7 Przestrzenie metryczne zwarte.

7
Przestrzenie metryczne zwarte.
7.1
Definicje i podstawowe własności
Definicja 1 (przestrzeni zwartej i zbioru zwartego) Przestrzeń metryczną (X, ρ) nazywamy zwartą,
jeśli każdy ciąg elementów tej przestrzeni posiada podciąg zbieżny. Zbiór A ⊂ X nazywamy zwartym, jeśli
zbiór ten traktowany jako przestrzeń metryczna (A, ρ) stanowi przestrzeń zwartą.
Definicja 2 (Borela-Lebesguea przestrzeni zwartej) Przestrzeń metryczną (X, ρ) nazywamy zwartą,
jeśli każde otwarte pokrycie przestrzeni
X zawiera podpokrycie skończone, tj. jeśli Gt , t ∈ T , jest rodziną
S
zbiorów otwartych taką, że X =
Gt , to istnieje taki skończony układ wskaźników t1 , t2 , t3 , . . . , tn ∈ T ,
t∈T
że X = Gt1 ∪ Gt2 ∪ . . . ∪ Gtn .
Twierdzenie 1 Każda przestrzeń zwarta jest przestrzenią zupełną.
Twierdzenie 2 (Cantora) W przestrzeni metrycznej zwartej zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Twierdzenie 3 Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ograniczona.
Twierdzenie 4 Podzbiór M przestrzeni euklidesowej Rk jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór M jest
domknięty i ograniczony.
Twierdzenie 5 Każda funkcja ciągła przekształcająca przestrzeń metryczną zwartą w przestrzeń metryczną
jest jednostajnie ciągła.
Twierdzenie 6 Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą.
Twierdzenie 7 (Weierstrassa) Każda funkcja ciągła f : X → R określona na przestrzeni zwartej (X, ρ)
jest ograniczona i osiąga swoje kresy, tj. istnieją punkty x1 , x2 takie, że f (x1 ) = inf {f (x) : x ∈ X} i f (x2 ) =
sup {f (x) : x ∈ X}.
7.2
Zadania
Zadanie 1 Czy następujące podzbiory A, odpowiednio przestrzeni metrycznych euklidesowych R i R2 , są
zwarte, jeśli:
(a) A = [0, 1] ∪ (3, 4),
(g) A = Q,
(b) A = [−1, 2] ∪ {4, 7},
(c) A = n1 : n ∈ N ,
(h) A = [0, 1] × 0, 1,
(i) A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 1} \ {(1, 0), (−1, 0) ,
(j) A = (x, y) ∈ R2 : |x| ¬ 3 ∧ |y| ¬ 5 ,
(k) A = (x, sin x) ∈ R2 : x ∈ [−π, π] ,
(l) A = (x, x1 ) : x > 0 .
(d) A = N,
(e) A = (1, +∞),
(f) A = {sin x : x ∈ (0, π)},
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2 Niech X będzie dowolnym zbiorem skończonym. Wykaż, że przestrzeń metryczna (X, ρ) jest
zwarta.
Zadanie 3 Która z przestrzeni metrycznych (R, ρ01 ), (N, ρ01 ) i ({1, 2, 3, . . . , 100}, ρ01 ) jest zwarta?
Zadanie 4 Wykaż, że jeśli przestrzeń metryczna (X, ρ)
ρ(x,y)
(X, ρ∗ ), gdzie ρ∗ (x, y) = 1+ρ(x,y)
, x, y ∈ X, jest zwarta.
jest zwarta, to również przestrzeń metryczna
Zadanie 5 Wykaż, że jeśli przestrzeń metryczna (X, ρ)
(X, ρ∗ ), gdzie ρ∗ (x, y) = 8 · ρ(x, y), x, y ∈ X, jest zwarta.
jest zwarta, to również przestrzeń metryczna
1
Zadanie 6 (*) Wykaż, że jeśli przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zwarta oraz A, B ⊂ X są dowolnymi
niepustymi, domkniętymi i rozłącznymi zbiorami, to dist(A, B) > 0.
Zadanie 7 (*) Wykaż, że przestrzeń metryczna ((0, 1), | · | nie jest zwarta. Wykaż to na dwa sposoby:
po pierwsze wskazując ciąg punktów zbioru (0, 1) z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego (definicja
1), a po drugie wskazując pokrycie otwarte przestrzeni ((0, 1), | · | z którego nie da się wybrać żadnego
podpokrycia skończonego (definicja 2).
1
− n1 |, m, n ∈ N, jest zwarta?
Zadanie 8 Czy przestrzeń N z metryką określona wzorem ρ(m, n) = | m
Zadanie 9 (*) Wykaż, że jeśli w przestrzeni (X, ρ) istnieją ciąg {xn } i liczba dodatnia α takie, że ρ(xm , xn ) >
α dla m 6= n, to przestrzeń ta nie jest zwarta.
Zadanie 10 (*) Wykaż, że jeśli (X, ρ1 ) jest przestrzenią metryczną zwartą i (Y, ρ2 ) jest dowolną przestrzenią
metryczną, f : X → Y jest funkcją ciągłą oraz F jest zbiorem domkniętym w X, to f (F ) jest zbiorem
domkniętym w Y .
2