dr inż. Sławomir Bielecki

Zakres wykładu
Fale mechaniczne
Fale elektromagnetyczne
Równanie falowe
Fale stojące
Przenoszenie energii przez fale
Efekt Dopplera
Figury Lissajous
Rozprzestrzenianie się fal elektromagnetycznych
Prowadzący:
dr inż. Sławomir Bielecki
adiunkt
Zakład Racjonalnego Użytkowania Energii
ITC PW
Literatura
pok. 405A TC
[email protected]
http://itc.pw.edu.pl/Pracownicy/Naukowo-dydaktyczni/Bielecki-Slawomir
I.W.Sawieliew:
I.W.Sawieliew: Wykłady z fizyki, tom 2. PWN 1998 (rozdz.:XIV, XV)
D.Halliday, R.Resnick:
R.Resnick: Fizyka 2. PWN 1998 (rozdz. 19,20, 41, 42.5)
L.D.Landau, J.M.Lifszyc:
J.M.Lifszyc: Teoria pola. PWN 2009 (rozdz. VI)
2
Fala poprzeczna
Fale mechaniczne
Zaburzenie – wytrącenie pewnego obszaru ośrodka ze
stanu równowagi
Ruch falowy – rozchodzenie się zaburzeń równowagi
ośrodka sprężystego (o zdolności powrotu do stanu
pierwotnego – przed odkształceniem po usunięciu
oddziaływania).
Impuls falowy – rozchodzące się w ośrodku pojedyncze
odkształcenie
Fala podłużna
Fale (procesy rozchodzenia się drgań w przestrzeni):
przestrzeni):
Poprzeczne – cząsteczki ośrodka drgają prostopadle do kierunku rozchodzenia
się fal
Podłużne - cząsteczki ośrodka drgają wzdłuż kierunku rozchodzenia się fal
(rozprzestrzenianie się zagęszczeń i rozrzedzeń ośrodka).
Liniowe – rozchodzą się wzdłuż jednego kierunku
Powierzchniowe – rozchodzą się po powierzchni
Przestrzenne - rozchodzą się po przestrzeni
Długość
Amplituda
Okres, częstotliwość
Prędkość rozchodzenia
Faza początkowa
3
4
Równanie fali
Fala harmoniczna – fala, w której drgania są sinusoidalnie zmienne.
Każdą falę można otrzymać ze złożenia odpowiedniej
ilości fal harmonicznych (superpozycja)
Wychylenie w punkcie x=0 w chwili początkowej:
To samo wychylenie yo można zaobserwować w innym punkcie x w chwili:
Wychylenie y(x,t) w punkcie x z chwili t można zaobserwować w punkcie
początkowym x=0 w chwili:
Zatem, ogólnie:
Twierdzenie Fouriera:
Fouriera: Dowolne drganie okresowe o okresie T można
przedstawić jako sumę (kombinację liniową) drgań harmonicznych o
okresach: Tn= T/n , gdzie n jest liczbą naturalną.
Liczba falowa:
5
Równanie fali:
6
Skąd:
Fala płaska w przestrzeni (x,y,z):
Różniczkując dwukrotnie:
Zatem:
Równanie falowe
Dla fali płaskiej, rozchodzącej się wzdłuż osi x:
7
8
Prędkość fali w naprężonej strunie
Siła naprężająca strunę: F
Skąd:
Masa przypadająca na jednostkę długości struny:
ale:
Elementarny wycinek struny (o długości dx) i masie:
Równanie falowe
Zakładamy dla uproszczenia, że końce wycinka
struny tworzą z osią x małe kąty, więc:
Czyli otrzymujemy, że prędkość:
Siła wypadkowa wychylająca strunę w kierunku y:
II zasada dynamiki:
9
10
Fale stojące
Przenoszenie energii przez fale
Powstają, w wyniku interferencji dwóch fal o równych częstotliwościach,
długościach i amplitudach, ale rozchodzącymi się w przeciwnych kierunkach
wzdłuż tej samej linii
Np. gdy fala odbija się od powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali.
Wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne źródło zaburzenia wykonuje
pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów
struny (ośrodka)
Siła F jaka działa na koniec struny porusza
struną w górę i w dół wprawiając jej koniec w
drgania w kierunku y.
Moc przenoszona:
Strzałki – punkty w których:
„nowa” amplituda
Prędkość poprzeczna:
Składowa siły wzdłuż y:
Węzły – punkty w których:
Interferencja fal o różnych
częstotliwościach wywołuje
dudnienia.
Zatem:
Zakładając:
(małe kąty, znak minus wynika z ujemnego nachylenia struny )
Otrzymujemy:
11
12
Fale elektromagnetyczne
Jeżeli drganie struny (fala harmoniczna):
Poprzednio wyprowadziliśmy na podstawie równań Maxwella
równania falowe dla fal elektromagnetycznych:
czyli:
Dla jednorodnego ośrodka
neutralnego i nieprzewodzącego:
σ=0 i j=0
o przenikalnościach: ε=εr εο i µ=µr µο:
Równania się upraszczają:
Ponieważ:
więc:
Tymczasem, równanie falowe:
Moc (szybkość przepływu energii) oscyluje w czasie.
Moc zależy od kwadratu częstotliwości i kwadratu amplitudy.
Fale stojące nie przenoszą energii – magazynują energię w
drgających elementach ośrodka (energia nie może przepłynąć przez węzły,
węzły nie drgają, więc ich energia kinetyczna i potencjalna jest równa „0”)
Zatem, prędkość fali e-m
w ośrodku:
13
14
Fale e-m rozchodzą się w próżni z prędkością c≈3*108 m/s.
W ośrodku, prędkość rozchodzenia zależy od jego przenikalności.
W próżni:
ε=εr εο
µ=µr µο
εr=1 µr =1
skąd:
Zatem, prędkość fali e-m w ośrodku:
Wartość bezwzględna gęstości strumienia energii: wc=EH=S
Wektory E i H są wzajemnie prostopadłe i tworzą z kierunkiem rozchodzenia się fali
układ prawoskrętny,
zatem kierunek wektora ExH jest zgodny z kierunkiem przenoszenia energii.
W próżni i ośrodku nieprzewodzącym
wektory pola elektrycznego i magnetycznego
drgają w jednakowej fazie.
Można pokazać, że (relacja między amplitudami fali pola elektr. i magnet.):
Wektor Poyntinga:
S=ExH
Powyższe właściwości S słuszne również w ośrodkach
dielektrycznych i przewodzących.
Gęstość energii pola e-m w próżni:
15
16
Figury Lissajous
Powstają, gdy ruchy falowe (harmoniczne) wywołują przemieszczenia w kierunkach
prostopadłych względem siebie, a stosunek ich częstotliwości jest liczbą całkowitą.
Wypadkowe zaburzenie jest sumą wektorową poszczególnych przemieszczeń, jego
postać zależy od amplitud, częstotliwości oraz fazy przesunięcia względem siebie.
17
18
Figury Lissajous – więcej możliwości:
Efekt Dopplera
Strzał co czas T, prędkość każdego pocisku vv.
Strzelający biegnie z prędkością vs.
19
20
Przypadek 2-wymiarowy
Prędkość źródła:
Gdy biegnie z prędkością vs w kierunku przeciwnym do strzału:
wersor kierunku.
Składowa radialna prędkości:
Analogia do ruchu falowego:
pociski – maksimum fali o okresie T i długości λo, żołnierz – źródłem fali.
Odległość między maksimami fali o poruszającym się źródle:
Rzeczywista częstotliwość fali fo,=1/T
Częstotliwość fali rejestrowana f1.
Zmiana częstotliwości spowodowana efektem Dopplera:
21
22
Zjawisko Dopplera – rozbieżność między częstotliwością fali wysyłanej przez
źródło (nadajnik) a częstotliwością odbieraną przez odbiornik, w przypadku gdy
obiekty te poruszają się względem siebie (lub ośrodka będącego nośnikiem fali).
W optyce – gdy źródło światła się oddala, częstotliwość fali świetlnej maleje, np.
kolor żółty staje się czerwonym (obserwacja przy b.dużych prędkościach –
c=3*108m/s) – wykorzystywane w astronomii (przesunięcie widma gwiazdy w
kierunku podczerwieni świadczy o oddalaniu się gwiazdy).
W akustyce – oddalając z prędkością vo się od źródła dźwięku o częstotliwości f
słyszymy dźwięk niższy o częstotliwości f' - znak „-”, zbliżając się (z prędkością vo)
– dźwięk wyższy (o częstotliwości f') – znak „+”, v – prędkość dźwięku.
Gdy źródło fali porusza się z prędkością większą od prędkości emitowanej fali:
Fala uderzeniowa
Samolot naddźwiękowy „fala uderzeniowa dźwiękowa”
„Fala uderzeniowa świetlna”
Prędkość rozchodzenia się światła (fal świetlnych) zależy od ośrodka –
jest mniejsza od prędkości światła w próżni c0.
Cząstka (np. elektron) może poruszać się w danym ośrodku z prędkością
wyższą od prędkości rozchodzenia się fal świetlnych w tym ośrodku (ale
mniejszą niż c0) - „wyprzedzić światło”.
23
Zjawisko „nadświetlne”- powstaje stożek świetlny
uderzeniowa.
Efekt Wawiłowa - Czerenkowa
–
świetlna
fala
24
Rozchodzenie się fal e-m
Falowód
Pusta rura metalowa bez przewodnika wewnętrznego
Kabel koncentryczny
(dla czytelności pominięto na rysunku wektor pola magnetycznego)
Pole elektryczne – radialne,
magnetyczne – koncentrycznie wokół wewnętrznego przewodnika.
Rozkład pól
(dla czytelności pominięto na rysunku wektor pola elektrycznego)
25
26
Antena dipolowa
Promieniowanie
1. Podać równanie fali płaskiej w przestrzeni i wyjaśnić użyte w równaniu
wielkości.
2. Od jakich wielkości zależy równanie falowe?
3. Który rodzaj fali ma zdolność do magazynowania energii, od czego zależy
wielkość mocy przesyłanej przez fale?
4. Od czego zależy prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej?
5. Jak powstają figury Lissajous?
6. Na czym polega zjawisko Dopplera, czy występuje ono również w optyce?
27
28