Zestaw ćwiczeniowy 3

Fizyka Statystyczna
Zestaw ćwiczeniowy 3
Zadanie 1
Chcemy szybko rozpalić ognisko, lecz mamy do dyspozycji tylko trzy zapałki. Prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska pojedynczą zapałką wynosi 0,4, dwiema złączonymi zapałkami 0,6,
zaś trzema złączonymi zapałkami 0,8. Jaką wybrać strategię (z poniżej zaproponowanych)?
2 Używać pojedynczych zapałek.
2 Użyć najpierw jedną, a potem dwie złączone zapałki.
Wybór uzasadnij obliczeniami.
Najlepiej
użyć
zapal-
niczki. . .
2 Użyć najpierw dwie złączone zapałki, a potem jedną zapałkę.
2 Użyć od razu trzy zapałki.
Potraktuj każdą próbę użycia zapałek jako niezależną.
Zadanie 2
Funkcje charakterystyczna pewnego rozkładu jest równa F pφq eλpe
nią oraz średnie odchylenie standardowe tego rozkładu. λ to parametr.
iφ
1q . Oblicz wartość śred-
Nie mylcie „odchylenia
standardowego” i „wariancji”.
Zadanie 3
Cząstka skacze z punktu 1 do punktu 2 lub na odwrót. Prawdopodobieństwo P12 p∆tq przejścia
z 1 do 2 w bardzo małym czasie ∆t jest równe λ∆t, natomiast P21 p∆tq, tj. prawdopodobieństwo
przejścia z 2 do 1 w bardzo małym czasie ∆t jest równe 3λ∆t. W chwili t0 0 cząstka znajduje się
w położeniu 2. Znajdź prawdopodobieństwo P22 ptq, że cząstka w chwili t znajduje się w punkcie 2.
Rozwiązywaliśmy
je
na zajęciach z innymi
współczynnikami.
Zadanie 4a
a) Oblicz entropię wyniku w następujących eksperymentach:
i) Rzucamy dwoma kostkami sześciennymi i sumujemy liczbę oczek.
ii) Rzucamy jednym ośmiościanem foremnym (kostką ośmiościenną, o numerach na bokach
od 1 do 8).
b) W którym przypadku mamy większą entropię? Jeśli miałbyś obstawiać wartość wyrzuconej
sumy, w której grze byłoby łatwiej wygrać? Jak to się ma do entropii? Zinterpretuj wynik.
Zadanie 4b
Mamy urnę z pięcioma ponumerowanymi kulami: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Do urny wrzucono
jeszcze jedną kulę o numerze jeden, 1 . Losujemy jedną kulę i patrzymy na jej numer (poza
numerem, kule są nierozróżnialne). Czy entropia zmalała, czy wzrosła po dodaniu dodatkowej
kuli? Zinterpretuj wynik.
Zadanie 5
Żeby szybko ochłodzić gorącą herbatą, mającą początkowo 90 C, do szklanki dodano 20 g lodu
o temperaturze 0 C. Po stopieniu się lodu zmierzono, że herbata ma 70 C. O ile zmieniła się
entropia wszechświata? Jaki znak ma ta zmiana? Dlaczego?
Załóż, że pojemności cieplne wody (przy stałym ciśnieniu) nie zależy od temperatury i wynosi
4181,3 J {pkg K q. Ciepło topnienia lodu wynosi 334 kJ {kg. Pomiń zmianę temperatury (i entropię
z tym związaną) samej szklanki.
Zadanie 6
Udowodnij, że ciepło zaabsorbowane przez układ termodynamiczny w procesie zachodzącym
pod stałym ciśnieniem zewnętrznym p0 jest równe zmianie entalpii tego układu.
Przyjmij, że 0
273K.
Tu przydałyby się kalkulatory.
Zadanie 7
Pokaż, że poniższe (♠ oraz ♥) zależności są prawdziwe:
BH V ♠ T BV ♥ C BT .
P
Bp T
BT p
Bp S
Zadanie 8
Energia swobodna Helmholtza pewnego gazu jest dana wyrażeniem:
F
N 0 N kB T ln
eV
N
N cT ln T N ζT,
gdzie e to podstawa logarytmu naturalnego, N to liczba cząstek, V to objętość, T to temperatura
w jednostkach energii, natomiast 0 , c oraz ζ to stałe.
i) Znajdź entropie gazu jako funkcję V oraz T .
Rozwiązanie
podpunktu
ii) Znajdź wewnętrzną energię U jako funkcję T oraz N .
iii) Pokaż, że c jest ciepłem właściwym na cząstkę, liczonym przy stałej objętości (tj. że c cV ).
iv) Wyprowadź równanie stanu.
v) Znajdź postać energii Gibbsa, entalpii i entropii jako funkcji P oraz T .
vi) Używając powyższych wyników, oblicz ile wynosi ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, cp .
vii) Pokaż, że dla adiabatycznego procesu zachodzi: T γ P 1γ
const., gdzie γ cp {cV .
jednego
pomaga
kolejnym (synergia).
w