiera pewne otoczenie
Q punktu x0 oraz istnieje pochodna f’(x0), to dla ka dego przyrostu ∆x takiego, e x0 + ∆x ∈
Q, przyrost funkcji) mo na przedstawi nast puj co ∆f = f’(x0) ∆x + α∆x, przy czym α → 0,
gdy ∆x d y do zera w dowolny sposób.
wniosek Je eli funkcja f ma pochodn w punkcie x0, to jest w tym punkcie ci gła.
Def. Funkcj f nazywamy ró niczkowaln w punkcie x0, je eli jej przyrost ∆f = f(x0 + ∆x) f(x0) mo na dla ka dego ∆x dostatecznie bliskiego zeru przedstawi w postaci ∆f = A∆x +
o(∆x), gdzie A jest stał , a o(∆x) jest niesko czenie mał rz du wy szego ni ∆x, gdy ∆x →
0.
Def. Ró niczk funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej niezale nej x nazywamy
iloczyn f’(x0)∆x. Oznaczamy j symbolem df(x0), b d te krótko df lub dy.
Obliczanie pochodnych
Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Je eli funkcja x = g(y) jest ci le monotoniczna i
posiada funkcj pochodn g’(y) ≠ 0, to funkcja y = f(x) odwrotna do niej posiada funkcj
1
, gdzie y = f(x).
pochodn f’(x), przy czym f '(x) =
g'(y)
Tw. (o pochodnej funkcji zło onej) Je eli funkcja h ma pochodn w punkcie x, a funkcja f ma
pochodn w punkcie u = h(x), to funkcja zło ona f°g ma w punkcie x pochodn (f°g)’(x) =
f’[h(x)]*f’(x).
Def. Pochodn logarytmiczn funkcji f nazywamy pochodn jej logarytmu naturalnego
f '(x)
[ln f ( x)]| = f ( x) .
Tw. (o pochodnej funkcji okre lonej parametrycznie) Je eli funkcja y - h(x) jest okre lona
dy dx
, to istniej
parametrycznie x = f(t), y = g(t), t ∈ (a; b), przy czym istniej pochodne
i
dt dt
dy
dy dt
tak e pochodna
=
.
dx dx
dt
Twierdzenie Rolle’a
Tw. (Rolle’a) Je eli funkcja f jest ci gła na przedziale <a; b>, ró niczkowalna na przedziale
(a; b) oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), e f’(c) = 0.
7 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Twierdzenie l’Hospitala
Tw. (de l’Hospitala) Je eli:
f f'
1. dziedziny funkcji i zawieraj pewne s siedztwo S punktu x0.
g g'
2. lim f ( x) = lim h( x) = 0 albo lim h( x) = ±∞
x→ x 0
x→ x 0
x→ x 0
f '(x)
(wła ciwa albo niewła ciwa),
3. istnieje granica lim
x→ x 0 h '
( x)
f ( x)
f ( x)
f '(x)
to istnieje tak e granica lim
, przy czym lim
= lim
.
x → x 0 h( x )
x → x 0 h( x )
x→ x 0 h'
( x)
Twierdzenie o przyrostach
Tw. (o przyrostach, Lagrange’a) Je eli funkcja f jest ci gła na przedziale domkni tym o
ko cach x0 i x, oraz ma pierwsz pochodn wewn trz tego przedziału, to istnieje taki punkt c
le cy mi dzy x0 i x, e f(x) - f(x0) = f’(c)(x - x0).
Ekstremum funkcji
Def. Mówimy, e funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne, je eli istnieje
taka liczba dodatnia δ, e dla ka dego x ∈ S(x0; δ) spełniona jest odpowiednio nierówno
f(x) ≤ f(x0) (albo f(x) ≥ f(x0)). Dla nierówno ci mocnych otrzymamy maksimum i minimum
wła ciwe
Tw. (Fermata) Je eli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwsza
pochodn , to f’(x) = 0.
Twierdzenie i wzór Taylora
Tw. (Taylora) Je eli funkcja f ma ci głe pochodne do rz du (n-1) wł cznie na przedziale
domkni tym, o ko cach x0 i x oraz ma pochodn rz du n wewn trz tego przedziału, to istnieje
n −1 ( k )
f (x 0 )
f ( n ) ( c)
(x − x0 ) k +
(x − x0 ) n
taki punkt c, le cy mi dzy x0 i x, e f ( x) − f ( x 0 ) =
k!
n!
k =1
Wypukło i wkl sło wykresu funkcji. Punkt przegi cia.
Def. Mówimy, e krzywa y = f(x) jest wypukła (wkl sła) w punkcie x0, wtwg istnieje taka
liczba r1 > 0, e ró nica yA - yB = f(x) - f(x0) - f’(x0)(x - x0) jest dodatnia (ujemna) dla
ka dego x ∈ S(x0, r1).
8 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Rachunek całkowy jednej zmiennej
σn =
n
k =1
f (ξ k )∆x k
Def. Je eli dla ka dego ci gu normalnego podziałów przedziału <a; b> ci g sum całkowych
(σn) jest zbie ny do tej samej granicy wła ciwej, niezale nej od wyboru punktów ξk, to t
granic nazywamy całk oznaczon funkcji f na przedziale i oznaczamy symbolem:
b
b
def
f ( x)dx ; f ( x)dx = lim
a
σ n →0
a
n
k =1
f (ξ k ) ∆x k
Warunki R-całkowalno ci
Tw. Je eli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, to jest funkcj ograniczon na
tym przedziale. (war. konieczny, ale nie wystarczaj cy)
Tw. (o R-całkowalno ci funkcji ci głej). Funkcja ci gła na przedziale domkni tym jest Rcałkowalna na tym przedziale. (war. wystarczaj cy, ale nie konieczny)
Def. Mówimy, e podzbiór A zbioru R jest miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka dego ε
> 0 istnieje pokrycie zboru A takim ci giem przedziałów otwartych, którego długo jest
mniejsza od ε.
Tw. Ka dy podzbiór przeliczalny zbioru R ma miar zero.
Tw. Ka dy podzbiór zbioru miary zero ma miar zero.
Tw. (Lebesgue’a). Funkcja f ograniczona na przedziale <a; b> jest R-całkowalna na tym
przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór punktów nieci gło ci funkcji f na przedziale <a; b>
jest miary zero.
Tw. Funkcja monotoniczna na przedziale <a; b> jest R-całkowalna na tym przedziale.
Własno ci całki oznaczonej
Tw. 1. Je eli funkcje f i h s R-całkowalne na przedziale <a; b>, to:
1) funkcja g+h jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, przy czym
b
b
b
[ f ( x) + h( x)]dx = f ( x)dx + h( x)dx
a
a
a
2) funkcja Af, gdzie A - dowolna stała, jest R-całkowalna na przedziale <a; b>:
b
b
Af ( x)dx = A f ( x)dx
a
a
Tw. 2. Je li funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b>, to:
1) f2 jest R-całkowalna na <a; b>
2) |f| jest R-całkowalna na <a; b>
Tw. 3. Je eli funkcje f i g s R-całkowalne na przedziale <a; b>, to funkcja f*g jest Rcałkowalna na tym przedziale.
Tw. 4. Je eli funkcja f jest R-całkowalna na <a; b> i przedział <α; β> ⊂ <a; b>, to funkcja f
jest R-całkowalna na przedziale <α; β>, przy czym:
β
b
f ( x) dla x ∈< α; β >
f ( x)dx = f * ( x)dx ; f * ( x) =
0 dla x ∈< a; b > − < α; β >
α
a
Tw. 5. Je eli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale <a; b> i c ∈ (a; b), to
9 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
b
c
b
f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx
a
a
c
Tw. 6. Je eli ograniczona funkcja f jest ci gła na przedziale <a; b>, z wyj tkiem punktów
zbioru A miary zero, i dla ka dego x ∈ <a; b>-A funkcja f przyjmuje warto zero, to
b
f ( x)dx
a
wniosek: Je eli dwie ograniczone funkcje f i h, z których jedna jest R-całkowalna na <a; b>,
ró ni si tylko na zbiorze sko czonym, to druga z tych funkcji jest R-całkowalna i
b
b
f ( x)dx = h( x)dx
a
a
Tw. 7. Je eli funkcje f i g s R-całkowalne na przedziale <a; b> i spełniaj warunek:
b
b
f ( x)dx ≤ g( x)dx
∀x ∈< a; b > f ( x) ≤ g( x) to
a
a
wniosek: Je eli funkcja f jest R-całkowalna na <a; b> i ograniczona na <a; b> z góry liczb
b
M, z dołu za liczb m, to m( b − a ) ≤ f ( x)dx ≤ M ( b − a )
a
Tw. 8. (tw. całkowe o warto ci redniej). Je li funkcja f jest ci gła na przedziale <a; b>, to
b
1
istnieje taki punkt c ∈ <a; b>, e:
f ( x)dx = f (c)
b−a a
b
b
f ( x)dx ≤
Tw. 9. Je eli f jest funkcj R-całkowalna na przedziale <a; b>, to
a
f ( x) dx
a
Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego
Tw. 1. Je eli f jest funkcj R-całkowaln na przedziale <α; β>, α za dowolnie ustalon
x
liczb w tym przedziale, to funkcja F, okre lona wzorem F( x) = f ( t )dt ; x ∈< a; b > , jest
α
ci gła w przedziale <a; b>.
Tw. (pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego). Je eli funkcja f jest R-całkowalna
na przedziale <a; b> i α ∈ <a; b>, to funkcja F okre lnoa na tym przedziale wzorem:
x
x
d
F( x) = f ( t )dt ; x ∈< a; b > ma pochodn F’(x) = f(x), czyli:
f ( t )dt = f ( x)
dx α
α
Def. Funkcj F nazywamy funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X, je eli dla ka dego x ∈
X spełniony jest warunek F’(x) = f(x) lub dF(x) = f(x)dx.
Je eli przedział X jest jedno- lub obustronnie domkni ty, to pochodn F’(x) w ka dym z
nale cych do niego ko ców rozumiemy jako odpowiedni pochodn jednostronna.
Tw. (podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych). Je eli F jest funkcj pierwotn
funkcji f na przedziale X, to:
1.funkcja Φ = F + C, gdzie C oznacza dowoln funkcj stał , jest tak e funkcj pierwotn
funkcji f na przedziale X,
2.ka d funkcj pierwotn Φ funkcji f na przedziale X mo na przedstawi w postaci sumy F +
C0, gdzie C0 jest stosownie do Φ i F dobran stała funkcj .
10 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Def. Całk nieoznaczon funkcji f: <a; b> → R nazywamy zbiór wszystkich funkcji
pierwotnych f, co oznaczmy
f ( x)dx ≡ f .
Tw. (o istnieniu funkcji pierwotnej). Je eli funkcja f jest ci gła na przedziale X, to posiada na
tym przedziale funkcj pierwotn .
Tw. (drugie twierdzenie główne rachunku całkowego, tw. Newtona-Leibniza). Je eli funkcja f
jest ci gła na przedziale <a; b>, F za jest jak kolwiek funkcj pierwotn funkcji f na tym
b
f ( x)dx = F( b) − F(a )
przedziale, to
a
Tw. Całkowanie przez cz ci Je eli funkcje u i v ma w pewnym przedziale ci głe pochodne
u’ i v’, to
u( x) v'(x)dx = uv − v( x) u'(x)dx na tym przedziale.
Całkowanie przez podstawienie
Tw. 1. (o całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). Je eli:
1.funkcja h jest ró niczkowalna na przedziale X i przekształca go na przedział T,
2.funkcja g ma na przedziale T funkcj pierwotn G,
3.f = (g°h)*h’ na przedziale X,
to:
f ( x)dx = G h + C na przedziale X.
Tw. 2. (o całkowaniu przez podstawienie x = ϕ(t)). Je eli:
1.funkcja ϕ jest ró niczkowalna i ró nowarto ciowa na przedziale T i przekształca go na
przedział X,
2.funkcja f ma na przedziale X funkcj pierwotn F,
to prawdziwa jest na tym przedziale równo
f ( x)dx =
[
f [ϕ ( t )] * ϕ'(t )dt
]
ϕ −1
Zastosowanie całki oznaczonej
b
pole pod wykresem P = f ( x)dx
a
b
obj to
bryły obrotowej V = π f 2 ( x)dx
z
β
długo
łuku l =
α
dx
dt
2
dy
+
dt
2
dt
Całka niewła ciwa w przedziale niesko czonym
Def. Je eli funkcja f(z) jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale <a; T> dla ka dego
T
T > a oraz istnieje granica wła ciwa lim f ( x)dx , to nazywamy j całk niewła ciw funkcji
T→∞
a
+∞
f(z) w przedziale od a do plus niesko czono ci i oznaczamy symbolem
f ( x)dx .
a
Je eli granica istnieje i jest wła ciwa, to mówimy, e całka niewła ciwa funkcji f(z) w
przedziale a do plus niesko czono ci istnieje lub e jest zbie na. Je eli granica nie istnieje,
albo jest niewła ciwa, to mówimy, e całka niewła ciwa nie istnieje lub e jest zbie na.
Analogicznie dla minus niesko czono ci i przedziału (-∞; +∞) (tu na dwie całki (-∞, 0>, i
<0, ∞) ).
11 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Całka niewła ciwa funkcji nieograniczonej
funkcja f(x) jest okre lona w przedziale <a, b):
b−ε
Def. Je eli istnieje granica wła ciwa lim+
ε→ 0
b
f ( x)dx = f ( x)dx to nazywamy j całk
a
a
niewła ciw funkcji f(z) w przedziale <a; b> (całka niewła ciwa drugiego rodzaju).
Def. Całk niewła ciw zbie n drugiego rodzaju nazywamy bezwzgl dnie zbie n , je eli jest
b
zbie na całka
f ( x) dx .
a
b
Def. Całk zbie n nazywamy warunkowo zbie n , je eli całka
f ( x) dx jest rozbie na.
a
Całki niewła ciwe zale ne od parametru
∞
K( x, t )dx nazywamy zbie n w przedziale T je eli ∀ε>0 ∀t∈T ∃A0≥a ∀A>A0
Def. Całk
a
∞
K( x, t )dx < ε
a
Def. Całk nazywamy jednostajnie zbie n w przedziale T, je eli ∀ε>0 ∃A0≥a ∀t∈T ∀A>A0
∞
K( x, t )dx < ε
a
Testy zbie no ci całki niewła ciwej
Tw. (A. Cauchy) Je eli f: <a; +∞) → C jest lokalnie całkowlna, to równowa ne s warunki:
β
1. całka niewła ciwa
f ( x)dx jest zbie na
α
β
f ( x)dx → 0, α , β → ∞
2.
α
Tw. (test porównawczy) Je eli
1. f: <a, +∞) → C jest lokalnie całkowalna
∞
2. g: <a, +∞) → R, g ≥ 0,
g jest zbie na
a
3. |f(x)| ≤ g(x) w <a, +∞)
∞
∞
a
∞
f ( x)dx ≤ g( x)dx .
f ( x)dx jest zbie na (bezwzgl dnie) oraz zachodzi oszacowanie
a
a
Tw. (Dirichlet) Je eli f: <a, +∞) → R jest ci gła i ma ograniczon pochodn (tzn. ∀<a, α> ma
F górnej granicy całkowania ograniczon ) i g: <a; +∞) → R jest klasy C1 oraz g(x) maleje do
zera, x → ∞ to całka niewła ciwa
∞
∞
fg = − F(a )g'(a ) − F( x)g'(x)dx .
a
a
fg jest zbie na oraz zachodzi równo
12 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Szeregi liczbowe i funkcyjne.
Szereg liczbowy
Def. Ci g (Sn) sum S n =
n
k =1
a k nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem
∞
n =1
an
Szereg liczbowy nazywamy zbie nym, je eli ci g jego sum cz ciowych jest zbie ny do
granicy wła ciwej lim Sn = S, natomiast rozbie nym w wypadku przeciwnym. Granic
nazywamy sum szeregu. Szereg zbie ny ma sum , natomiast szereg rozbie ny nie ma sumy.
∞
Piszemy te
∞
Def.
n =1
an ≡
Def. Szereg
an = S
n =1
∞
n =1
∞
n =1
b n ⇔ ∀n a n = b n
(a n + b n ) nazywamy sum szeregów
∞
∞
n =1
an i
n =1
bn
∞
Warunek konieczny zbie no
szeregu. Je eli szereg
n =1
a n jest zbie ny, to lim an = 0
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Tw. Je eli ci g sum cz ciowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to
szereg ten jest zbie ny.
kryteria porównawcze. Je eli wyrazy ci gów
∞
n =1
∞
a n oraz
n =1
b n s nieujemne, a ponadto
istnieje taka liczba naturalna N, e dla ka dego n > N jest spełniona nierówno an ≤ bn, to:
1. zbie no drugiego szeregu zapewnia zbie no szeregu pierwszego
2. rozbie no szeregu pierwszego zapewnia rozbie no szeregu drugiego
∞
1
kryterium Dirichleta (porównawcze w postaci granicznej). Szereg
α jest rozbie ny
n =1 n
dla α ≤ 1, natomiast zbie ny dla α > 1.
a
kryterium d’Alemberta. Je eli istnieje granica (wła ciwa albo niewła ciwa) g = lim n +1 , to
an
∞
szereg o wyrazach dodatnich
n =1
a n jest zbie ny, gdy g < 1, natomiast rozbie ny, gdy g > 1.
kryterium pierwiastkowe (Cauchy’ego-Hadamard). Je eli istnieje granica (wła ciwa albo
niewła ciwa) g = lim a n to szereg o wyrazach nieujemnych
∞
n
n =1
a n jest zbie ny, gdy g < 1,
natomiast zbie ny, gdy g > 1.
kryterium całkowe Niech m oznacza dowoln liczb naturaln . Je eli funkcja f(x) jest
+∞
nierosn ca i nieujemna w przedziale <m; +∞), to całka
m
jednocze nie zbie ne, albo rozbie ne..
∞
f ( x)dx oraz szereg
f ( n) s
n= m
13 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Szeregi o wyrazach dowolnych
∞
Def. Szereg
n =1
(−1) n +1 a n
a n > 0 nazywamy szeregiem naprzemiennym.
kryterium Leibniza. Je eli ci g (an) jest nierosn cy oraz a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... oraz lim an = 0,
to szereg naprzemienny jest zbie ny.
kryterium Dirichleta.
(a n b n ) (an i bn dowolne) an monotonicznie maleje do zera oraz
n
k =1
b k ≤ const ∀n ∈ N , to szereg jest zbie ny.
∞
Def. Szereg zbie ny
n=1
a n nazywamy bezwzgl dnie zbie nym, je eli jest zbie ny szereg
∞
n=1
an
∞
Def. Szereg zbie ny
∞
n=1
rozbie ny
∞
Tw. Je eli szereg
∞
n=1
n=1
a n jest zbie ny, to jest bezwzgl dnie zbie ny szereg
c n o wyrazach c n =
∞
szeregów.
n=1
a n jest
∞
n=1
Def. Szereg
a n nazywamy warunkowo zbie nym, je eli szereg
n
k =1
a k b n +1− k
n=1
an .
n ∈ N nazywamy iloczynem Cauchy’ego
∞
an i
n=1
bn .
Tw. (Cauchy’ego-Martensa o iloczynie szeregów). Je eli szeregi
∞
n=1
∞
an i
n=1
b n s zbie ne,
przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzgl dnie zbie ny, to ich iloczyn jest zbie ny,
∞
przy czym
n =1
cn =
∞
n =1
∞
an *
n =1
bn
Szeregi funkcyjne
Def. Ci g. (Sn(x)) sum S n ( x) =
n
k =1
f k ( x) nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy
∞
symbolem
n =1
f n ( x) .
Def. Szereg funkcyjny nazywamy zbie nym w zbiorze X, je eli ci g jego sum cz ciowych
jest zbie ny w tym zbiorze S n ( x) → S( x) natomiast rozbie nym w przeciwnym przypadku.
X
Funkcj graniczn S(x) nazywamy sum szeregu funkcyjnego w zbiorze X i piszemy
∞
n =1
f n ( x) = S( x)
X
Def. Ci g funkcyjny (fn(x)) nazywamy zbie nym (punktowo) w zbiorze X do funkcji
granicznej f(x) i piszemy
lim f n ( x) = f ( x) ⇔ ∀ε > 0 ∀x ∈ X ∃δ ∀n > δ
n→∞
( f ( x ) − f ( x) < ε ) .
n
14 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Def. (Cauchy) Ci g funkcyjny (fn(x)) nazywamy jednostajnie zbie nym w zbiorze X do
funkcji granicznej f(x) i piszemy
→
f n ( x) → f ( x) ⇔ ∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ X ∀n > δ
( f ( x) − f ( x ) < ε )
n
X
Je eli ci g (Sn(x)) jest jednostajnie zbie ny w zbiorze X, to szereg funkcyjny nazywamy
jednostajnie zbie nym w tym zbiorze. Je eli szereg funkcyjny jest zbie ny w zbiorze X i
∞
zbie ny jest szereg
n =1
f n ( x) , to nazywamy go bezwzgl dnie zbie nym w zbiorze X.
kryterium Weierstrassa. Je eli istnieje taka liczba naturalna N, e dla ka dego n ≥ N i dla
ka dego x ∈ X spełniona jest nierówno
|fn(x)| ≤ an przy czym szereg liczbowy
∞
n =1
a n jest
∞
zbie ny, to szereg funkcyjny
n =1
f n ( x) jest zbie ny w zbiorze X jednostajnie i bezwzgl dnie.
Tw. (Leibniz) Dany jest ci g funkcyjny (fn(x)) na zbiorze D o warto ciach R. Je eli fn(x)
∞
maleje do zera jednostajnie (ew. lokalnie jednostajnie) na D
0
( −1) n f n ( x) jest zbie ny
jednostajnie (ew. lok. jedn.) na D. Mo na oszacowa |s(x) - sn(x)| ≤ fn+1(x).
Tw. (o całkowaniu szeregu funkcyjnego (wyraz po wyrazie)) Je eli szereg
∞
n =1
f n ( x) o
wyrazach ci głych w przedziale <a; b> jest w tym przedziale jednostajnie zbie ny, to
b
a
∞
n =1
∞ b
f n ( x) dx =
n =1 a
f n ( x)dx .
Tw. (o ró niczkowaniu szeregu funkcyjnego (wyr. po wyr.)) Je eli wyrazy szeregu
funkcyjnego maj ci głe pochodne fn’(x) w przedziale <a; b>, szereg funkcyjny jest zbie ny w
∞
tym przedziale, a ponadto szereg
n =1
∞
n =1
|
f n ( x) =
∞
n =1
f n'( x) jest jednostajnie zbie ny w przedziale <a; b>, to
f n'( x) dla ka dego x ∈ <a; b>.
Def. Funkcj f ∈ C∞(Ux0, δ) nazywamy analityczn w punkcie x0, je eli w otoczeniu Ux0, δ
f ( x) =
∞
a k (x − x 0 ) k
|x - x0| < δ
(x 0 )
ak =
k!
Tw. Je eli f klasy C∞(Ux0, δ) ma ograniczone pochodne, tzn. ∃M>0 ∀k≥0 ∀x∈Ux0, δ’ < δ |f(k)(x)|
∞
f ( x) ( x 0 )
≤ M, to f jest analityczna w x0, czyli f ( x) = a k ( x − x 0 ) k , a k =
x ∈ Ux0, δ.
k!
0
jest ona sum swojego szeregu Taylora.
Tw. (N.H. Abel) Je eli szereg pot gowy
f
∞
0
0
( x)
a n x n jest zbie ny w punkcie x = 0, to jego suma
jest w tym punkcie f ci gła: tzn. je eli szereg ma R = 1 i jest zbie ny w co najmniej jednym
∞
punkcie x0, to lim−
x→1
0
a n xn =
∞
0
an .
15 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Szeregi pot gowe
Def. Szereg funkcyjny
∞
n=0
a n ( x − x 0 ) n nazywamy szeregiem pot gowym. Liczby a0, a1, ... oraz
liczba x0 s tu dane, natomiast x jest zmienn .
Lemat. (o szeregu pot gowym). Je eli szereg
∞
n=0
a n x n jest zbie ny dla x = ρ ≠ 0, to jest
zbie ny (bezwzgl dnie) dla ka dego x spełniaj cego warunek |x| < |ρ|.
Def. Promieniem zbie no ci szeregu pot gowego nazywamy kres górny zbioru warto ci
bezwzgl dnych wszystkich liczb x (Z), dla których ten szereg jest zbie ny. R = sup Z.
Tw. (o zbie no ci szeregu pot gowego) Je eli promie zbie no ci szeregu pot gowego R ≠ 0,
to dla ka dego dodatniego r < R szereg ten jest zbie ny bezwzgl dnie i jednostajnie w
przedziale <-r; +r>.
wniosek 1. Szereg pot gowy jest zbie ny bezwzgl dnie i jednostajnie w ka dym przediale
domkni tym <a; b>, poło onym wewn trz przedziału zbie no ci.
wniosek 2. Szereg pot gowy jest zbie ny bezwzgl dnie w całym wn trzu (-R; +R) przedziału
zbie no ci.
wniosek 3. Suma szeregu pot gowego jest funkcj ci gł w całym wn trzu (-R; +R)
przedziału zbie no ci.
a
Tw. (o promieniu zbie no ci). Je eli istnieje granica lim n +1 = λ , to promie zbie no ci
n→∞ a
n
szeregu pot gowego R = 1 / λ.
Tw. (o całkowaniu sz. pot gowego) Je eli x nale y do wn trza przedziału zbie no ci szeregu
x
∞
∞
a n n +1
a n t n dt =
t
pot gowego, to
n=0 n + 1
0 n=0
Tw. (o ró niczkowaniu sz. pot gowego) Je eli x nale y do wn trza przedziału zbie no ci
∞
d ∞
szeregu pot gowego, to
anxn =
na n x n −1 .
dx n = 0
n=0
Szereg Taylora
Tw. (Taylora) Je eli funkcja f ma ci głe pochodne do rz du (n-1) wł cznie na przedziale
domkni tym o ko cach x0 i x oraz ma pochodn rz du n wewn trz tego przedziału, to istnieje
n −1 ( k )
f (x 0 )
f ( n ) ( c)
taki punkt c, le cy mi dzy x0 i x, e f ( x) − f ( x 0 ) =
(x − x0 ) k +
(x − x0 ) n .
k
!
n
!
k =1
Je eli funkcja ma w pewnym otoczeniu Q punktu x0 wsztstkie pochodne, to dla ka dego
n −1 ( k )
f (x0 )
f ( n ) ( c)
(x − x0 ) k +
( x − x 0 ) n , gdzie c jest
x ∈ Q-{x0} i ka dego n ∈ N f ( x) =
k!
n!
k =1
liczb z wn trza przedziału o ko cach x i x0.
Je eli istnieje otoczenie Q0, w którym lim R n ( x) = 0 (Rn(x) - n-ta reszta wzoru Taylora), to
n→∞
∞
(x0 )
( x − x 0 ) n , dla ka dego x ∈ Q0.
n
!
n =1
Lemat. (o reszcie wzoru Taylora) Je eli istnieje taka liczba M > 0, e dla ka dego
x ∈ Q0(x0; δ) i dla ka dego naturalnego na spełniona jest nierówno |f(n)(x)| ≤ M, to dla
ka dego x ∈ Q0 spełnione jest lim R n ( x) = 0 .
f ( x) =
f
( n)
n→∞
16 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Twierdzenia Banacha (przestrzenie metryczne)
Def. Zbiór X nazywamy przestrzeni metryczn , je eli ka dej parze (a, b) jego elementów jest
przyporz dkowana dokładnie jedna liczba nieujemna ρ(a, b) taka, e:
1. ρ(a, b) = 0 ⇔ a = b
2. ρ(a, b) = ρ(b, a)
3. ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b)
Funkcj ρ(a, b), okre lon na zbiorze wszystkich para punktów przestrzeni X, nazywamy
metryk tej przestrzeni. Warto funkcji ρ(a, b), czyli warto metryki, nazywamy odległo ci
punktu a od punktu b;
Lemat (Schwarza-Cauchy’ego) Dla ka dych dwóch układów (u1, u2, ..., un) i (v1, v2, ..., vn) n
2
n
liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówno
k =1
uk vk
≤
n
k =1
u 2k *
n
k =1
v 2k .
Nierówno t nazywamy nierówno ci Schwarza-Cauchy’ego.
Def. (zbie no w sensie metryki) Ci g (xn) punktów przestrzeni X nazywamy zbie nym w tej
przestrzeni, je eli istnieje taki punkt x ∈ X, e lim ρ( x n , x) = 0 . Piszemy wówczas
n→∞
lim x n = x .
n→∞
Def. Mówimy, e ci g (xn) punktów przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy’ego w
sensie metryki ρ(a, b) tej przestrzeni, je eli dla ka dej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba δ,
e dla ka dych dwóch liczba naturalnych r, s spełniaj cych warunek min(r,s)>δ, spełniona jest
nierówno ρ(xr, xs) < ε.
Lemat. Je eli ci g (xn) punktów przestrzeni metrycznej X jest zbie ny w tej przestrzeni, to
spełnia warunek Cauchy’ego w sensie jej metryki.
Def. Ci g podstawowy punktów przestrzeni metrycznej X jest to ci g spełniaj cy warunek
Cauchy’ego w sensie metryki tej przestrzeni.
Def. Przestrze zupełna jest to przestrze metryczna, w której jest zbie ny ka dy ci g
podstawowy jej punktów.
Tw. (Banacha o punkcie stałym) Je eli operacja A jest okre lona na punktach przestrzeni
metrycznej i zupełnej X, przy czym:
1. je eli x ∈ X, to A(x) ∈ X,
2. istnieje taka liczba dodatnia α < 1, e dla ka dego y ∈ X i dla ka dego z ∈ X spełniona jest
nierówno ρ[A(y), A(z)] ≤ α * ρ(y, z)
to w przestrzeni X istnieje dokładnie jeden punkt x* spełniaj cy równanie x = A(x); punkt x*
jest punktem granicznym ci gu kolejnych przybli e xn+1 = A (xn) , n = 0, 1, 2, ... , przy czym
x0 jest dowolnym punktem przestrzeni X.
17 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Rachunek ró niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zbiory w przestrzeni Rn
Przestrze Rn Zbiór wszystkich uporz dkowanych układów (x1, x2, ..., xn), n liczb
rzeczywistych (n ≥ 1), nazywamy przestrzeni n-wymiarow Rn. Układy (x1, x2, ..., xn)
nazywamy punktami przestrzeni Rn, liczby x1, x2, ..., xn - współrz dnymi prostok tnymi tych
punktów.
Odległo dAB punktów A(a1, a2, ..., an) i B(b1, b2, ..., bn) przestrzeni Rn jest okre lona
wzorem: d AB = (a 1 − b 1 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 +...+ (a n − b n ) 2
Otoczenie i s siedztwo punktu. Niech r oznacza dowoln liczb dodatni .
Def. Otoczenie Q(P0; r) punktu P0(a1, a2, ..., an) o promieniu r jest to zbiór wszystkich
punktów P(x1, x2, ..., xn), dla których: d P0 P < r
Def. S siedztwo S(P0; r) punktu P0(a1, a2, ..., an) o promieniu r jest to zbiór wszystkich
punktów P(x1, x2, ..., xn), dla których: 0 < d P0 P < r
Def. Zbiór Z ⊂ Rn nazywamy ograniczonym, je eli istnieje taka liczba r > 0, e Z ⊂ Q(0; r),
natomiast nieograniczonym, gdy liczba taka nie istnieje.
Def. Zbiór nazywamy sko czonym, je eli nale y do niego dokładnie n ∈ N punktów.
Def. Zbiór nazywamy niesko czonym, je eli nie jest ani pusty ani sko czony.
Zbiory otwarte i domkni te.
Def. Punkt P ∈ Z nazywamy punktem wewn trznym zbioru Z, je eli zbiór ten zawiera pewne
otoczenie punktu P.
Def. Zbiór, którego ka dy punkt jest punktem wewn trznym, nazywamy zbiorem otwartym.
Def. Łuk zwykły w przestrzeni Rn jest to zbiór wszystkich punktów P(x1, x2, ..., xn) o
współrz dnych x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn = xn(t), gdzie xi(t), i ∈ N, s to funkcje ci głe,
okre lone w przedziale <α; β>, przy czym ró nym warto ciom parametru t ∈ (α; β)
odpowiadaj ró ne punkty P.
Łuk zwykły nazywamy otwartym, je eli nie jest spełniona co najmniej jedna z równo ci xi(α)
= xi(β), i ∈ N, natomiast zamkni tym lub zwykł krzyw zamkni t , je eli ka da z tych
równo ci jest spełniona.
2
n
dx i
> 0 dla
Je eli funkcje xi(t) maj c ci głe pochodne w przedziale <α; β> oraz
dt
i =1
t ∈ <α; β> to łuk zwykły nazywamy gładkim (regularnym). Je eli natomiast przedział <α; β>
mo na podzieli na sko czon liczb podprzedziałów tak, eby w ka dym z nich oddzielnie
funkcje xi(t) miały ci głe pochodne (na ko cach - pochodne jednostronne) oraz spełniony był
powy szy warunek , to łuk zwykły nazywamy kawałkami gładkim.
Def. Obszar jest to taki zbiór otwarty, którego ka de dwa punkty mo na poł czy łukiem
zwykłym (np. łaman ) całkowicie w nim zwartym.
Def. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru Z, je eli w ka dym s siedztwie punktu P
znajduje si punkt tego zbioru.
Def. Zbiór domkni ty jest to zbiór, do którego nale wszystkie jego punkty skupienia. (F ⊂ X
domkni ty → dopełnienie jest zbiorem otwartym)
Def. Domkni cie A- zbioru A to przekrój wszystkich zbiorów domkni tych A ⊂ F: A- = ∩{ F |
A ⊂ F ∧ F - domk.}
1. A- jest najmniejszym zbiorem domkni tym zawartym w A.
2. A jest domkni ty ⇔ A = A3. x ⊂ A- ⇔ w dowolnym otoczeniu punktu x istniej punkty zbioru A: ∀ε>0 A ∩K(x0, ε)≠0.
18 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Def. Podzbiór A ⊂ X nazywamy g stym w X, je eli jego domkni cie jest identyczne z X,
czyli A- = X.
Def. Punkt P ∈ Z, który nie jest punktem skupienia zbioru nazywamy Z, nazywamy punktem
osobliwym tego zbioru.
Def. Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru Z, je eli w ka dym otoczeniu tego
punktu znajduje si zarówno punkt zbioru Z jak i punkt, który do tego zbioru nie nale y.
Def. Brzeg zbioru Z jest to zbiór wszystkich punktów brzegowych tego zbioru.
Zbiory jednospójne i wielospójne.
Def. Krzywa Jordana jest to zwykła krzywa zamkni ta w przestrzeni R2. Krzywa Jordana
dzieli płaszczyzn na dwa obszary. Jeden z obszarów jest ograniczony i nazywamy go
wn trzem krzywej Jordana. Drugi z tych obszarów jest nieograniczony.
Def. Obszar w przestrzeni R2 nazywamy jednospójnym, je eli nale y do niego wn trze ka dej
le cej w nim krzywej Jordana. Obszar który nie jest jednosójny, nazywamy obszarem
wielospójnym.
Je eli brzeg obszaru w przestrzeni R2 składa si z rozł cznych krzywych Jordana, łuków
zwykłych otwartych i punktów, to ich ł czn liczb n nazywamy rz dem spójno ci i obszar
nazywamy n-spójnym.
Funkcje wielu zmiennych
Def. Funkcja n zmiennych x1, x2, ..., xn, okre lona w zbiorze Z ⊂ Rn, jest to
przyporz dkowanie ka demu punktowi P(x1, x2, ..., xn) ∈ Z dokładnie jednej liczby z ∈ R.
Piszemy przy tym: z = f (x1, x2, ..., xn) dla (x1, x2, ..., xn) ∈ Z lub z = f (P), P ∈ Z.
Def. Funkcj f(P) nazywamy ograniczon w zbiorze Z, je eli istnieje tak liczba M, e dla
ka dego P ∈ Z spełniona jest nierówno | f(P) | ≤ M.
Granica i ci gło funkcji
Granica funkcji n zmiennych.
Def. Mówimy, e ci g punktów (Pk), k ∈ N, przestrzeni Rn jest zbie ny do punku P0 i piszemy
Pk → P0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim d Pk P0 = 0 ⇔ ∀1 ≤ m ≤ n, m ∈ N lim x (mk ) = x (m0)
k →∞
k →∞
Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f(P) w punkcie P0, je eli dla ka dego
ci gu punktów (Pk), Pk ∈ Z, Pk ≠ P0, zbie nego do P0, ci g (f(Pk)) jest zbie ny do g. Je eli
liczba g jest granic funkcji f(P) w punkcie P0, to piszemy: lim f ( P) = g .
P→ P0
Def. (Cauchy) lim f ( P) = g ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀P ∈ Z 0 < d PP0 < δ
P→ P0
f ( P) − g < ε
Ci gło funkcji n zmiennych.
Def. Funkcja f(P) jest ci gła w punkcie P0 ⇔ lim f ( P) = f ( P0 )
P→ P0
Def. Funkcj f(P) nazywamy ci gł w pewnym zbiorze, je eli jest ci gła w ka dym punkcie
tego zbiour.
Tw. (o loklanym zachowaniu znaku). Je eli funkcja f(P), okre lona w pewnym otoczeniu
punktu P0, jest w tym punkcje ci gła i f(Po) >(<) 0, to istnieje takie s siedztwo S punktu P0, e
dla ka dego punktu P ∈ S jest spełniona nierówno f(P) >(<) 0.
Tw. (o ograniczono ci funkcji)l Je eli funkcja f(P) jest ci gła w obszarze domkni tym i
okraniczonym D , to jest w tym obszarze ograniczona.
19 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Tw. (Weierstrassa, o osi ganiu kresów) Je eli funkcja f(P) jest ci gła w obszarze domkni tym
i ograniczonym D , to istnieje taki punkt P1 ∈ D , e : f(P1 ) = sup f(P) oraz istnieje taki punkt
P ∈D
P2 ∈ D , e f(P2 ) = inf f(P)
P ∈D
Tw. (Cantora, o ci gło ci jednostajnej) Je eli funkcja f(P) jest ci gła w obszarze domkni tym
i ograniczonym D , to dla ka dej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, e dla ka dych dwóch
punktów P1 ∈ D i P2 ∈ D , których odległo d P1P2 spełnia warunek: d P1P2 < δ to spełniona
jest nierówno |f(P1) - f(P2)| < ε.
Wła ciwo ci funkcji ci głej w obszarze domkni tym i ograniczonym D , o której mówi
powy sze twierdzenie, nazywamy jednostajn ci gło ci .
Pochodne cz stkowe
Def. Granic wła ciw
f ( P) − f ( P0 )
nazywamy pochodn cz stkow rz du pierwszego
∆x i → 0
∆x i
lim
funkcji f(P) wzgl dem zmiennej xi w punkcje P0 i oznaczamy symbolem
∂f
∂x
.
P0
Tw. (Schwarza) Je eli funkcja f(x1, x2, ..., xn) ma w pewnym obszarze Ω ⊂ Rn ci głe
∂2 f
∂2 f
pochodne cz stkowe mieszane rz du drugiego
oraz
to w ka dym punkcie
∂x i ∂x j
∂x j ∂x i
tego obszaru
∂2 f
∂2 f
=
∂x i ∂x j ∂x j ∂x i
20 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Funkcje zmiennej zespolonej
Płaszczyzna zespolona otwarta i domkni ta.
Def. Płaszczyzna zespolona domkni ta (płaszczyzna Gaussa) jest to zbiór utworzony ze
wszystkich punktów płaszyczyzny zespolonej otwartej oraz z punktu ∞.
Ci gi i szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych
Def. (granica wła ciwa) lim z n = g ⇔ ∀ε > 0 ∃δ ∀n > δ z n − g < ε ; g = a + ib ;
z n − g = ( x n − a ) 2 + ( y n − b) 2 ; (lim zn = g) ⇔ (lim xn = a) ∧ (lim yn = b)
Def. (granica niewła ciwa) (lim z n = ∞) ⇔ ∀M ∃δ ∀n > δ
Def. {zn} jest ograniczony ⇔ ∃M ∀n |zn| ≤ M
Def. Ci g
zn > M
∞
k =1
∞
symbolem
k =1
zk
nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach zespolonych i oznaczamy
zk =
∞
k =1
xk + i
∞
k =1
y k (i jest zbie ny wtwg oba szeregi składowe s zbie ne).
Def. Szereg zbie ny nazywamy bezwzgl dnie zbie nym, je eli zbie ny jest szereg
Tw. Je eli zbie ny jest szereg
∞
k =1
∞
k =1
zk .
∞
z k to równie jest zbie ny szereg
k =1
zk
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
z = z(t) dla t ∈ T lub z = x(t) + iy(t).
∆z ∆x
∆y
pochodna: z'(t ) =
=
+i
= x'(t ) + iy( t )
∆t ∆t
∆t
β
β
β
z( t )dt = x( t )dt + i y( t )dt
całka oznaczona
α
α
α
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Def. Funkcja zespolona f(z) zmiennej zespolonej z okre lona w dziedzinie Ω jest to
przyporz dkowanie ka dej liczbie z ∈ Ω dokładnie jednej liczby zespolonej w. Piszemy przy
tym: w = f(z) dla z ∈ Ω.
z = x + iy; w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
granica funkcji zmiennej zespolonej.
(
Def. (Cauchy) lim f ( z) = g ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ Ω 0 < z − z 0 < δ
z→ z 0
) ( f ( z) − g < ε )
lim f ( z) = g ⇔ lim u( x, y) = a ∧ lim v( x, y) = b
z→ z 0
x→ x 0
y→ y 0
x→ x 0
y→ y 0
Def. (Heinego). Liczb g nazywamy granic funkcji f(z) w punkcie z0, je eli dla ka dego
ci gu {zn} zbie nego do z0, o wyrazach zn ≠ z0 i nale cych do dziedziny Ω funkcji f(z), ci g
{f(zn)} jest zbie ny do g..
Def. f(z) jest ci gła w punkcie z0 ⇔ lim f ( z) = f ( z 0 )
z→ z 0
21 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
(
Def. (gr. niewła ciwa) lim f ( z) = ∞ ⇔ ∀M ∃δ > 0 ∀z ∈ Ω 0 < z − z 0 < δ
z→ z 0
Def. lim f ( z) = lim f
z→ z 0
z→ 0
) ( f ( z) > M )
1
z
Pochodna funkcji zmiennej zespolonej
Def. Granic wła ciw ilorazu ró nicowego gdy ∆z → 0 nazywamy pochodn funkcji f(z) w
f ( z 0 + ∆z) − f ( z 0 )
.
punkcie z0 i oznaczamy symbolem f’(z). f '(z 0 ) = lim
∆z→ 0
∆z
∂u
∂v ∂v
∂u
f '(z 0 ) =
+i
=
−i
∂x
∂x ∂y
∂y
Tw. Je eli funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma w punkcie z0 pochodn f’(z0), to pochodne
∂u ∂u ∂u ∂u
, , ,
cz stkowe
istniej i spełniaj warunki Cauchy’ego-Riemanna
∂x ∂y ∂x ∂y
∂u ∂u
∂u
∂u
=
=−
oraz
∂x ∂y
∂y
∂x
Tw. (warunek wystarczaj cy istnienia pochodnej f’(z0)) Je eli funkcje u(x, y) i v(x, y) s
ró niczkowalne w punkcie (x0; y0), a ponadto pochodne cz stkowe spełniaj w tym pukcie
warunki Cauchy’ego-riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodn f’(z0).
Funkcja holomorficzna
Def. Funkcj f(z) nazywamy holomorficzn w punkcie z0, je eli ma pochodn f’(z) w pewnym
otoczeniu tego punktu.
Def. Dwie funkcje harmoniczne u(z, y) i v(x, y) nazywamy sprz onymi ze sob , je eli
spełniaj układ równa Cauchy’ego-Riemanna.
Ci gi i szeregi funkcji zespolonych
Def. Ci g funkcyjny {fn(z)} okre lony w zbiorze Ω jest to przyporz dkowanie ka dej liczbie
naturalnej n dokładnie jednej funkcji fn(z) okre lonej w tym zbiorze.
Def. (zbie no ) f n ( z) → f ( z) ⇔ ∀ε > 0 ∀z ∈ Ω ∃δ ∀n > δ f n ( z) − f ( z) < ε , gdzie f(z)
Ω
nazywamy funkcj graniczn .
Def. (zbie no
→
jednostajna) f n ( z) → f ( z) ⇔ ∀ε > 0 ∃δ ∀z ∈ Ω ∀n > δ f n ( z) − f ( z) < ε
Ω
→
Tw. (o ci gło ci funkcji granicznej). Je eli f n ( z) → f ( z) oraz ∀n fn(z) ∈ Co(Ω
Ω), to
Ω
f(z) ∈ Co(Ω
Ω)
n
Def. Ci g
k =1
n
f k ( z) nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem
k =1
f k ( z) .
Def. Szereg zbie ny w zbiorze Ω nazywamy bezwzgl dnie zbie nym w tym zborze, je eli dla
ka dego z ∈ Ω zbie ny jest szereg
∞
k =1
f k ( z)
22 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Kryterium Weierstrassa. Je eli dla ka dego n ∈ N i dla ka dego z ∈ Ω jest spełniona
nierówno
|fn(z)| ≤ an, przy czym szereg liczbowy
∞
n=1
∞
a n jest zbie ny, to szereg
k =1
f k ( z) jest
zbie ny w zbiorze Ω jednostajnie i bezwzgl dnie.
szereg pot gowy.
Def. Szereg funkcyjny
∞
n=0
a n ( z − z 0 ) n nazywamy szeregiem pot gowym. Liczby zespolone a0,
a1, ... oraz liczba z0 s tu dane, natomiast z jest zmienna.
Def. Promie zbie no ci R szeregu jest to kres górny zbioru X. R = sup |z - z0| z ∈ Ω
a n +!
lim
=λ R=1/λ.
an
Tw. (o holomorficzno ci sumy szeregu pot gowego). Suma S(z) szeregu pot gowego
∞
n=0
a n ( z − z 0 ) n jest funkcj holomorficzn wewn trz koła zbie no ci (na całej płaszczy nie,
∞
d ∞
a n (z − z 0 ) n =
na n ( z − z 0 ) n −1 , a ponadto szereg pochodny ma
dz n = 0
n =0
taki sam promie zbie no ci jak szereg dany (czyli szereg pot gowy mo na ró niczkowa
wyraz po wyrazie wewn trz koła zbie no ci).
Tw. (o zbie no ci niemal jednostajnej) Szereg pot gowy jest jednostajnie zbie ny w ka dym
zbiorze domkni tym i ograniczonym, zawartym wewn trz koła zbie no ci.
Def. Funkcja całkowita jest to suma szeregu pot gowego zbie nego na całej płaszczy nie
otwartej.
gdy R = ∞), przy czym
Funkcje wieloznaczne
Def. Funkcj f(z) zmiennej zespolonej nazywamy okresow , je eli istnieje taka liczba
zespolona p ≠ 0, e dla ka dej liczby z z dziedziny funkcji f liczba z + p tak e nale y do tej
dziedziny oraz f(z + p) = f(z). Liczb p nazywamy okresem funkcji f.
Całka funkcji zmiennej zespolonej
Def. Je eli dla ka dego normalnego ci gu przedziałów przedziału <α, β> ci g sum całkowych
n
k =1
f (ζ k ) ∆z k jest zbie ny do tej samej granicy sko czonej, niezale nie od wyborów punktów
ζk, to t granic nazywamy całk funkcji f(z) wzdłu łuku AB i oznaczamy symbolem
def
f ( z)dz = lim
AB
δ n →0
n
k =1
f (ζ k ) ∆z k (δn oznacza rednic podziału przedziału <α, β> na n cz ci)
Tw. (o zamianie całki na całk oznaczon ). Je eli funkcja f(z) jest ci gła na zwykłym luku
gładkim AB: z = z(t), t ∈ <α, β>, skierowanym zgodnie ze wzrostem parametru, to
β
f ( z)dz = f [ z( t )]z'(t )dt
AB
α
Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego
Tw. (podstawowe Cauchy’ego) Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze
jednospójnym, D, C za jest kawałkami gładk krzyw Jordana le c w tym obszarze, to
f ( z)dz = 0
C
23 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
wniosek 1. Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, to całka po
kawałkami gładkim łuku ⊂ D nie zale y od kształtu tego łuku, a jedynie od jego pocz tku A i
ko ca B.
Tw. Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D i z0 ∈ D, to funkcja
z
φ(z) okre lona w tym obszarze wzorem φ( z) = f (ζ)dζ ma pochodn φ’(z) = f(z)
z0
Def. Funkcj F(z) nazywamy funkcj pierwotn funkcji f(z) w obszarze D, je eli dla ka dego
z ∈ D jest spełniony warunek F’(z) = f(z)
Tw. Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, F(z) za jest
jak kolwiek jej funkcj pierwotn w tym obszarze, oraz z1 ∈ D i z2 ∈ D, to
z2
f ( z)dz = F( z 2 ) − F( z 1 )
z1
f ( z)dz =
wniosek 2. Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D - D 1 , to
C1
f ( z)dz
C2
( D 1 ⊂ D, ob. jednospójne; C1 i C2 kawałkami gładkie krzywe Jordana, C2 ⊂ D, C1 wewn trz
C2 i D 1 le y wewn trz C1)
wniosek 3. Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D z wyj tkiem
f ( z)dz =
punktów z1, z2, ..., zn, to
C
n
f ( z)dz (gdzie D - ob. jednospójny; C - kawałkami
k =1 K k
gładka krzywa Jordana poło ona w obszarze D i zawiera punkty zk (k ∈ N), Kk - okr gi o
rodkach zk i wspólnym promieniu ρ tak małym, aby adne okr gi si nie stykały)
Wzór całkowy Cauchy’ego
Tw. (o wzorze całkowym Caychy’ego) Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze
jednospójnym D, za C ⊂ D jest kawałkami gładk krzyw Jordana, która zawiera punkt z0 w
1 f ( z)dz
.
swym wn trzu Dc, to f ( z 0 ) =
2 πi C z − z 0
Tw. (pochodne wy szych rz dów) Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D, to ma
w tym obszarze pochodn ka dego rz du, przy czym dla ka dego naturalnego n i dla ka dego
n!
f ( z)dz
, gdzie K oznacza dowolny okr g o rodku z0 le cy ze
z0 ∈ D f ( n ) ( z 0 ) =
2 πi K ( z − z 0 ) n +1
swym wn trzem w obszarze D.
Szereg Taylora
Tw. (o rozwini ciu funkcji holomorficznej w szereg pot gowy) Je eli funkcja f(z) jest
holomorficzna w obszarze D, to mo na j rozwin wokół ka dego punktu z0 ∈ D w szereg
∞
f ( n) ( z 0 )
pot gowy f ( z) = a n ( z − z 0 ) n o współczynnikach a n =
przy czym promie
n!
n=0
zbie no ci R tego szeregu jest nie mniejszy ni d = inf z − z 0 , gdzie Γ oznacza brzeg obszaru
z ∈Γ
D.
Def. Pełn funkcj analityczn nazywamy funkcj holomorficzn wraz ze wszystkimi jej
przedłu eniami analitycznymi.
Lemat (o punktach zerowych funkcji holomorficznej) Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w
obszarze D, to jest w tym obszarze to samo ciowo równa zeru albo ka dy jej punkt zerowy
24 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
z0 ∈ D jest odosobniony (tzn. w pewnym jego s siedztwie nie ma ju innych punktów
zerowych funkcji f(z)).
wniosek Funkcja holomorficzna w obszarze D i maj ca w nim punkt zerowy, który nie jest
odosobniony jest w tym obszarze to samo ciowo równa zeru.
Tw. (o identyfikacji funkcji holomoficznych) Je eli funkcje f(z) i g(z) s holomorficzne w
obszarze D i przyjmuj jednakowe warto ci w niesko czonym ci gu {zn} punktów zn ∈ D, to
funkcje te s równe w obszarze D.
Tw. (zasada maksimum modułu) Moduł funkcji holomorficznej i ró nej od stałej w obszarze
D nie osi ga maksimum w adnym punkcie tego obszaru.
wniosek Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze ograniczonym D i ci gła w
obszarze domkni tym D = D ∪ C, to moduł |f(z)| przyjmuje warto najwi ksz , a
mianowicie sup f ( z) na brzegu C tego obszaru.
D
Tw. (Liouville’a) Funkcja całkowita i ograniczona jest stała.
Szereg Laurenta
Tw. (Laurenta) Je eli funkcja f(z) jest holomorficzna w pier cieniu D: r < |z - z0| < R, r ≥ 0,
R ≤ ∞, to mo na j rozwin
w tym pier cieniu w szereg Laurenta f ( z) =
+∞
a n (z − z0 ) n
n =−∞
przy czym a n =
1
f ( z)dz
n +1 ; n ∈ Z , gdzie K ⊂ D jest dowolnym okr giem o rodku z 0.
2 πi K ( z − z 0 )
Punkty osobliwe odosobnione
Def. Je eli funkcja f(z) nie jest holomorficzna w punkcie z0, jest natomiast holomorficzna w
pewnym jego s siedztwie, to z0 nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji f(z).
Niech f(z) oznacza funkcj holomorficzn w s siedztwie S(z0; r) punktu z0. Korzystaj c z
rozwini cia w szereg Laurenta mamy wówczas dla ka dego z ∈ S(z0; r) nast puj c równo
∞
∞
a −n
f ( z) = a n ( z − z 0 ) n +
n .
n=0
n=0 ( z − z 0 )
Pierwszy szereg nazywa si cz ci regularn , natomiast drugi - cz ci osobliw (lub
główn )
rodzaje punktów osobliwych
1. pozornie osobliwy - cz
osobliwa rozwini cia jest równa zero. Istnieje wówczas granica
sko czona f(z) gdy z → z0 i równa si a0.
2. k-krotny punkt biegunowy - cz
osobliwa rozwini cia zawiera sko czon liczb
wyrazów. Istnieje taka liczba k>0, e a-k ≠ 0 i dla n > k wsp. a-n = 0.
3. punkt istotnie osobliwy - cz
osobliwa rozwini cia zawiera niesko czenie wiele
wyrazów.
Tw. (Sochockiego) Je eli z0 jest punktem istotnie osobliwym funkcji f(z), to dla ka dej liczby
zespolonej A istnieje taki ci g {zn} zbie ny do z0, e lim f(zn) = A.
Residuum funkcji
Def. Liczb res f ( z 0 ) =
1
f ( z)dz nazywamy residuum funkcji f(z) w punkcie z0.
2 πi K ( z0 ;r )
res f(z0) = a-1
warto ci residuum w punktach osobliwych.
1. pozornie osobliwy: res f(z0) = 0
25 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
2. k-krotny punkt biegunowy: res f ( z 0 ) =
1
( k −1)
lim ( f ( z)( z − z 0 ) k )
( k − 1)! z→ z0
3. istotnie osobliwy: res f(z0) = a-1
Tw. (Cauchy; całkowe o residuach) Je eli f(z) jest funkcj holomorficzn w obszarze
jednospójnym D z wyj tkiem co najwy ej punktów zk ∈ D, k ∈ N, C za jest kawałkami
gładk krzyw Jordana le c w tym obszarze, dodatnio skierowan i zawieraj c punkty z1,
f ( z)dz = 2 πi
z2, ..., zn w swym wn trzy, to
C
n
k =1
res f ( z k )
26 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Przekształcenia całkowe
Wzór całkowy Fouriera
Tw. (tw. Fouriera) Je eli funkcja f(t) spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w ka dym
+∞
f ( t ) dt jest zbie na, to dla
przedziale sko czonym (a, b), a ponadto całka niewła ciwa
−∞
∞
ka dego t prawdziwa jest równo
f (t) =
+∞
1
dω f ( τ) cos ω ( t − τ)dτ ,
π 0 −∞
+∞
1
f ( τ) cos ωτdτ
∞
π −∞
f ( t ) = [a (ω ) cos ωt + b(ω ) sin ωt ]dω , gdzie
+∞
1
0
b( ω ) =
f ( τ) sin ωτdτ
π −∞
a (ω ) =
Przekształcenie Laplace’a
Def. Oryginał jest to funkcja f(t) o nast puj cych własno ciach
1. ∀t>0 f(t) = 0
2. w ka dym otwartym przedziale sko czonym spełniony jest pierwszy i drugi warunek
Dirichleta
3. ∃M>0 ∃ρ≥0 ∀t |f(t)\ ≤ Meρt
Wzór Laplace’a-Mellina. Je eli f(t) jest oryginałem, to iloczyn f(t)e-xt, gdzie x > ρ, jest
bezwzgl dnie całkowalny w przedziale (-∞, ∞), przy czym
+∞
∞
∞
M
f ( t )e − xt dt = f ( t ) e − xt dt ≤ M e − ( x − ρ) t dt =
x−ρ
−∞
0
0
x + i∞
dla ka dego t: f ( t ) =
+∞
1
e st ds f ( τ)e − sτ dτ
2 πi x − i∞
0
Przekształcenie Laplace’a
Tw. (o bezwzgl dnej zbie no ci całki Laplace’a) Je eli całka Laplace’a jest bezwzgl dnie
zbie na w punkcje s0 oraz Re s > Re s0, to jest tona tak e bezwzgl dnie zbie na w punkcie s.
Tw. (o zbie no ci całki Laplace’a) Je eli całka Laplace’a jest zbie na w punkcie s0, oraz Re s
> Re s0, to jest tak e zbie na w punkcie s.
Liniowo przekształce L i L-1. L[A1f1(t) + A2f2(t)] = A1L[f1(t)] + A2L[f2(t)], oraz
L-1 [A 1 f1 (t) + A 2 f 2 (t)] = A 1 L-1 [f1 (t)] + A 2 L-1 [f 2 (t)]
∞
Tw. (o holomorficzno ci L-transformaty) Transformata f (s) = f ( t )e − st dt oryginału f(t) jest
0
∞
df (s)
= − tf ( t )e − st dt .
funkcj holomorficzn w półpłaszczy nie Re s > xz, przy czym
ds
0
Rachunek operatorowy
Tw. (o L-transformacie pochodnej) Je eli f(t) jest oryginałem i ma w przedziale (0, +∞) ci gł
pochodn f’(t), to istnieje L-transformata tej pochodnej, przy czym L[ f '(t )] = sf (s) − f (0+ ) .
27 / Bł d! Nieznany argument przeł cznika.
Tw. (o L-transformacie pochodnej rz du n) Je eli funkcja f(t) oraz jej pochodne do rz du (n1) wł cznie s oryginałami, a ponadto istnieje w przedziale (0, +∞) ci gła pochodna f(n)(t), to
n
istnieje L-transformata tej pochodnej, przy czym L[ f ( n ) ( t )] = s n f ( s) −
s n − k f ( k −1) ( 0+ ) .
k =1
t
f ( τ ) dτ =
Tw. (o L-transformacie całki) Je eli f(t) jest oryginałem, to L
0
f ( s)
.
s
Własno ci przekształcenia Laplace’a
Tw. (o podobie stwie) Je eli f(t) jest oryginałem oraz a > 0, to L[ f ( at )] =
1 s
f
.
a a
1 t
f
,c>0
c c
Tw. (o przesuni ciu w argumencie oryginału) Je eli f(t) jest oryginałem oraz t0 ≥ 0, to
L f ( t − t 0 )1( t − t 0 ) = e − t 0s ⋅ f (s) .
Z tego wynika L−1 [ f ( ct )] =
[
]
Tw. (o przesuni ciu w argumencie obrazu). Je eli f(t) jest oryginałem oraz α jest liczb
zesplon , to L[ e − αt f ( t )] = f (s + α )
Tw. (tw. Borela) Je eli f1(t) i f2(t) s oryginałami to istnieje L-transformata ich splotu, przy
czym L f1 ( t )∗ f 2 ( t ) = L f1 ( t ) L f 2 ( t ) .
Def. s ∈ ∆(s0; α) ⇔ -α < arg(s-s0) < α
Tw. (o granicy obrazu w niesko czono ci) Je eli f(t) jest oryginałem, to dla ka dego sektora
∆(s0; α) takiego, e Re s0 > ρ, jest spełniony warunek lim f ( s) = 0 .
[
] [
][
]
s→∞
s∈∆ ( s0 ;α )
Tw. (o granicy oryginału w niesko czono ci). Je eli f(t) jest oryginałem, którego całka
Laplace’a istnieje dla Re s > 0, oraz je eli istnieje granica lim f ( t ) = k , to dla ka dego sektora
t →∞
∆(0; α) istnieje tak e granica lim sf (s) = k .
s→ 0
s∈∆ ( 0;α )
Tw. (o granicy oryginału w zerze) Je eli f(t) jest oryginałem, oraz lim f ( t ) = k , to dla
t → 0+
ka dego sektora ∆(s0; α) takiego, e Re s0 > xz istnieje granica
lim sf ( s) = k
s→∞
s∈∆ ( s0 ;α )