Probabilistyka 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobienstwa

1
Probabilistyka 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
1. Definicje i twierdzenia
B˛edziemy teraz zakładać, że przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem
skończonym. Przypominam, że zdarzeniami sa˛ podzbiory A ⊂ Ω tej przestrzeni.
Rodzine˛ wszystkich podzbiorów przestrzeni Ω (czyli wszystkich zdarzeń) oznaczać
bedziemy
˛
symbolem 2Ω .
DEFINICJA 1. Przy powyższym założeniu, prawdopodobieństwem okre´slonym
w przestrzeni Ω nazywamy każda˛ funkcje˛ P : 2Ω → R przyporzadkowuj
˛
ac
˛ a˛ dowolnemu
zdarzeniu A ⊂ Ω liczbe˛ P (A) , spełniajac
˛ a˛ nastepuj
˛ ace
˛ warunki:
(P1) 0 ≤ P (A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω.
(P2) P (Ω) = 1 i P (∅) = 0.
(P3) Dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω takich, że A ∩ B = ∅ zachodzi równo´s´c:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) .
Warunki (P1) - (P3) nazywamy aksjomatami prawdopodobieństwa.
Jeżeli A ⊂ Ω, to liczbe˛ P (A) nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia
A lub, krótko, prawdopodobieństwem tego zdarzenia.
TWIERDZENIE 1.
Dana jest przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω i prawdopodobieństwo P okre´slone
w tej przestrzeni. Dla wszystkich zdarzeń A, B ⊂ Ω prawda˛ jest, że:
(a) Jeżeli A ⊂ B, to P (A) ≤ P (B) .
(b) P (A′ ) = 1 − P (A) .
(c) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) .
TWIERDZENIE 2.
Dana jest przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω i prawdopodobieństwo P okre´slone
w tej przestrzeni. Dla wszystkich zdarzeń A1 , A2 , ..., An ⊂ Ω parami sie˛ wykluczaja˛
cych (tj. takich, że Aj ∩ Ak = ∅ dla wszystkich j, k ∈ {1, ..., n} takich, że j = k)
zachodzi równo´sć:
P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + ... + P (An ) .
2
TWIERDZENIE 3.
Dana jest przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω i prawdopodobieństwo P okre´slone
w tej przestrzeni. Dla wszystkich zdarzeń A, B, C ⊂ Ω zachodzi równo´s´c:
P (A ∪ B ∪ C) =
= P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) .
2. Uwagi
Uwaga 1. Aksjomaty prawdopodobieństwa (chodzi o warunki (P1) - (P3)) można
sformułować w nieco ”oszcz˛edniejszej” wersji, rezygnujac
˛ w warunku (P1) z postulatu,
że P (A) ≤ 1, zaś w warunku (P2) z postulatu, że P (∅) = 0, ponieważ te fakty
sa˛ wnioskami z pozostałych aksjomatów - można je udowodnić. Uznałem, że nie
warto sie˛ w to bawić (chociaż dowody nie byłyby długie); lepiej dołaczyć
˛
te fakty do
aksjomatów, łatwiej wtedy zapamietać
˛
to, co najważniejsze. (Czyli wszystko).
Uwaga 2. Probabiliści rozważaja˛ (i stosuja)
˛ znacznie ogólniejsza˛ definicje˛ prawdopodobieństwa, nie wymagajac
˛ a˛ zakładania, że przestrzeń zdarzeń elementarnych
jest zbiorem skończonym (takie założenie bardzo ogranicza zakres stosowalności teorii).
W tym ogólniejszym sensie, prawdopodobieństwo jest funkcja˛ określona˛ na pewnej
rodzinie M ⊂ 2Ω podzbiorów przestrzeni Ω, która to rodzina nie musi być, ogólnie
mówiac,
˛ rodzina˛ wszystkich podzbiorów tej przestrzeni, czyli nie zawsze zachodzić
musi równość: M = 2Ω . (Jeżeli ta równość nie zachodzi, to wtedy nie każdy podzbiór
przestrzeni Ω jest zdarzeniem; za zdarzenia uznajemy te tylko podzbiory A zbioru
Ω, które należa˛ do rodziny M, czyli takie, że A ∈ M). Zakłada sie˛ przy tym,
że rozważana rodzina M spełnia nastepuj
˛ ace
˛ warunki: dla każdego zbioru A ⊂ Ω
należacego
˛
do rodziny M jego dopełnienie A′ także należy do tej rodziny, i dla
każdego nieskończonego ciagu
˛ (An )n∈N zbiorów z rodziny M ich suma mnogościowa
∞
An również jest elementem tej rodziny. Aksjomat (P3) przyjmuje teraz nastepu˛
n=1
˛
(tj.
jac
˛ a˛ postać: Dla każdego ciagu
˛ (An )n∈N zbiorów z rodziny M parami rozłacznych
takich, że Aj ∩ Ak = ∅ dla wszystkich j, k ∈ N takich, że j = k), zachodzi równo´s´c:
∞
∞
P
An =
P (An ) .
n=1
n=1
(Przy tym po prawej stronie równości symbol oznacza sum˛e nieskończonego ciagu
˛
zbiorów, zaś po prawej stronie tego wzoru zwykła suma została zastapiona
˛
przez
nieskończony, zbieżny szereg liczbowy).
3
Tym wszystkim nie musicie sie˛ w ogóle przejmować, ponieważ nigdy nie bedziecie
˛
mieli do czynienia z tego typu sytuacjami, w których zachodziła by potrzeba stosowania tak ogólnej definicji prawdopodobieństwa. Pisze˛ o tym dlatego, że wspominałem
o tym na lekcji, ale w bardzo skrótowej formie; teraz już wiecie, o co chodzi. Przyda
sie˛ ”dla własnej wiedzy”.